Thể tích hình bát diện đều: Công thức tính, cách tính và bài tập

Thể tích hình bát diện đều là một trong những kiến thức trọng tâm của Hình học không gian, thường xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia và tuyển sinh đại học. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững công thức tính thể tích, cách chứng minh và áp dụng giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Hình bát diện đều là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính thể tích, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa và cấu trúc của hình bát diện đều.

Hình bát diện đều (Regular Octahedron) là một trong năm khối đa diện đều Platon, có các đặc điểm sau:

Cấu trúc hình học quan trọng: Hình bát diện đều có thể được xem như hai khối chóp tứ giác đều ghép lại với nhau tại đáy chung là hình vuông. Đây là cách tiếp cận quan trọng để tính thể tích.

Công thức tính thể tích hình bát diện đều

Công thức tính thể tích hình bát diện đều được xây dựng dựa trên cấu trúc hai khối chóp ghép lại.

Công thức chính

Trong đó:

• \(V\): Thể tích hình bát diện đều
• \(a\): Độ dài cạnh của hình bát diện đều
• \(\sqrt{2} \approx 1,414\)

Giá trị gần đúng: \(V \approx 0,471 \cdot a^3\)

Công thức biến đổi tương đương

Công thức trên có thể viết dưới các dạng tương đương:

• \(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}\)
• \(V = \frac{a^3}{3} \cdot \sqrt{2}\)
• \(V = \frac{\sqrt{2} \cdot a^3}{3}\)

Cách chứng minh công thức thể tích

Việc chứng minh công thức thể tích hình bát diện đều dựa trên phương pháp chia hình bát diện thành hai khối chóp.

Phương pháp chứng minh

Bước 1: Phân tích cấu trúc hình bát diện đều

• Hình bát diện đều gồm hai khối chóp tứ giác đều có chung đáy là hình vuông
• Gọi cạnh hình bát diện là \(a\), đáy chung là hình vuông cạnh \(a\)

Bước 2: Tính cạnh đường chéo của hình vuông đáy

\[d = a\sqrt{2}\]

Bước 3: Tính chiều cao của mỗi khối chóp

Gọi O là tâm hình vuông đáy, S là đỉnh của một khối chóp. Ta có:

• Khoảng cách từ tâm O đến đỉnh hình vuông: \(OA = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
• Cạnh bên của khối chóp: \(SA = a\)
• Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SOA vuông tại O:

\[h = SO = \sqrt{SA^2 – OA^2} = \sqrt{a^2 – \frac{a^2 \cdot 2}{4}} = \sqrt{a^2 – \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]

Bước 4: Tính thể tích một khối chóp

\[V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}\]

Bước 5: Tính thể tích hình bát diện đều

\[V = 2 \cdot V_{\text{chóp}} = 2 \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{6} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3\]

Kết luận: \(V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3\) (đpcm)

Các công thức liên quan khác

Ngoài công thức thể tích, khi học về hình bát diện đều, bạn cần nắm thêm các công thức quan trọng sau:

Mối quan hệ giữa thể tích và bán kính mặt cầu

Thể tích theo bán kính mặt cầu ngoại tiếp R:

Từ \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow a = R\sqrt{2}\)

\[V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot (R\sqrt{2})^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 2R^3\sqrt{2} = \frac{4R^3}{3}\]

Thể tích theo bán kính mặt cầu nội tiếp r:

Từ \(r = \frac{a\sqrt{6}}{6} \Rightarrow a = r\sqrt{6}\)

\[V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot (r\sqrt{6})^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 6r^3\sqrt{6} = 2r^3\sqrt{12} = 4r^3\sqrt{3}\]

Các dạng bài tập thường gặp

Khi làm bài tập về thể tích hình bát diện đều, học sinh thường gặp các dạng sau:

Bài tập ví dụ có lời giải chi tiết

Dưới đây là các bài tập minh họa giúp bạn hiểu rõ cách áp dụng công thức tính thể tích hình bát diện đều.

Bài tập 1: Dạng cơ bản

Đề bài: Tính thể tích hình bát diện đều có cạnh \(a = 6\) cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính thể tích hình bát diện đều:

\[V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3\]

\[V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 6^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 216 = 72\sqrt{2} \text{ (cm}^3\text{)}\]

Đáp số: \(V = 72\sqrt{2} \approx 101,82\) cm³

Bài tập 2: Tính cạnh khi biết thể tích

Đề bài: Hình bát diện đều có thể tích bằng \(\frac{128\sqrt{2}}{3}\) cm³. Tính độ dài cạnh.

Lời giải:

Từ công thức: \(V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3\)

Suy ra:

\[a^3 = \frac{3V}{\sqrt{2}} = \frac{3 \cdot \frac{128\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{2}} = \frac{128\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 128\]

\[a = \sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64 \cdot 2} = 4\sqrt[3]{2} \text{ (cm)}\]

Đáp số: \(a = 4\sqrt[3]{2} \approx 5,04\) cm

Bài tập 3: Cho diện tích, tính thể tích

Đề bài: Hình bát diện đều có diện tích toàn phần bằng \(32\sqrt{3}\) cm². Tính thể tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh từ diện tích toàn phần

Công thức diện tích: \(S_{tp} = 2\sqrt{3} \cdot a^2\)

\[2\sqrt{3} \cdot a^2 = 32\sqrt{3}\]

\[a^2 = \frac{32\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 16\]

\[a = 4 \text{ (cm)}\]

Bước 2: Tính thể tích

\[V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 64 = \frac{64\sqrt{2}}{3} \text{ (cm}^3\text{)}\]

Đáp số: \(V = \frac{64\sqrt{2}}{3} \approx 30,17\) cm³

Bài tập 4: Cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Đề bài: Hình bát diện đều nội tiếp trong mặt cầu có bán kính \(R = 3\) cm. Tính thể tích hình bát diện đều.

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức trực tiếp

\[V = \frac{4R^3}{3} = \frac{4 \cdot 27}{3} = 36 \text{ (cm}^3\text{)}\]

Cách 2: Tính qua cạnh

Bước 1: Tính cạnh từ bán kính

\[R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow a = R\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \text{ (cm)}\]

Bước 2: Tính thể tích

\[V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot (3\sqrt{2})^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 54\sqrt{2} = \frac{108}{3} = 36 \text{ (cm}^3\text{)}\]

Đáp số: \(V = 36\) cm³

Bài tập 5: Cho bán kính mặt cầu nội tiếp

Đề bài: Hình bát diện đều có mặt cầu nội tiếp bán kính \(r = 2\) cm. Tính thể tích.

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức trực tiếp

\[V = 4r^3\sqrt{3} = 4 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} = 32\sqrt{3} \text{ (cm}^3\text{)}\]

Cách 2: Tính qua cạnh

Bước 1: Tính cạnh từ bán kính mặt cầu nội tiếp

\[r = \frac{a\sqrt{6}}{6} \Rightarrow a = \frac{6r}{\sqrt{6}} = r\sqrt{6} = 2\sqrt{6} \text{ (cm)}\]

Bước 2: Tính thể tích

\[V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot (2\sqrt{6})^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 48\sqrt{6} = 16\sqrt{12} = 32\sqrt{3} \text{ (cm}^3\text{)}\]

Đáp số: \(V = 32\sqrt{3} \approx 55,43\) cm³

Bài tập 6: So sánh thể tích

Đề bài: Cho hai hình bát diện đều có cạnh lần lượt là \(a_1 = 2\) cm và \(a_2 = 4\) cm. Tính tỉ số thể tích của hai hình.

Lời giải:

Tỉ số thể tích của hai hình bát diện đều:

\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a_1^3}{\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a_2^3} = \frac{a_1^3}{a_2^3} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 = \left(\frac{2}{4}\right)^3 = \frac{1}{8}\]

Đáp số: Thể tích hình bát diện thứ nhất bằng \(\frac{1}{8}\) thể tích hình bát diện thứ hai.

Bài tập 7: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Cho hình bát diện đều có tổng độ dài các cạnh bằng 48 cm. Tính thể tích và diện tích toàn phần.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh

Hình bát diện đều có 12 cạnh bằng nhau:

\[12a = 48 \Rightarrow a = 4 \text{ (cm)}\]

Bước 2: Tính thể tích

\[V = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3 = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot 64 = \frac{64\sqrt{2}}{3} \text{ (cm}^3\text{)}\]

Bước 3: Tính diện tích toàn phần

\[S_{tp} = 2\sqrt{3} \cdot a^2 = 2\sqrt{3} \cdot 16 = 32\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)}\]

Đáp số: \(V = \frac{64\sqrt{2}}{3}\) cm³ và \(S_{tp} = 32\sqrt{3}\) cm²

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về thể tích hình bát diện đều với công thức quan trọng:

Để giải tốt các bài tập về thể tích hình bát diện đều, học sinh cần:

• Nắm vững cấu trúc hình bát diện đều gồm hai khối chóp tứ giác đều ghép lại
• Thuộc công thức tính thể tích và hiểu cách chứng minh
• Nắm các công thức liên quan về diện tích, bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp
• Biết chuyển đổi linh hoạt giữa các đại lượng: cạnh, thể tích, diện tích, bán kính
• Luyện tập đa dạng các dạng bài để thành thạo kỹ năng tính toán

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ cách tính thể tích hình bát diện đều và tự tin áp dụng vào các bài tập thực hành.