Trọng tâm tam giác: Định nghĩa, tính chất và cách xác định

Trọng tâm tam giác là một trong bốn điểm đặc biệt quan trọng nhất của tam giác, đóng vai trò thiết yếu trong hình học phẳng và hình học tọa độ. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ trọng tâm tam giác là gì, tính chất trọng tâm tam giác, cách vẽ trọng tâm tam giác cùng các công thức tính và bài tập minh họa chi tiết.

1. Trọng tâm tam giác là gì?

Để hiểu trọng tâm của tam giác là gì, trước tiên ta cần biết về đường trung tuyến.

1.1. Đường trung tuyến của tam giác

Đường trung tuyến là đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có đúng 3 đường trung tuyến.

1.2. Định nghĩa trọng tâm tam giác

Trọng tâm tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác. Trọng tâm thường được ký hiệu là điểm G.

Trọng tâm của tam giác ABC là điểm G thỏa mãn:

• G là giao điểm của ba đường trung tuyến AM, BN, CP
• Trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

1.3. Ý nghĩa của trọng tâm

Trọng tâm có ý nghĩa vật lý quan trọng:

• Là điểm cân bằng của tam giác (nếu tam giác là tấm phẳng đồng chất)
• Là điểm mà tại đó tam giác sẽ cân bằng hoàn toàn khi được đặt trên một mũi nhọn

2. Cách vẽ trọng tâm tam giác

Dưới đây là cách vẽ trọng tâm tam giác chi tiết bằng thước và compa:

2.1. Phương pháp 1: Vẽ hai đường trung tuyến

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Vẽ tam giác ABC
2. Bước 2: Xác định trung điểm M của cạnh BC (dùng compa đo từ B và C với cùng bán kính lớn hơn nửa BC, hai cung cắt nhau tại hai điểm, đường thẳng nối hai điểm đó cắt BC tại M)
3. Bước 3: Nối A với M, được đường trung tuyến AM
4. Bước 4: Tương tự, xác định trung điểm N của cạnh AC
5. Bước 5: Nối B với N, được đường trung tuyến BN
6. Bước 6: Giao điểm G của AM và BN chính là trọng tâm tam giác

2.2. Phương pháp 2: Sử dụng tính chất chia tỉ lệ

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Vẽ một đường trung tuyến (ví dụ AM)
2. Bước 2: Chia đoạn AM thành 3 phần bằng nhau
3. Bước 3: Điểm G nằm trên AM sao cho AG = 2GM (tức G cách A bằng 2/3 đường trung tuyến)

3. Tính chất trọng tâm tam giác

Dưới đây là các tính chất trọng tâm tam giác quan trọng cần ghi nhớ:

3.1. Tính chất về đường trung tuyến

Tính chất 1: Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm duy nhất gọi là trọng tâm.

3.2. Tính chất về tỉ lệ chia

Tính chất 2: Trọng tâm tam giác chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần theo tỉ lệ 2:1 tính từ đỉnh.

3.3. Tính chất vector

Tính chất 3: Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi:

\(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)

Tính chất 4: Với mọi điểm O bất kỳ:

\(\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\)

3.4. Công thức tọa độ trọng tâm

Tính chất 5: Nếu tam giác ABC có các đỉnh A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃) thì trọng tâm G có tọa độ:

\(G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\)

3.5. Bảng tổng hợp tính chất trọng tâm tam giác

4. Trọng tâm tam giác đều

Trọng tâm tam giác đều có những đặc điểm đặc biệt so với tam giác thường.

4.1. Đặc điểm của trọng tâm tam giác đều

Trong tam giác đều, trọng tâm G trùng với:

• Tâm đường tròn nội tiếp (I)
• Tâm đường tròn ngoại tiếp (O)
• Trực tâm (H)

Nghĩa là trong tam giác đều: G ≡ I ≡ O ≡ H

4.2. Công thức trong tam giác đều

Cho tam giác đều ABC có cạnh \(a\):

4.3. Mối quan hệ đặc biệt

Trong trọng tâm tam giác đều:

• Bán kính ngoại tiếp gấp đôi bán kính nội tiếp: \(R = 2r\)
• Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng nhau
• Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi cạnh bằng nhau

5. Các dạng bài tập về trọng tâm tam giác

Dưới đây là các dạng bài tập thường gặp khi học về trọng tâm của tam giác:

Dạng 1: Tìm tọa độ trọng tâm

Phương pháp: Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm.

Dạng 2: Chứng minh điểm là trọng tâm

Phương pháp: Sử dụng tính chất vector hoặc tính chất tỉ lệ chia.

Dạng 3: Tìm đỉnh khi biết trọng tâm và hai đỉnh còn lại

Phương pháp: Biến đổi công thức tọa độ trọng tâm.

6. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng các tính chất trọng tâm tam giác để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Tìm tọa độ trọng tâm

Đề bài: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(4; 6), C(7; 1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác:

\(x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + 4 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4\)

\(y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{2 + 6 + 1}{3} = \frac{9}{3} = 3\)

Vậy trọng tâm G(4; 3)

Bài tập 2: Tìm đỉnh khi biết trọng tâm

Đề bài: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 3), biết A(1; 1) và B(3; 5). Tìm tọa độ đỉnh C.

Lời giải:

Từ công thức trọng tâm của tam giác:

\(x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\)

\(2 = \frac{1 + 3 + x_C}{3}\)

\(6 = 4 + x_C\)

\(x_C = 2\)

Tương tự:

\(y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\)

\(3 = \frac{1 + 5 + y_C}{3}\)

\(9 = 6 + y_C\)

\(y_C = 3\)

Vậy C(2; 3)

Bài tập 3: Chứng minh điểm là trọng tâm

Đề bài: Cho tam giác ABC với A(0; 6), B(6; 0), C(0; 0). Chứng minh G(2; 2) là trọng tâm tam giác ABC.

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức tọa độ

Tọa độ trọng tâm:

\(x_G = \frac{0 + 6 + 0}{3} = 2\)

\(y_G = \frac{6 + 0 + 0}{3} = 2\)

Vậy G(2; 2) là trọng tâm của tam giác ABC. ✓

Cách 2: Dùng tính chất vector

Tính các vector:

\(\overrightarrow{GA} = (0 – 2; 6 – 2) = (-2; 4)\)

\(\overrightarrow{GB} = (6 – 2; 0 – 2) = (4; -2)\)

\(\overrightarrow{GC} = (0 – 2; 0 – 2) = (-2; -2)\)

Kiểm tra:

\(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = (-2 + 4 – 2; 4 – 2 – 2) = (0; 0) = \overrightarrow{0}\)

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC. ✓

Bài tập 4: Trọng tâm tam giác đều

Đề bài: Cho tam giác đều ABC có cạnh \(a = 6\) cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G đến mỗi đỉnh và đến mỗi cạnh.

Lời giải:

Tính độ dài đường trung tuyến:

\(m = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) (cm)

Khoảng cách từ G đến mỗi đỉnh:

\(GA = GB = GC = \frac{2}{3}m = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \approx 3,46\) (cm)

Khoảng cách từ G đến mỗi cạnh:

\(d = \frac{1}{3}m = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3} \approx 1,73\) (cm)

7. Bài tập tự luyện

Vận dụng kiến thức về trọng tâm tam giác, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(5; 4), C(2; -3). Tìm tọa độ trọng tâm G.

Bài 2: Cho trọng tâm tam giác ABC là G(1; 1). Biết A(0; 3) và B(0; -3). Tìm tọa độ C.

Bài 3: Cho tam giác đều có cạnh 12 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.

Bài 4: Cho tam giác ABC có trung điểm M của BC là M(3; 2) và trọng tâm G(2; 3). Tìm tọa độ đỉnh A.

8. Kết luận

Trọng tâm tam giác là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng trong hình học. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Trọng tâm tam giác là gì: Là giao điểm của ba đường trung tuyến
• Tính chất trọng tâm tam giác: Chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 từ đỉnh, thỏa mãn \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)
• Cách vẽ trọng tâm tam giác: Vẽ hai đường trung tuyến và lấy giao điểm
• Trọng tâm tam giác đều: Trùng với tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp
• Công thức tọa độ: \(G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\)

Hãy luyện tập thường xuyên các bài tập về trọng tâm của tam giác để thành thạo và áp dụng linh hoạt trong các kỳ thi.