Định lý Viet: Công thức bậc 2, bậc 3, bậc 4 và tổng quát đầy đủ
Định lý Viet (hay định lí Vi-ét) là công cụ quan trọng giúp thiết lập mối liên hệ giữa các nghiệm và hệ số của phương trình đa thức. Bài viết này tổng hợp đầy đủ công thức Vi-ét cho phương trình bậc 2, Viet bậc 3, Viet bậc 4 và định lý Viet tổng quát. Mỗi công thức đều có chứng minh chi tiết và ví dụ minh họa dễ hiểu.
1. Định lý Viet là gì?
Định lý Viet (còn gọi là định lí Viet hoặc định lý Vi-ét) được đặt theo tên nhà toán học người Pháp François Viète (1540-1603). Định lý này cho phép:
- Tính tổng và tích các nghiệm mà không cần giải phương trình
- Thiết lập phương trình khi biết các nghiệm
- Tìm các biểu thức đối xứng của nghiệm
2. Định lý Viet bậc 2
Đây là dạng công thức Vi-ét cơ bản và quan trọng nhất:
2.1. Phát biểu định lý
Cho phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a \neq 0 \) có hai nghiệm \( x_1, x_2 \).
Định lí Viet:
\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \end{cases} \]
Trường hợp đặc biệt: Với phương trình \( x^2 + px + q = 0 \):
\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases} \]
2.2. Chứng minh định lý Viet bậc 2
Phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) có nghiệm khi \( \Delta = b^2 – 4ac \geq 0 \).
Hai nghiệm là:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Tính tổng:
\[ x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a} \]
Tính tích:
\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b – \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2 – \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 – (b^2 – 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a} \]
2.3. Định lý Viet đảo
Định lí Vi-ét đảo: Nếu hai số \( x_1, x_2 \) thỏa mãn:
\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = S \\ x_1 \cdot x_2 = P \end{cases} \]
Thì \( x_1, x_2 \) là hai nghiệm của phương trình: \( x^2 – Sx + P = 0 \)
Điều kiện: Phương trình có nghiệm thực khi \( S^2 – 4P \geq 0 \)
3. Định lý Viet bậc 3
Viet bậc 3 mở rộng công thức cho phương trình bậc ba:
3.1. Công thức Vi-ét bậc 3
Cho phương trình bậc ba \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) với \( a \neq 0 \) có ba nghiệm \( x_1, x_2, x_3 \).
Định lý Vi-ét bậc 3:
\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \\ x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a} \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a} \end{cases} \]
Trường hợp đặc biệt: Với phương trình \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \):
\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -p \\ x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = q \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -r \end{cases} \]
3.2. Bảng tóm tắt Vi-ét bậc 3
| Biểu thức đối xứng | Công thức | Ký hiệu |
|---|---|---|
| Tổng các nghiệm | \( x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \) | \( S_1 \) |
| Tổng tích từng đôi | \( x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a} \) | \( S_2 \) |
| Tích các nghiệm | \( x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a} \) | \( S_3 \) |
3.3. Chứng minh Vi-ét phương trình bậc 3
Phương trình \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) có thể viết dưới dạng:
\[ a(x – x_1)(x – x_2)(x – x_3) = 0 \]
Khai triển vế phải:
\[ a[x^3 – (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1)x – x_1x_2x_3] = 0 \]
So sánh hệ số với \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \), ta được công thức Vi-ét bậc 3.
4. Định lý Viet bậc 4
Viet bậc 4 áp dụng cho phương trình bậc bốn:
4.1. Công thức Viet bậc 4
Cho phương trình bậc bốn \( ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \) với \( a \neq 0 \) có bốn nghiệm \( x_1, x_2, x_3, x_4 \).
Định lý Viet bậc 4:
\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a} \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = \frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = -\frac{d}{a} \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = \frac{e}{a} \end{cases} \]
4.2. Bảng tóm tắt Viet bậc 4
| Biểu thức đối xứng | Công thức |
|---|---|
| Tổng các nghiệm | \( \sum x_i = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a} \) |
| Tổng tích từng đôi | \( \sum x_ix_j = \frac{c}{a} \) (với \( i < j \)) |
| Tổng tích từng ba | \( \sum x_ix_jx_k = -\frac{d}{a} \) (với \( i < j < k \)) |
| Tích các nghiệm | \( x_1x_2x_3x_4 = \frac{e}{a} \) |
5. Định lý Viet tổng quát
Định lý Viet tổng quát cho phương trình bậc n:
5.1. Phát biểu định lý Viet tổng quát
Cho phương trình bậc n:
\[ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 = 0 \quad (a_n \neq 0) \]
Có n nghiệm \( x_1, x_2, …, x_n \).
Công thức Viet tổng quát:
\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + … + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\ x_1x_2 + x_1x_3 + … + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ x_1x_2x_3 + … = -\frac{a_{n-3}}{a_n} \\ \vdots \\ x_1 \cdot x_2 \cdot … \cdot x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \end{cases} \]
5.2. Công thức tổng quát với ký hiệu sigma
Gọi \( \sigma_k \) là tổng tất cả các tích của k nghiệm (lấy từ n nghiệm):
\[ \sigma_k = \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < … < i_k \leq n} x_{i_1}x_{i_2}…x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} \]
5.3. Bảng tổng hợp định lý Viet các bậc
| Bậc | Phương trình | Tổng nghiệm | Tích nghiệm |
|---|---|---|---|
| Bậc 2 | \( ax^2 + bx + c = 0 \) | \( -\frac{b}{a} \) | \( \frac{c}{a} \) |
| Bậc 3 | \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) | \( -\frac{b}{a} \) | \( -\frac{d}{a} \) |
| Bậc 4 | \( ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \) | \( -\frac{b}{a} \) | \( \frac{e}{a} \) |
| Bậc n | \( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_0 = 0 \) | \( -\frac{a_{n-1}}{a_n} \) | \( (-1)^n\frac{a_0}{a_n} \) |
6. Các công thức biểu thức đối xứng
Khi áp dụng định lý Vi-ét, thường cần tính các biểu thức đối xứng:
6.1. Biểu thức đối xứng bậc 2
Đặt \( S = x_1 + x_2 \), \( P = x_1 \cdot x_2 \):
| Biểu thức | Công thức theo S, P |
|---|---|
| \( x_1^2 + x_2^2 \) | \( S^2 – 2P \) |
| \( x_1^3 + x_2^3 \) | \( S^3 – 3SP \) |
| \( x_1^4 + x_2^4 \) | \( (S^2 – 2P)^2 – 2P^2 \) |
| \( (x_1 – x_2)^2 \) | \( S^2 – 4P \) |
| \( |x_1 – x_2| \) | \( \sqrt{S^2 – 4P} \) |
| \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \) | \( \frac{S}{P} \) |
| \( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \) | \( \frac{S^2 – 2P}{P} \) |
6.2. Biểu thức đối xứng bậc 3
Đặt \( S_1 = x_1 + x_2 + x_3 \), \( S_2 = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 \), \( S_3 = x_1x_2x_3 \):
| Biểu thức | Công thức |
|---|---|
| \( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \) | \( S_1^2 – 2S_2 \) |
| \( x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 \) | \( S_1^3 – 3S_1S_2 + 3S_3 \) |
| \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \) | \( \frac{S_2}{S_3} \) |
| \( x_1^2x_2^2 + x_2^2x_3^2 + x_3^2x_1^2 \) | \( S_2^2 – 2S_1S_3 \) |
7. Ví dụ và bài tập minh họa
Dưới đây là các bài tập áp dụng định lý Viet:
Bài tập 1: Định lý Viet bậc 2 cơ bản
Đề bài: Cho phương trình \( x^2 – 5x + 6 = 0 \). Không giải phương trình, tính:
- Tổng và tích hai nghiệm
- \( x_1^2 + x_2^2 \)
- \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \)
Lời giải:
a) Áp dụng công thức Vi-ét với \( a = 1, b = -5, c = 6 \):
\[ S = x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5 \]
\[ P = x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{1} = 6 \]
b) Tính \( x_1^2 + x_2^2 \):
\[ x_1^2 + x_2^2 = S^2 – 2P = 5^2 – 2 \cdot 6 = 25 – 12 = 13 \]
c) Tính \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \):
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{S}{P} = \frac{5}{6} \]
Bài tập 2: Định lý Viet đảo
Đề bài: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3 và -7.
Lời giải:
Áp dụng định lí Viet đảo:
- \( S = 3 + (-7) = -4 \)
- \( P = 3 \cdot (-7) = -21 \)
Phương trình cần tìm: \( x^2 – Sx + P = 0 \)
\[ x^2 – (-4)x + (-21) = 0 \]
\[ x^2 + 4x – 21 = 0 \]
Bài tập 3: Vi-ét bậc 3
Đề bài: Cho phương trình \( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 \) có ba nghiệm \( x_1, x_2, x_3 \). Tính:
- \( x_1 + x_2 + x_3 \)
- \( x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 \)
- \( x_1x_2x_3 \)
- \( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \)
Lời giải:
Áp dụng Viet bậc 3 với \( a = 1, b = -6, c = 11, d = -6 \):
a) \( x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6 \)
b) \( x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a} = \frac{11}{1} = 11 \)
c) \( x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} = -\frac{-6}{1} = 6 \)
d) Tính \( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \):
\[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 – 2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) \]
\[ = 6^2 – 2 \cdot 11 = 36 – 22 = 14 \]
Bài tập 4: Vi-ét phương trình bậc 3 – Tìm nghiệm
Đề bài: Biết phương trình \( x^3 – 7x + 6 = 0 \) có một nghiệm là \( x = 1 \). Tìm các nghiệm còn lại.
Lời giải:
Phương trình \( x^3 + 0x^2 – 7x + 6 = 0 \) có \( a = 1, b = 0, c = -7, d = 6 \).
Áp dụng Vi-ét bậc 3:
- \( x_1 + x_2 + x_3 = 0 \)
- \( x_1x_2x_3 = -6 \)
Với \( x_1 = 1 \):
- \( 1 + x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow x_2 + x_3 = -1 \)
- \( 1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -6 \Rightarrow x_2x_3 = -6 \)
Vậy \( x_2, x_3 \) là nghiệm của phương trình: \( t^2 + t – 6 = 0 \)
\[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]
Suy ra: \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -3 \)
Kết luận: Ba nghiệm là \( x = 1, x = 2, x = -3 \)
Bài tập 5: Viet bậc 4
Đề bài: Cho phương trình \( x^4 – 10x^3 + 35x^2 – 50x + 24 = 0 \). Biết phương trình có 4 nghiệm nguyên dương, tìm các nghiệm đó.
Lời giải:
Áp dụng Viet bậc 4:
- \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10 \)
- \( x_1x_2x_3x_4 = 24 \)
Tìm 4 số nguyên dương có tổng bằng 10 và tích bằng 24.
Phân tích: \( 24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \) và \( 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \) ✓
Kết luận: Bốn nghiệm là \( x = 1, 2, 3, 4 \)
Bài tập 6: Tìm điều kiện tham số
Đề bài: Tìm m để phương trình \( x^2 – 2mx + m + 2 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 = 4 \).
Lời giải:
Điều kiện có hai nghiệm: \( \Delta’ = m^2 – m – 2 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq -1 \) hoặc \( m \geq 2 \)
Áp dụng định lý Viet:
- \( S = x_1 + x_2 = 2m \)
- \( P = x_1x_2 = m + 2 \)
Ta có:
\[ x_1^2 + x_2^2 = S^2 – 2P = (2m)^2 – 2(m + 2) = 4m^2 – 2m – 4 \]
Theo đề bài: \( 4m^2 – 2m – 4 = 4 \)
\[ 4m^2 – 2m – 8 = 0 \]
\[ 2m^2 – m – 4 = 0 \]
\[ m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4} \]
Kiểm tra điều kiện:
- \( m = \frac{1 + \sqrt{33}}{4} \approx 1.69 \): không thỏa mãn \( m \geq 2 \)
- \( m = \frac{1 – \sqrt{33}}{4} \approx -1.19 \): thỏa mãn \( m \leq -1 \) ✓
Kết luận: \( m = \frac{1 – \sqrt{33}}{4} \)
8. Một số lưu ý quan trọng
Khi áp dụng định lí Vi-ét, cần lưu ý:
| Lưu ý | Giải thích |
|---|---|
| Điều kiện có nghiệm | Phải kiểm tra \( \Delta \geq 0 \) trước khi áp dụng Viet |
| Dấu của tích | Tích nghiệm giúp xác định dấu: cùng dấu nếu P > 0, trái dấu nếu P < 0 |
| Quy tắc dấu | Bậc n: tích = \( (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \) |
| Nghiệm phức | Định lý Viet vẫn đúng với nghiệm phức |
9. Kết luận
Định lý Viet là công cụ mạnh mẽ trong việc giải và phân tích phương trình đa thức. Để nắm vững định lý này, học sinh cần:
- Ghi nhớ công thức Vi-ét cho bậc 2, Viet bậc 3, Viet bậc 4 và hiểu định lý Viet tổng quát
- Nắm vững các công thức biểu thức đối xứng theo tổng và tích nghiệm
- Hiểu rõ định lí Viet đảo để lập phương trình khi biết nghiệm
- Luyện tập nhiều dạng bài tập để thành thạo kỹ năng áp dụng
Hy vọng bài viết này giúp bạn hiểu rõ định lý Vi-ét và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan!
Có thể bạn quan tâm
- Trọng tâm tam giác: Định nghĩa, tính chất và cách xác định
- Góc giữa 2 vecto: Công thức tính cos và ví dụ trong Oxyz
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Công thức và cách tính
- Diện tích hình quạt tròn - Hướng dẫn công thức tính và ví dụ dễ hiểu
- Diện tích Parabol: Công thức, cách tính và bài tập có lời giải
