Hàm số đồng biến, nghịch biến: Định nghĩa và cách xét chi tiết
Hàm số đồng biến và nghịch biến là hai khái niệm nền tảng trong giải tích, giúp mô tả xu hướng tăng giảm của hàm số. Bài viết này sẽ giải đáp chi tiết đồng biến là gì, nghịch biến là gì, điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến khi nào cùng các ví dụ và bài tập minh họa dễ hiểu.
Đồng biến nghịch biến là gì?
Để hiểu rõ hàm số đồng biến là gì và nghịch biến là gì, chúng ta cần nắm vững định nghĩa toán học và ý nghĩa hình học của chúng.
Đồng biến là gì?
Định nghĩa: Hàm số \( y = f(x) \) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng \( (a; b) \) nếu:
\[ \forall x_1, x_2 \in (a; b): x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \]
Ý nghĩa: Khi giá trị \( x \) tăng thì giá trị \( f(x) \) cũng tăng theo.
Ý nghĩa hình học: Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng đó.
Nghịch biến là gì?
Định nghĩa: Hàm số nghịch biến (hay giảm) trên khoảng \( (a; b) \) nếu:
\[ \forall x_1, x_2 \in (a; b): x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \]
Ý nghĩa: Khi giá trị \( x \) tăng thì giá trị \( f(x) \) giảm.
Ý nghĩa hình học: Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng đó.
Bảng so sánh đồng biến và nghịch biến
| Tiêu chí | Hàm số đồng biến | Hàm số nghịch biến |
|---|---|---|
| Điều kiện | \( x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \) | \( x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \) |
| Xu hướng | \( x \) tăng → \( f(x) \) tăng | \( x \) tăng → \( f(x) \) giảm |
| Đồ thị | Đi lên từ trái sang phải | Đi xuống từ trái sang phải |
| Dấu đạo hàm | \( f'(x) > 0 \) | \( f'(x) < 0 \) |
Hàm số đồng biến nghịch biến khi nào?
Để xác định hàm số đồng biến khi nào và hàm số nghịch biến khi nào, ta sử dụng dấu của đạo hàm.
Định lý về tính đơn điệu
Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm trên khoảng \( (a; b) \):
- Hàm số đồng biến trên \( (a; b) \) khi: \( f'(x) > 0, \forall x \in (a; b) \)
- Hàm số nghịch biến trên \( (a; b) \) khi: \( f'(x) < 0, \forall x \in (a; b) \)
Điều kiện mở rộng
Lưu ý quan trọng: Hàm số vẫn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên \( (a; b) \) nếu \( f'(x) \geq 0 \) (hoặc \( f'(x) \leq 0 \)) và \( f'(x) = 0 \) chỉ tại hữu hạn điểm.
Bảng tóm tắt điều kiện
| Dấu của \( f'(x) \) | Tính chất hàm số | Đồ thị |
|---|---|---|
| \( f'(x) > 0 \) | Đồng biến (tăng) | ↗ Đi lên |
| \( f'(x) < 0 \) | Nghịch biến (giảm) | ↘ Đi xuống |
| \( f'(x) = 0 \) | Cực trị hoặc điểm uốn | — Nằm ngang |
Cách xét tính đơn điệu của hàm số
Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta thực hiện theo các bước sau:
Các bước thực hiện
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
- Bước 2: Tính đạo hàm \( f'(x) \)
- Bước 3: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) và tìm các điểm \( f'(x) \) không xác định
- Bước 4: Lập bảng xét dấu \( f'(x) \)
- Bước 5: Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến
Cách lập bảng biến thiên
Bảng biến thiên gồm các thành phần:
- Dòng 1: Giá trị \( x \) (bao gồm các nghiệm của \( f'(x) = 0 \) và điểm không xác định)
- Dòng 2: Dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng
- Dòng 3: Chiều biến thiên của \( f(x) \) (mũi tên lên/xuống)
Lưu ý quan trọng
- Khoảng đồng biến: Nơi \( f'(x) > 0 \) → mũi tên đi lên ↗
- Khoảng nghịch biến: Nơi \( f'(x) < 0 \) → mũi tên đi xuống ↘
- Tại điểm \( f'(x) = 0 \): Có thể là cực trị
- Chú ý các điểm mà hàm số không xác định
Ví dụ minh họa hàm số đồng biến nghịch biến
Dưới đây là các ví dụ chi tiết giúp bạn hiểu rõ hàm số đồng biến khi nào và hàm số nghịch biến khi nào.
Ví dụ 1: Hàm bậc nhất
Đề bài: Xét tính đơn điệu của hàm số \( y = 2x – 3 \)
Lời giải:
Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \)
Tính đạo hàm:
\[ y’ = 2 > 0, \forall x \in \mathbb{R} \]
Kết luận: Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \).
Nhận xét: Với hàm bậc nhất \( y = ax + b \):
- \( a > 0 \): Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \)
- \( a < 0 \): Hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \)
Ví dụ 2: Hàm bậc hai
Đề bài: Xét tính đơn điệu của hàm số \( y = x^2 – 4x + 3 \)
Lời giải:
Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \)
Tính đạo hàm:
\[ y’ = 2x – 4 \]
Giải \( y’ = 0 \):
\[ 2x – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \]
Bảng xét dấu:
| \( x \) | \( -\infty \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \( y’ \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) | ||
| \( y \) | ↘ | CĐ | ↗ |
Kết luận:
- Hàm số nghịch biến trên \( (-\infty; 2) \)
- Hàm số đồng biến trên \( (2; +\infty) \)
Ví dụ 3: Hàm bậc ba
Đề bài: Xét tính đơn điệu của hàm số \( y = x^3 – 3x^2 + 1 \)
Lời giải:
Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \)
Tính đạo hàm:
\[ y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2) \]
Giải \( y’ = 0 \):
\[ 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \]
Bảng xét dấu:
| \( x \) | \( -\infty \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( y’ \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) | ||
| \( y \) | ↗ | CĐ | ↘ | CT | ↗ |
Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên \( (-\infty; 0) \) và \( (2; +\infty) \)
- Hàm số nghịch biến trên \( (0; 2) \)
Ví dụ 4: Hàm phân thức
Đề bài: Xét tính đơn điệu của hàm số \( y = \frac{x + 1}{x – 1} \)
Lời giải:
Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \)
Tính đạo hàm:
\[ y’ = \frac{1 \cdot (x – 1) – (x + 1) \cdot 1}{(x – 1)^2} = \frac{x – 1 – x – 1}{(x – 1)^2} = \frac{-2}{(x – 1)^2} \]
Nhận xét: \( y’ = \frac{-2}{(x – 1)^2} < 0, \forall x \neq 1 \)
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên \( (-\infty; 1) \) và \( (1; +\infty) \).
Lưu ý: Không được viết “nghịch biến trên \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \)” vì đây không phải là một khoảng.
Ví dụ 5: Hàm lượng giác
Đề bài: Xét tính đơn điệu của hàm số \( y = \sin x \) trên \( [0; 2\pi] \)
Lời giải:
Tính đạo hàm:
\[ y’ = \cos x \]
Xét dấu \( y’ \) trên \( [0; 2\pi] \):
- \( y’ > 0 \) khi \( x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \)
- \( y’ < 0 \) khi \( x \in \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right) \)
Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên \( \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \) và \( \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \)
- Hàm số nghịch biến trên \( \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right) \)
Tính đơn điệu của các hàm số thường gặp
Dưới đây là bảng tổng hợp tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số cơ bản:
| Hàm số | Khoảng đồng biến | Khoảng nghịch biến |
|---|---|---|
| \( y = ax + b \) (\( a > 0 \)) | \( \mathbb{R} \) | Không có |
| \( y = ax + b \) (\( a < 0 \)) | Không có | \( \mathbb{R} \) |
| \( y = ax^2 + bx + c \) (\( a > 0 \)) | \( \left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right) \) | \( \left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right) \) |
| \( y = ax^2 + bx + c \) (\( a < 0 \)) | \( \left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right) \) | \( \left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right) \) |
| \( y = e^x \) | \( \mathbb{R} \) | Không có |
| \( y = \ln x \) | \( (0; +\infty) \) | Không có |
Bài tập tự luyện có đáp án
Hãy vận dụng kiến thức về hàm số đồng biến, nghịch biến để giải các bài tập sau:
Bài tập
Bài 1: Xét tính đơn điệu của hàm số \( y = -x^2 + 6x – 5 \)
Bài 2: Xét tính đơn điệu của hàm số \( y = x^3 – 6x^2 + 9x + 1 \)
Bài 3: Xét tính đơn điệu của hàm số \( y = \frac{2x – 1}{x + 2} \)
Bài 4: Tìm \( m \) để hàm số \( y = x^3 – 3x^2 + mx + 1 \) đồng biến trên \( \mathbb{R} \)
Bài 5: Xét tính đơn điệu của hàm số \( y = x + \frac{4}{x} \) trên \( (0; +\infty) \)
Đáp án chi tiết
Bài 1:
- \( y’ = -2x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \)
- Đồng biến trên \( (-\infty; 3) \)
- Nghịch biến trên \( (3; +\infty) \)
Bài 2:
- \( y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x – 1)(x – 3) \)
- \( y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1 \) hoặc \( x = 3 \)
- Đồng biến trên \( (-\infty; 1) \) và \( (3; +\infty) \)
- Nghịch biến trên \( (1; 3) \)
Bài 3:
- \( y’ = \frac{2(x + 2) – (2x – 1)}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2} > 0, \forall x \neq -2 \)
- Đồng biến trên \( (-\infty; -2) \) và \( (-2; +\infty) \)
Bài 4:
- \( y’ = 3x^2 – 6x + m \)
- Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \) khi \( y’ \geq 0, \forall x \)
- Điều kiện: \( \Delta’ = 9 – 3m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq 3 \)
Bài 5:
- \( y’ = 1 – \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 – 4}{x^2} \)
- Trên \( (0; +\infty) \): \( y’ = 0 \Leftrightarrow x = 2 \)
- Nghịch biến trên \( (0; 2) \)
- Đồng biến trên \( (2; +\infty) \)
Kết luận
Hàm số đồng biến và nghịch biến là những khái niệm cốt lõi trong giải tích, được xác định thông qua dấu của đạo hàm. Ghi nhớ quy tắc: \( f'(x) > 0 \) thì hàm số đồng biến, \( f'(x) < 0 \) thì hàm số nghịch biến. Việc nắm vững cách xét tính đơn điệu không chỉ giúp giải các bài toán về hàm số đồng biến nghịch biến khi nào mà còn là nền tảng để nghiên cứu cực trị, vẽ đồ thị và nhiều ứng dụng khác trong toán học.
Có thể bạn quan tâm
