Tính chất góc ngoài của tam giác: Góc ngoài tam giác là gì?

Tính chất góc ngoài của tam giác là một kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán hình học lớp 7. Việc nắm vững tính chất này giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán về góc trong tam giác một cách nhanh chóng và chính xác. Bài viết dưới đây trình bày đầy đủ định nghĩa, tính chất, cách chứng minh và các bài tập minh họa chi tiết về góc ngoài của tam giác.

Góc ngoài của tam giác là gì?

Trước khi tìm hiểu tính chất góc ngoài của tam giác, chúng ta cần nắm rõ định nghĩa về góc ngoài.

Định nghĩa: Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc trong của tam giác đó.

Giải thích:

• Xét tam giác ABC, kéo dài cạnh BC về phía C một đoạn, ta được tia Cx.
• Góc \( \widehat{ACx} \) được gọi là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC.
• Góc ngoài \( \widehat{ACx} \) kề bù với góc trong \( \widehat{ACB} \), nên: \( \widehat{ACx} + \widehat{ACB} = 180° \)

Lưu ý quan trọng:

• Mỗi đỉnh của tam giác có hai góc ngoài (bằng nhau vì đối đỉnh).
• Tam giác có tổng cộng 6 góc ngoài (mỗi đỉnh 2 góc).
• Góc trong và góc ngoài tại cùng một đỉnh là hai góc kề bù.

Tính chất góc ngoài của tam giác

Tính chất góc ngoài của tam giác bao gồm hai tính chất quan trọng sau:

Tính chất 1: Góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó

Phát biểu chi tiết: Trong tam giác ABC, gọi \( \widehat{ACx} \) là góc ngoài tại đỉnh C, ta có:

\( \widehat{ACx} = \widehat{A} + \widehat{B} \)

Tương tự:

• Góc ngoài tại đỉnh A bằng \( \widehat{B} + \widehat{C} \)
• Góc ngoài tại đỉnh B bằng \( \widehat{A} + \widehat{C} \)

Tính chất 2: Góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

Phát biểu chi tiết: Trong tam giác ABC, gọi \( \widehat{ACx} \) là góc ngoài tại đỉnh C, ta có:

• \( \widehat{ACx} > \widehat{A} \)
• \( \widehat{ACx} > \widehat{B} \)

Giải thích: Vì \( \widehat{ACx} = \widehat{A} + \widehat{B} \) và các góc trong tam giác đều dương, nên góc ngoài luôn lớn hơn từng góc trong không kề.

Bảng tổng hợp tính chất

Chứng minh tính chất góc ngoài của tam giác

Để hiểu sâu hơn về tính chất góc ngoài của tam giác, chúng ta tiến hành chứng minh tính chất 1.

Chứng minh

Xét tam giác ABC, kéo dài cạnh BC về phía C, ta được góc ngoài \( \widehat{ACx} \) tại đỉnh C.

Ta cần chứng minh: \( \widehat{ACx} = \widehat{A} + \widehat{B} \)

Bước 1: Theo định lý tổng ba góc trong tam giác:

\( \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{ACB} = 180° \)

Bước 2: Vì \( \widehat{ACx} \) và \( \widehat{ACB} \) là hai góc kề bù:

\( \widehat{ACx} + \widehat{ACB} = 180° \)

Bước 3: Từ (1) và (2), ta có:

\( \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{ACB} = \widehat{ACx} + \widehat{ACB} \)

Bước 4: Suy ra:

\( \widehat{ACx} = \widehat{A} + \widehat{B} \) (đpcm)

Các dạng bài tập vận dụng tính chất góc ngoài của tam giác

Dưới đây là các dạng bài tập thường gặp khi áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác:

Dạng 1: Tính góc ngoài khi biết hai góc trong

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp tính chất: Góc ngoài = Tổng hai góc trong không kề.

Dạng 2: Tính góc trong khi biết góc ngoài và một góc trong

Phương pháp: Từ công thức góc ngoài = tổng hai góc trong không kề, suy ra góc còn lại.

Dạng 3: So sánh các góc

Phương pháp: Sử dụng tính chất góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề.

Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức về góc

Phương pháp: Kết hợp tính chất góc ngoài với các tính chất khác của tam giác.

Bài tập về góc ngoài của tam giác có lời giải chi tiết

Dưới đây là các bài tập giúp bạn củng cố kiến thức về tính chất góc ngoài của tam giác.

Bài tập 1

Cho tam giác ABC có \( \widehat{A} = 65° \), \( \widehat{B} = 45° \). Tính góc ngoài tại đỉnh C.

Lời giải:

Áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác:

Góc ngoài tại C = \( \widehat{A} + \widehat{B} = 65° + 45° = 110° \)

Vậy góc ngoài tại đỉnh C bằng 110°.

Bài tập 2

Cho tam giác MNP có góc ngoài tại đỉnh P bằng 130°, biết \( \widehat{M} = 70° \). Tính \( \widehat{N} \) và \( \widehat{P} \).

Lời giải:

Bước 1: Tính góc N:

Theo tính chất góc ngoài: Góc ngoài tại P = \( \widehat{M} + \widehat{N} \)

\( 130° = 70° + \widehat{N} \)

\( \widehat{N} = 130° – 70° = 60° \)

Bước 2: Tính góc P:

Vì góc trong và góc ngoài tại P kề bù:

\( \widehat{P} = 180° – 130° = 50° \)

Vậy \( \widehat{N} = 60° \) và \( \widehat{P} = 50° \).

Bài tập 3

Cho tam giác ABC có \( \widehat{A} = 50° \), \( \widehat{B} = 70° \). Tính các góc ngoài tại ba đỉnh A, B, C.

Lời giải:

Bước 1: Tính góc C:

\( \widehat{C} = 180° – \widehat{A} – \widehat{B} = 180° – 50° – 70° = 60° \)

Bước 2: Tính các góc ngoài:

• Góc ngoài tại A = \( \widehat{B} + \widehat{C} = 70° + 60° = 130° \)
• Góc ngoài tại B = \( \widehat{A} + \widehat{C} = 50° + 60° = 110° \)
• Góc ngoài tại C = \( \widehat{A} + \widehat{B} = 50° + 70° = 120° \)

Vậy góc ngoài tại A = 130°, tại B = 110°, tại C = 120°.

Bài tập 4

Cho tam giác ABC có góc ngoài tại A bằng 115°, góc ngoài tại B bằng 135°. Tính ba góc trong của tam giác.

Lời giải:

Bước 1: Tính góc trong A và B:

• \( \widehat{A} = 180° – 115° = 65° \)
• \( \widehat{B} = 180° – 135° = 45° \)

Bước 2: Tính góc C:

\( \widehat{C} = 180° – \widehat{A} – \widehat{B} = 180° – 65° – 45° = 70° \)

Vậy \( \widehat{A} = 65° \), \( \widehat{B} = 45° \), \( \widehat{C} = 70° \).

Bài tập 5

Cho tam giác ABC, gọi Ax là tia đối của tia AB. Biết \( \widehat{CAx} = 125° \) và \( \widehat{C} = 55° \). Tính \( \widehat{A} \) và \( \widehat{B} \).

Lời giải:

Bước 1: Nhận xét:

\( \widehat{CAx} \) là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC.

Bước 2: Tính góc A:

Vì \( \widehat{CAx} \) và \( \widehat{CAB} \) kề bù:

\( \widehat{A} = 180° – 125° = 55° \)

Bước 3: Tính góc B:

Theo tính chất góc ngoài: \( \widehat{CAx} = \widehat{B} + \widehat{C} \)

\( 125° = \widehat{B} + 55° \)

\( \widehat{B} = 125° – 55° = 70° \)

Vậy \( \widehat{A} = 55° \) và \( \widehat{B} = 70° \).

Bài tập 6

Cho tam giác ABC cân tại A có góc ngoài tại đỉnh B bằng 140°. Tính các góc của tam giác ABC.

Lời giải:

Bước 1: Tính góc B:

\( \widehat{B} = 180° – 140° = 40° \)

Bước 2: Vì tam giác ABC cân tại A nên \( \widehat{B} = \widehat{C} \):

\( \widehat{C} = 40° \)

Bước 3: Tính góc A:

\( \widehat{A} = 180° – \widehat{B} – \widehat{C} = 180° – 40° – 40° = 100° \)

Vậy \( \widehat{A} = 100° \), \( \widehat{B} = \widehat{C} = 40° \).

Bài tập 7

Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một tam giác (mỗi đỉnh lấy một góc) bằng 360°.

Lời giải:

Gọi ba góc trong của tam giác là \( \widehat{A} \), \( \widehat{B} \), \( \widehat{C} \).

Gọi ba góc ngoài tương ứng là \( \widehat{A’} \), \( \widehat{B’} \), \( \widehat{C’} \).

Bước 1: Ta có:

• \( \widehat{A’} = 180° – \widehat{A} \)
• \( \widehat{B’} = 180° – \widehat{B} \)
• \( \widehat{C’} = 180° – \widehat{C} \)

Bước 2: Tổng ba góc ngoài:

\( \widehat{A’} + \widehat{B’} + \widehat{C’} = (180° – \widehat{A}) + (180° – \widehat{B}) + (180° – \widehat{C}) \)

\( = 540° – (\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}) \)

\( = 540° – 180° = 360° \)

Vậy tổng ba góc ngoài của tam giác bằng 360° (đpcm).

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về tính chất góc ngoài của tam giác, bao gồm định nghĩa, hai tính chất quan trọng và cách chứng minh. Tính chất “góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề” là công cụ hữu ích giúp giải quyết nhanh chóng nhiều bài toán về góc trong tam giác. Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng để nắm vững kiến thức này!