Viết phương trình đường thẳng: Công thức, cách lập pt lớp 10

Viết phương trình đường thẳng là một trong những dạng bài tập quan trọng và thường gặp nhất trong chương trình Toán THPT, đặc biệt trong phần Hình học giải tích. Để viết phương trình đường thẳng, ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một trong các yếu tố: hệ số góc, vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững tất cả các phương pháp viết phương trình đường thẳng cùng ví dụ minh họa chi tiết.

1. Các dạng phương trình đường thẳng

Trước khi học cách viết phương trình đường thẳng, ta cần nắm vững các dạng phương trình:

1.1. Phương trình tổng quát

Dạng:

\[ ax + by + c = 0 \quad (a^2 + b^2 \neq 0) \]

Trong đó:

• a, b, c là các hệ số
• \( \vec{n} = (a; b) \) là vectơ pháp tuyến
• \( \vec{u} = (-b; a) \) hoặc \( \vec{u} = (b; -a) \) là vectơ chỉ phương

1.2. Phương trình tham số

Dạng:

\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

Trong đó:

• \( M_0(x_0; y_0) \) là điểm thuộc đường thẳng
• \( \vec{u} = (a; b) \) là vectơ chỉ phương
• t là tham số

1.3. Phương trình chính tắc

Dạng:

\[ \frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} \quad (a \neq 0, b \neq 0) \]

1.4. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc

Dạng:

\[ y = kx + m \]

Trong đó:

• k là hệ số góc (slope): \( k = \tan\alpha \) với α là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox
• m là tung độ gốc (điểm cắt trục Oy)

1.5. Phương trình đoạn chắn

Dạng:

\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \quad (a \neq 0, b \neq 0) \]

Đường thẳng cắt trục Ox tại A(a; 0) và cắt trục Oy tại B(0; b).

1.6. Bảng tổng hợp các dạng phương trình

Dạng phương trình	Công thức	Đặc điểm
Tổng quát	\( ax + by + c = 0 \)	Biểu diễn mọi đường thẳng
Tham số	\( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \)	Dễ tìm điểm trên đường thẳng
Chính tắc	\( \frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} \)	Không biểu diễn được đường thẳng song song trục
Hệ số góc	\( y = kx + m \)	Không biểu diễn được đường thẳng đứng
Đoạn chắn	\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)	Đường thẳng không qua gốc O

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết hệ số góc

Đây là dạng cơ bản nhất khi viết phương trình đường thẳng:

2.1. Công thức

Đường thẳng đi qua điểm \( M(x_0; y_0) \) có hệ số góc k:

\[ y – y_0 = k(x – x_0) \]

Hay:

\[ y = k(x – x_0) + y_0 \]

2.2. Các bước thực hiện

1. Bước 1: Xác định tọa độ điểm \( M(x_0; y_0) \)
2. Bước 2: Xác định hệ số góc k
3. Bước 3: Áp dụng công thức \( y – y_0 = k(x – x_0) \)
4. Bước 4: Rút gọn về dạng cần thiết

2.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2; 3) có hệ số góc k = 4.

Giải:

Phương trình đường thẳng:

\[ y – 3 = 4(x – 2) \]

\[ y = 4x – 8 + 3 \]

\[ y = 4x – 5 \]

Hoặc dạng tổng quát: \( 4x – y – 5 = 0 \)

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-1; 2) có hệ số góc k = -3.

Giải:

\[ y – 2 = -3(x – (-1)) \]

\[ y – 2 = -3(x + 1) \]

\[ y = -3x – 3 + 2 = -3x – 1 \]

Kết quả: \( y = -3x – 1 \) hay \( 3x + y + 1 = 0 \)

2.4. Trường hợp đặc biệt

Trường hợp	Hệ số góc k	Phương trình
Đường thẳng nằm ngang	k = 0	\( y = y_0 \)
Đường thẳng tạo góc 45° với Ox	k = 1	\( y – y_0 = x – x_0 \)
Đường thẳng tạo góc 135° với Ox	k = -1	\( y – y_0 = -(x – x_0) \)
Đường thẳng đứng	Không xác định	\( x = x_0 \)

3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Khi viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, ta có các cách sau:

3.1. Công thức

Đường thẳng đi qua hai điểm \( A(x_1; y_1) \) và \( B(x_2; y_2) \):

\[ \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} \quad (x_1 \neq x_2, y_1 \neq y_2) \]

3.2. Các bước thực hiện

1. Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm A và B
2. Bước 2: Tính vectơ chỉ phương \( \vec{AB} = (x_2 – x_1; y_2 – y_1) \)
3. Bước 3: Viết phương trình đường thẳng

3.3. Phương pháp tính hệ số góc

Nếu \( x_1 \neq x_2 \), hệ số góc của đường thẳng AB:

\[ k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]

Sau đó áp dụng: \( y – y_1 = k(x – x_1) \)

3.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 2) và B(3; 6).

Giải:

Cách 1: Dùng công thức

\[ \frac{x – 1}{3 – 1} = \frac{y – 2}{6 – 2} \]

\[ \frac{x – 1}{2} = \frac{y – 2}{4} \]

\[ 4(x – 1) = 2(y – 2) \]

\[ 4x – 4 = 2y – 4 \]

\[ 4x – 2y = 0 \Leftrightarrow 2x – y = 0 \]

Cách 2: Tính hệ số góc

\[ k = \frac{6 – 2}{3 – 1} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ y – 2 = 2(x – 1) \]

\[ y = 2x \]

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-2; 5) và N(4; -1).

Giải:

\[ k = \frac{-1 – 5}{4 – (-2)} = \frac{-6}{6} = -1 \]

\[ y – 5 = -1(x – (-2)) \]

\[ y – 5 = -(x + 2) \]

\[ y = -x – 2 + 5 = -x + 3 \]

Kết quả: \( y = -x + 3 \) hay \( x + y – 3 = 0 \)

3.5. Trường hợp đặc biệt

Trường hợp	Điều kiện	Phương trình
Đường thẳng đứng	\( x_1 = x_2 \)	\( x = x_1 \)
Đường thẳng ngang	\( y_1 = y_2 \)	\( y = y_1 \)

4. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết vectơ pháp tuyến

Khi viết phương trình đường thẳng với vectơ pháp tuyến đã biết:

4.1. Công thức

Đường thẳng đi qua \( M(x_0; y_0) \) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (a; b) \):

\[ a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0 \]

Hay:

\[ ax + by – ax_0 – by_0 = 0 \]

4.2. Ý nghĩa vectơ pháp tuyến

Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) là vectơ vuông góc với đường thẳng.

Nếu đường thẳng có phương trình \( ax + by + c = 0 \) thì \( \vec{n} = (a; b) \).

4.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2; -1) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (3; 4) \).

Giải:

\[ 3(x – 2) + 4(y – (-1)) = 0 \]

\[ 3(x – 2) + 4(y + 1) = 0 \]

\[ 3x – 6 + 4y + 4 = 0 \]

\[ 3x + 4y – 2 = 0 \]

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua B(1; 3) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (2; -5) \).

Giải:

\[ 2(x – 1) + (-5)(y – 3) = 0 \]

\[ 2x – 2 – 5y + 15 = 0 \]

\[ 2x – 5y + 13 = 0 \]

4.4. Mối quan hệ giữa vectơ pháp tuyến và hệ số góc

Nếu \( \vec{n} = (a; b) \) với \( b \neq 0 \), thì hệ số góc:

\[ k = -\frac{a}{b} \]

5. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết vectơ chỉ phương

Khi viết phương trình đường thẳng với vectơ chỉ phương đã biết:

5.1. Công thức phương trình tham số

Đường thẳng đi qua \( M(x_0; y_0) \) có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a; b) \):

\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

5.2. Công thức phương trình chính tắc

\[ \frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} \quad (a \neq 0, b \neq 0) \]

5.3. Chuyển sang phương trình tổng quát

Từ vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a; b) \), ta có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (b; -a) \) hoặc \( \vec{n} = (-b; a) \).

Phương trình tổng quát:

\[ b(x – x_0) – a(y – y_0) = 0 \]

5.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 2) có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (3; -2) \).

Giải:

Phương trình tham số:

\[ \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 – 2t \end{cases} \]

Phương trình chính tắc:

\[ \frac{x – 1}{3} = \frac{y – 2}{-2} \]

Phương trình tổng quát:

Vectơ pháp tuyến: \( \vec{n} = (-2; -3) \) hay \( \vec{n} = (2; 3) \)

\[ 2(x – 1) + 3(y – 2) = 0 \]

\[ 2x + 3y – 8 = 0 \]

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua B(-2; 4) có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (1; 5) \).

Giải:

Phương trình tham số:

\[ \begin{cases} x = -2 + t \\ y = 4 + 5t \end{cases} \]

Phương trình tổng quát:

Vectơ pháp tuyến: \( \vec{n} = (5; -1) \)

\[ 5(x + 2) – 1(y – 4) = 0 \]

\[ 5x + 10 – y + 4 = 0 \]

\[ 5x – y + 14 = 0 \]

5.5. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

Vectơ chỉ phương \( \vec{u} \)	Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \)
(a; b)	(b; -a) hoặc (-b; a)
(1; k)	(k; -1) hoặc (-k; 1)
(1; 0)	(0; 1) – đường ngang
(0; 1)	(1; 0) – đường đứng

6. Viết phương trình đường thẳng song song/vuông góc với đường thẳng cho trước

Đây là dạng bài thường gặp khi viết phương trình đường thẳng:

6.1. Đường thẳng song song

Tính chất: Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương (hoặc cùng vectơ pháp tuyến, cùng hệ số góc).

Công thức: Đường thẳng song song với \( ax + by + c = 0 \) và đi qua \( M(x_0; y_0) \):

\[ a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0 \]

Hay: \( ax + by – ax_0 – by_0 = 0 \)

Điều kiện song song:

• \( d_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \)
• \( d_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 \)

\[ d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \]

Hoặc: \( k_1 = k_2 \) (cùng hệ số góc)

6.2. Đường thẳng vuông góc

Tính chất: Hai đường thẳng vuông góc có vectơ chỉ phương vuông góc với nhau, hoặc vectơ pháp tuyến đường này là vectơ chỉ phương đường kia.

Công thức: Đường thẳng vuông góc với \( ax + by + c = 0 \) và đi qua \( M(x_0; y_0) \):

\[ b(x – x_0) – a(y – y_0) = 0 \]

Hay: \( bx – ay – bx_0 + ay_0 = 0 \)

Điều kiện vuông góc:

\[ d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow a_1a_2 + b_1b_2 = 0 \]

Hoặc: \( k_1 \cdot k_2 = -1 \)

6.3. Bảng tổng hợp

Quan hệ	Điều kiện hệ số góc	Điều kiện vectơ
Song song	\( k_1 = k_2 \)	\( \vec{n_1} = t\vec{n_2} \) hoặc \( \vec{u_1} = t\vec{u_2} \)
Vuông góc	\( k_1 \cdot k_2 = -1 \)	\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \) hoặc \( \vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0 \)
Trùng nhau	\( k_1 = k_2 \) và cùng đi qua 1 điểm	\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)

6.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2; -1) và song song với đường thẳng \( d: 3x – 2y + 5 = 0 \).

Giải:

Đường thẳng song song với d có dạng: \( 3x – 2y + c = 0 \)

Đi qua A(2; -1): \( 3(2) – 2(-1) + c = 0 \)

\[ 6 + 2 + c = 0 \Rightarrow c = -8 \]

Kết quả: \( 3x – 2y – 8 = 0 \)

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua B(1; 3) và vuông góc với đường thẳng \( d: 2x + 5y – 1 = 0 \).

Giải:

Đường thẳng d có \( \vec{n_d} = (2; 5) \)

Đường thẳng cần tìm vuông góc với d nên có \( \vec{n} = (5; -2) \) (hoặc dùng \( \vec{u_d} \) làm \( \vec{n} \))

Phương trình đường thẳng qua B(1; 3) với \( \vec{n} = (5; -2) \):

\[ 5(x – 1) – 2(y – 3) = 0 \]

\[ 5x – 5 – 2y + 6 = 0 \]

\[ 5x – 2y + 1 = 0 \]

6.5. Công thức nhanh

Đường thẳng cho trước	Song song qua \( M(x_0; y_0) \)	Vuông góc qua \( M(x_0; y_0) \)
\( ax + by + c = 0 \)	\( a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0 \)	\( b(x – x_0) – a(y – y_0) = 0 \)
\( y = kx + m \)	\( y – y_0 = k(x – x_0) \)	\( y – y_0 = -\frac{1}{k}(x – x_0) \)

7. Bảng tổng hợp các trường hợp viết phương trình đường thẳng

Dưới đây là bảng tổng hợp tất cả các trường hợp viết phương trình đường thẳng:

7.1. Bảng công thức theo dữ kiện

STT	Dữ kiện	Công thức
1	Điểm \( M(x_0; y_0) \) và hệ số góc k	\( y – y_0 = k(x – x_0) \)
2	Hai điểm \( A(x_1; y_1) \), \( B(x_2; y_2) \)	\( \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} \)
3	Điểm \( M(x_0; y_0) \) và \( \vec{n} = (a; b) \)	\( a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0 \)
4	Điểm \( M(x_0; y_0) \) và \( \vec{u} = (a; b) \)	\( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \)
5	Song song với \( ax + by + c = 0 \) qua M	\( a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0 \)
6	Vuông góc với \( ax + by + c = 0 \) qua M	\( b(x – x_0) – a(y – y_0) = 0 \)
7	Cắt Ox tại (a; 0), Oy tại (0; b)	\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)
8	Hệ số góc k, cắt Oy tại (0; m)	\( y = kx + m \)

7.2. Các trường hợp đặc biệt

Đường thẳng	Phương trình	Đặc điểm
Trục Ox	\( y = 0 \)	\( \vec{u} = (1; 0) \), \( \vec{n} = (0; 1) \)
Trục Oy	\( x = 0 \)	\( \vec{u} = (0; 1) \), \( \vec{n} = (1; 0) \)
Song song Ox qua \( (0; b) \)	\( y = b \)	k = 0
Song song Oy qua \( (a; 0) \)	\( x = a \)	k không xác định
Đường phân giác góc phần tư I, III	\( y = x \)	k = 1
Đường phân giác góc phần tư II, IV	\( y = -x \)	k = -1

7.3. Chuyển đổi giữa các dạng

Từ dạng	Sang dạng	Cách chuyển
Tổng quát \( ax + by + c = 0 \)	Hệ số góc	\( y = -\frac{a}{b}x – \frac{c}{b} \) (b ≠ 0)
Hệ số góc \( y = kx + m \)	Tổng quát	\( kx – y + m = 0 \)
Tham số	Tổng quát	Khử t từ hai phương trình
Chính tắc	Tổng quát	Nhân chéo và rút gọn

8. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững cách viết phương trình đường thẳng, hãy cùng làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm, biết hệ số góc

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(3; -2) có hệ số góc k = 2.

Lời giải:

Áp dụng công thức: \( y – y_0 = k(x – x_0) \)

\[ y – (-2) = 2(x – 3) \]

\[ y + 2 = 2x – 6 \]

\[ y = 2x – 8 \]

Kết quả: \( y = 2x – 8 \) hay \( 2x – y – 8 = 0 \)

Bài tập 2: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-1; 4) và B(3; -2).

Lời giải:

Cách 1: Tính hệ số góc

\[ k = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{-2 – 4}{3 – (-1)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \]

Phương trình đường thẳng qua A(-1; 4):

\[ y – 4 = -\frac{3}{2}(x – (-1)) \]

\[ y – 4 = -\frac{3}{2}(x + 1) \]

\[ 2(y – 4) = -3(x + 1) \]

\[ 2y – 8 = -3x – 3 \]

\[ 3x + 2y – 5 = 0 \]

Kết quả: \( 3x + 2y – 5 = 0 \)

Bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng với vectơ pháp tuyến

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua P(2; 5) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (4; -3) \).

Lời giải:

Phương trình đường thẳng:

\[ 4(x – 2) + (-3)(y – 5) = 0 \]

\[ 4x – 8 – 3y + 15 = 0 \]

\[ 4x – 3y + 7 = 0 \]

Kết quả: \( 4x – 3y + 7 = 0 \)

Bài tập 4: Viết phương trình đường thẳng với vectơ chỉ phương

Đề bài: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua Q(-3; 1) có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (2; 5) \).

Lời giải:

Phương trình tham số:

\[ \begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = 1 + 5t \end{cases} \]

Phương trình tổng quát:

Vectơ pháp tuyến: \( \vec{n} = (5; -2) \)

\[ 5(x + 3) – 2(y – 1) = 0 \]

\[ 5x + 15 – 2y + 2 = 0 \]

\[ 5x – 2y + 17 = 0 \]

Bài tập 5: Đường thẳng song song

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; -2) và song song với đường thẳng \( d: 2x – 3y + 6 = 0 \).

Lời giải:

Đường thẳng song song với d có dạng: \( 2x – 3y + c = 0 \)

Thay tọa độ A(1; -2):

\[ 2(1) – 3(-2) + c = 0 \]

\[ 2 + 6 + c = 0 \]

\[ c = -8 \]

Kết quả: \( 2x – 3y – 8 = 0 \)

Bài tập 6: Đường thẳng vuông góc

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua B(4; 1) và vuông góc với đường thẳng \( d: x + 2y – 5 = 0 \).

Lời giải:

Đường thẳng d có \( \vec{n_d} = (1; 2) \)

Đường thẳng vuông góc với d có \( \vec{n} = (2; -1) \) (đổi vị trí và đổi dấu một thành phần)

Phương trình đường thẳng:

\[ 2(x – 4) – 1(y – 1) = 0 \]

\[ 2x – 8 – y + 1 = 0 \]

\[ 2x – y – 7 = 0 \]

Kết quả: \( 2x – y – 7 = 0 \)

Bài tập 7: Phương trình đoạn chắn

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại A(3; 0) và cắt trục Oy tại B(0; -2).

Lời giải:

Cách 1: Dùng phương trình đoạn chắn

\[ \frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1 \]

\[ \frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 1 \]

Nhân cả hai vế với 6:

\[ 2x – 3y = 6 \]

Cách 2: Viết phương trình qua 2 điểm A(3; 0) và B(0; -2)

\[ k = \frac{-2 – 0}{0 – 3} = \frac{2}{3} \]

\[ y – 0 = \frac{2}{3}(x – 3) \]

\[ y = \frac{2}{3}x – 2 \]

\[ 3y = 2x – 6 \]

\[ 2x – 3y – 6 = 0 \]

Kết quả: \( 2x – 3y – 6 = 0 \)

Bài tập 8: Chuyển dạng phương trình

Đề bài: Cho đường thẳng có phương trình tham số \( \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 + 4t \end{cases} \). Viết phương trình tổng quát.

Lời giải:

Từ phương trình tham số:

\[ t = \frac{x – 2}{3} \quad \text{và} \quad t = \frac{y + 1}{4} \]

Suy ra:

\[ \frac{x – 2}{3} = \frac{y + 1}{4} \]

\[ 4(x – 2) = 3(y + 1) \]

\[ 4x – 8 = 3y + 3 \]

\[ 4x – 3y – 11 = 0 \]

Kết quả: \( 4x – 3y – 11 = 0 \)

Bài tập 9: Đường trung trực

Đề bài: Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; 3) và B(5; -1).

Lời giải:

Đường trung trực đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB.

Trung điểm I:

\[ I = \left( \frac{1 + 5}{2}; \frac{3 + (-1)}{2} \right) = (3; 1) \]

Vectơ \( \vec{AB} \):

\[ \vec{AB} = (5 – 1; -1 – 3) = (4; -4) \]

Đường trung trực vuông góc với AB nên có \( \vec{n} = \vec{AB} = (4; -4) \) hay \( \vec{n} = (1; -1) \)

Phương trình đường trung trực:

\[ 1(x – 3) + (-1)(y – 1) = 0 \]

\[ x – 3 – y + 1 = 0 \]

\[ x – y – 2 = 0 \]

Kết quả: \( x – y – 2 = 0 \)

Bài tập 10: Đường cao tam giác

Đề bài: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(4; 1), C(2; 5). Viết phương trình đường cao AH kẻ từ A.

Lời giải:

Đường cao AH đi qua A và vuông góc với BC.

Vectơ \( \vec{BC} \):

\[ \vec{BC} = (2 – 4; 5 – 1) = (-2; 4) \]

Đường cao AH vuông góc với BC nên có \( \vec{n}_{AH} = \vec{BC} = (-2; 4) \) hay \( \vec{n} = (1; -2) \)

Phương trình đường cao AH qua A(1; 2):

\[ 1(x – 1) + (-2)(y – 2) = 0 \]

\[ x – 1 – 2y + 4 = 0 \]

\[ x – 2y + 3 = 0 \]

Kết quả: \( x – 2y + 3 = 0 \)

9. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ về cách viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

• Qua 1 điểm, biết hệ số góc k: \( y – y_0 = k(x – x_0) \)
• Qua 2 điểm A, B: \( \frac{x – x_1}{x_2 – x_1} = \frac{y – y_1}{y_2 – y_1} \) hoặc tính \( k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \)
• Qua 1 điểm, biết \( \vec{n} = (a; b) \): \( a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0 \)
• Qua 1 điểm, biết \( \vec{u} = (a; b) \): \( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \)
• Song song với d: Cùng \( \vec{n} \) hoặc cùng hệ số góc k
• Vuông góc với d: \( k_1 \cdot k_2 = -1 \) hoặc \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \)

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững cách viết phương trình đường thẳng và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!