Đạo hàm của căn bậc 3: Công thức đạo hàm căn bậc 3 của x chi tiết
Đạo hàm của căn bậc 3 là một trong những dạng đạo hàm quan trọng trong chương trình Toán THPT và Đại học, được ứng dụng nhiều trong khảo sát hàm số và giải tích. Đạo hàm của căn bậc 3 của x là \( (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \), và đạo hàm căn bậc 3 của hàm u(x) là \( (\sqrt[3]{u})’ = \frac{u’}{3\sqrt[3]{u^2}} \). Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững công thức, cách chứng minh và các ví dụ minh họa chi tiết.
1. Căn bậc 3 là gì?
Trước khi tìm hiểu đạo hàm của căn bậc 3, ta cần nắm vững khái niệm căn bậc 3.
1.1. Định nghĩa căn bậc 3
Định nghĩa: Căn bậc 3 của số a là số x sao cho \( x^3 = a \).
\[ \sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow x^3 = a \]
1.2. Đặc điểm của căn bậc 3
| Đặc điểm | Căn bậc 3 | Căn bậc 2 |
|---|---|---|
| Tập xác định | \( \mathbb{R} \) (mọi số thực) | \( [0; +\infty) \) |
| Giá trị | Có thể âm, 0 hoặc dương | Luôn ≥ 0 |
| Ví dụ với số âm | \( \sqrt[3]{-8} = -2 \) ✓ | \( \sqrt{-8} \) không xác định |
1.3. Ví dụ cơ bản
| Biểu thức | Giá trị | Giải thích |
|---|---|---|
| \( \sqrt[3]{8} \) | 2 | Vì \( 2^3 = 8 \) |
| \( \sqrt[3]{27} \) | 3 | Vì \( 3^3 = 27 \) |
| \( \sqrt[3]{-8} \) | -2 | Vì \( (-2)^3 = -8 \) |
| \( \sqrt[3]{0} \) | 0 | Vì \( 0^3 = 0 \) |
| \( \sqrt[3]{1} \) | 1 | Vì \( 1^3 = 1 \) |
1.4. Viết căn bậc 3 dưới dạng lũy thừa
Công thức chuyển đổi:
\[ \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \]
\[ \sqrt[3]{x^m} = x^{\frac{m}{3}} \]
| Dạng căn | Dạng lũy thừa |
|---|---|
| \( \sqrt[3]{x} \) | \( x^{\frac{1}{3}} \) |
| \( \sqrt[3]{x^2} \) | \( x^{\frac{2}{3}} \) |
| \( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \) | \( x^{-\frac{1}{3}} \) |
| \( \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \) | \( x^{-\frac{2}{3}} \) |
2. Công thức đạo hàm của căn bậc 3
Dưới đây là công thức đạo hàm của căn bậc 3 cơ bản:
2.1. Công thức cơ bản
Công thức:
\[ (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \quad (x \neq 0) \]
Hay viết dưới dạng lũy thừa:
\[ (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \]
2.2. Chứng minh công thức
Cách 1: Dùng công thức đạo hàm lũy thừa
Ta có: \( \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \)
Áp dụng công thức \( (x^{\alpha})’ = \alpha x^{\alpha – 1} \):
\[ (\sqrt[3]{x})’ = (x^{\frac{1}{3}})’ = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} – 1} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \]
Cách 2: Dùng định nghĩa đạo hàm
\[ (\sqrt[3]{x})’ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + \Delta x} – \sqrt[3]{x}}{\Delta x} \]
Sử dụng hằng đẳng thức: \( a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \)
Đặt \( a = \sqrt[3]{x + \Delta x} \), \( b = \sqrt[3]{x} \)
\[ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x) – x}{\Delta x \left[ \sqrt[3]{(x+\Delta x)^2} + \sqrt[3]{x(x+\Delta x)} + \sqrt[3]{x^2} \right]} \]
\[ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{(x+\Delta x)^2} + \sqrt[3]{x(x+\Delta x)} + \sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \]
2.3. Điều kiện áp dụng
Lưu ý quan trọng:
- Hàm \( y = \sqrt[3]{x} \) xác định với mọi x ∈ ℝ
- Đạo hàm \( (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \) tồn tại khi x ≠ 0
- Tại x = 0, đạo hàm không tồn tại (tiếp tuyến thẳng đứng)
2.4. Đồ thị minh họa
| Tính chất | Hàm \( y = \sqrt[3]{x} \) |
|---|---|
| Tập xác định | \( \mathbb{R} \) |
| Tập giá trị | \( \mathbb{R} \) |
| Đạo hàm | \( y’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} > 0 \) với x ≠ 0 |
| Tính đơn điệu | Đồng biến trên ℝ |
| Điểm đặc biệt | Đi qua gốc O(0; 0) |
3. Đạo hàm căn bậc 3 của hàm hợp
Khi biểu thức dưới dấu căn là một hàm số, ta áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp để tính đạo hàm của căn bậc 3:
3.1. Công thức tổng quát
Công thức:
\[ (\sqrt[3]{u})’ = \frac{u’}{3\sqrt[3]{u^2}} \quad (u \neq 0) \]
Hay:
\[ (u^{\frac{1}{3}})’ = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}} \cdot u’ = \frac{u’}{3\sqrt[3]{u^2}} \]
3.2. Các bước tính đạo hàm
- Bước 1: Xác định u = f(x) (biểu thức dưới dấu căn)
- Bước 2: Tính u’ = f'(x)
- Bước 3: Áp dụng công thức \( (\sqrt[3]{u})’ = \frac{u’}{3\sqrt[3]{u^2}} \)
- Bước 4: Rút gọn kết quả (nếu cần)
3.3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của \( y = \sqrt[3]{2x + 1} \)
Giải:
Đặt u = 2x + 1 → u’ = 2
\[ y’ = \frac{u’}{3\sqrt[3]{u^2}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}} \]
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của \( y = \sqrt[3]{x^2 – 4} \)
Giải:
Đặt u = x² – 4 → u’ = 2x
\[ y’ = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2-4)^2}} \]
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của \( y = \sqrt[3]{x^3 + 1} \)
Giải:
Đặt u = x³ + 1 → u’ = 3x²
\[ y’ = \frac{3x^2}{3\sqrt[3]{(x^3+1)^2}} = \frac{x^2}{\sqrt[3]{(x^3+1)^2}} \]
3.4. Các dạng thường gặp
| Hàm số | Đạo hàm của căn bậc 3 | Điều kiện |
|---|---|---|
| \( \sqrt[3]{x} \) | \( \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \) | x ≠ 0 |
| \( \sqrt[3]{ax + b} \) | \( \frac{a}{3\sqrt[3]{(ax+b)^2}} \) | ax + b ≠ 0 |
| \( \sqrt[3]{x^2} \) | \( \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \) | x ≠ 0 |
| \( \sqrt[3]{x^n} \) | \( \frac{n}{3} x^{\frac{n-3}{3}} \) | Tùy n |
| \( \sqrt[3]{u(x)} \) | \( \frac{u’}{3\sqrt[3]{u^2}} \) | u ≠ 0 |
4. Bảng tổng hợp công thức đạo hàm căn bậc 3
Dưới đây là bảng tổng hợp đầy đủ các công thức đạo hàm của căn bậc 3:
4.1. Công thức cơ bản
| STT | Hàm số f(x) | Đạo hàm f'(x) | Điều kiện |
|---|---|---|---|
| 1 | \( \sqrt[3]{x} \) | \( \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \) | x ≠ 0 |
| 2 | \( \sqrt[3]{x^2} \) | \( \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \) | x ≠ 0 |
| 3 | \( x^{\frac{1}{3}} \) | \( \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \) | x ≠ 0 |
| 4 | \( x^{\frac{2}{3}} \) | \( \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \) | x ≠ 0 |
| 5 | \( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \) | \( -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} \) | x ≠ 0 |
4.2. Công thức với hàm hợp
| STT | Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|---|
| 1 | \( \sqrt[3]{u} \) | \( \frac{u’}{3\sqrt[3]{u^2}} \) |
| 2 | \( \sqrt[3]{u^2} \) | \( \frac{2u’}{3\sqrt[3]{u}} \) |
| 3 | \( \sqrt[3]{ax + b} \) | \( \frac{a}{3\sqrt[3]{(ax+b)^2}} \) |
| 4 | \( \sqrt[3]{ax^2 + bx + c} \) | \( \frac{2ax + b}{3\sqrt[3]{(ax^2+bx+c)^2}} \) |
| 5 | \( \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \) | \( -\frac{u’}{3\sqrt[3]{u^4}} \) |
4.3. So sánh với đạo hàm căn bậc 2
| Tiêu chí | Căn bậc 2 | Căn bậc 3 |
|---|---|---|
| Hàm số | \( \sqrt{x} \) | \( \sqrt[3]{x} \) |
| Đạo hàm | \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) | \( \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \) |
| Hàm hợp | \( \frac{u’}{2\sqrt{u}} \) | \( \frac{u’}{3\sqrt[3]{u^2}} \) |
| Điều kiện hàm số | x ≥ 0 | x ∈ ℝ |
| Điều kiện đạo hàm | x > 0 | x ≠ 0 |
4.4. Công thức tổng quát căn bậc n
Công thức:
\[ (\sqrt[n]{x})’ = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \]
\[ (\sqrt[n]{u})’ = \frac{u’}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}} \]
| n | Đạo hàm \( (\sqrt[n]{x})’ \) |
|---|---|
| 2 | \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) |
| 3 | \( \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \) |
| 4 | \( \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} \) |
| 5 | \( \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} \) |
| n | \( \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \) |
5. Các dạng bài tập thường gặp
Khi làm bài tập về đạo hàm của căn bậc 3, bạn thường gặp các dạng sau:
5.1. Dạng 1: Tính đạo hàm trực tiếp
Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức
Ví dụ: Tính \( (\sqrt[3]{5x – 2})’ \)
\[ (\sqrt[3]{5x – 2})’ = \frac{5}{3\sqrt[3]{(5x-2)^2}} \]
5.2. Dạng 2: Đạo hàm tích có căn bậc 3
Phương pháp: Áp dụng \( (uv)’ = u’v + uv’ \)
Ví dụ: Tính đạo hàm của \( y = x \cdot \sqrt[3]{x} \)
\[ y = x \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}} \]
\[ y’ = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} = \frac{4\sqrt[3]{x}}{3} \]
5.3. Dạng 3: Đạo hàm thương có căn bậc 3
Phương pháp: Áp dụng \( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \)
5.4. Dạng 4: Đạo hàm hàm hợp phức tạp
Phương pháp: Áp dụng nhiều lần quy tắc hàm hợp
5.5. Dạng 5: Tính đạo hàm cấp cao
Phương pháp: Tính \( y’ \), sau đó tính \( y” \), \( y”’ \),…
5.6. Bảng tổng hợp các dạng
| Dạng bài | Công thức cần dùng |
|---|---|
| Đạo hàm trực tiếp | \( (\sqrt[3]{u})’ = \frac{u’}{3\sqrt[3]{u^2}} \) |
| Đạo hàm tích | \( (uv)’ = u’v + uv’ \) |
| Đạo hàm thương | \( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \) |
| Hàm hợp lồng nhau | Áp dụng nhiều lần quy tắc hàm hợp |
| Đạo hàm cấp cao | Tính lần lượt \( y’, y”, … \) |
6. Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm căn bậc 3
Khi tính đạo hàm của căn bậc 3, học sinh thường mắc các lỗi sau:
6.1. Quên chia cho 3
| Sai | Đúng |
|---|---|
| \( (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \) | \( (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \) |
6.2. Nhầm số mũ trong mẫu
| Sai | Đúng |
|---|---|
| \( (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x}} \) | \( (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \) |
| \( (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^3}} \) | \( (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \) |
6.3. Quên đạo hàm hàm bên trong (hàm hợp)
| Sai | Đúng |
|---|---|
| \( (\sqrt[3]{2x+1})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}} \) | \( (\sqrt[3]{2x+1})’ = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}} \) |
| \( (\sqrt[3]{x^2})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} \) | \( (\sqrt[3]{x^2})’ = \frac{2x}{3\sqrt[3]{x^4}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \) |
6.4. Nhầm lẫn với căn bậc 2
| Căn bậc 2 | Căn bậc 3 |
|---|---|
| \( (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) | \( (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \) |
| Mẫu: \( 2\sqrt{x} = 2\sqrt{x^1} \) | Mẫu: \( 3\sqrt[3]{x^2} \) |
6.5. Cách nhớ đúng
Quy tắc nhớ: Với \( (\sqrt[n]{x})’ \):
- Hệ số: chia cho n
- Số mũ trong căn: n – 1
\[ (\sqrt[n]{x})’ = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \]
Áp dụng cho căn bậc 3 (n = 3):
- Hệ số: chia cho 3
- Số mũ: 3 – 1 = 2
\[ (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \]
7. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết
Để nắm vững đạo hàm của căn bậc 3, hãy cùng làm các bài tập sau:
Bài tập 1: Đạo hàm căn bậc 3 cơ bản
Đề bài: Tính đạo hàm các hàm số:
a) \( y = \sqrt[3]{x} \)
b) \( y = \sqrt[3]{4x – 3} \)
c) \( y = \sqrt[3]{x^2 + 1} \)
Lời giải:
a) \( y = \sqrt[3]{x} \)
\[ y’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \]
b) \( y = \sqrt[3]{4x – 3} \)
Đặt u = 4x – 3 → u’ = 4
\[ y’ = \frac{4}{3\sqrt[3]{(4x-3)^2}} \]
c) \( y = \sqrt[3]{x^2 + 1} \)
Đặt u = x² + 1 → u’ = 2x
\[ y’ = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}} \]
Bài tập 2: Đạo hàm \( \sqrt[3]{x^2} \)
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = \sqrt[3]{x^2} \)
Lời giải:
Cách 1: Dùng công thức hàm hợp
Đặt u = x² → u’ = 2x
\[ y’ = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2)^2}} = \frac{2x}{3\sqrt[3]{x^4}} = \frac{2x}{3x^{\frac{4}{3}}} = \frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \]
Cách 2: Chuyển về lũy thừa
\[ y = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} \]
\[ y’ = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} – 1} = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \]
Bài tập 3: Đạo hàm tích chứa căn bậc 3
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = x^2 \cdot \sqrt[3]{x} \)
Lời giải:
Cách 1: Dùng công thức đạo hàm tích
\[ y’ = (x^2)’ \cdot \sqrt[3]{x} + x^2 \cdot (\sqrt[3]{x})’ \]
\[ = 2x \cdot \sqrt[3]{x} + x^2 \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \]
\[ = 2x \cdot x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^2}{3x^{\frac{2}{3}}} \]
\[ = 2x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} = \frac{6x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{3}}}{3} = \frac{7x^{\frac{4}{3}}}{3} = \frac{7\sqrt[3]{x^4}}{3} \]
Cách 2: Chuyển về lũy thừa trước
\[ y = x^2 \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{7}{3}} \]
\[ y’ = \frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} = \frac{7\sqrt[3]{x^4}}{3} \]
Bài tập 4: Đạo hàm thương chứa căn bậc 3
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = \frac{x}{\sqrt[3]{x+1}} \)
Lời giải:
Đặt u = x, v = \( \sqrt[3]{x+1} = (x+1)^{\frac{1}{3}} \)
\[ u’ = 1 \]
\[ v’ = \frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}} \]
Áp dụng công thức đạo hàm thương:
\[ y’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} = \frac{1 \cdot \sqrt[3]{x+1} – x \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}}{(\sqrt[3]{x+1})^2} \]
\[ = \frac{\sqrt[3]{x+1} – \frac{x}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}}{\sqrt[3]{(x+1)^2}} \]
\[ = \frac{\frac{3(x+1) – x}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}}{\sqrt[3]{(x+1)^2}} = \frac{2x + 3}{3\sqrt[3]{(x+1)^4}} \]
Bài tập 5: Đạo hàm \( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)
Lời giải:
Viết lại: \( y = x^{-\frac{1}{3}} \)
\[ y’ = -\frac{1}{3} x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} \]
Bài tập 6: Đạo hàm căn bậc 3 lồng nhau
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}} \)
Lời giải:
Viết lại:
\[ y = \sqrt[3]{x^{\frac{1}{3}}} = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{9}} \]
\[ y’ = \frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} – 1} = \frac{1}{9} x^{-\frac{8}{9}} = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}} \]
Bài tập 7: Tính đạo hàm cấp hai
Đề bài: Cho \( y = \sqrt[3]{x} \). Tính y”.
Lời giải:
Tính y’:
\[ y’ = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \]
Tính y”:
\[ y” = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{9} x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}} \]
Bài tập 8: Đạo hàm căn bậc 3 kết hợp với hàm lượng giác
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = \sqrt[3]{\sin x} \)
Lời giải:
Đặt u = sin x → u’ = cos x
\[ y’ = \frac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}} = \frac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}} \]
Bài tập 9: Đạo hàm căn bậc 3 kết hợp với hàm mũ
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = \sqrt[3]{e^x + 1} \)
Lời giải:
Đặt u = eˣ + 1 → u’ = eˣ
\[ y’ = \frac{e^x}{3\sqrt[3]{(e^x + 1)^2}} \]
Bài tập 10: Bài toán tổng hợp
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \sqrt[3]{x^2} \)
Lời giải:
Viết lại dưới dạng lũy thừa:
\[ y = x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \]
Tính đạo hàm từng phần:
\[ y’ = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} + \left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}} + \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \]
\[ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} – \frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \]
Quy đồng (nếu cần):
\[ y’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} – \frac{1}{3x\sqrt[3]{x}} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \]
8. Kết luận
Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ về đạo hàm của căn bậc 3 cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:
- Đạo hàm của căn bậc 3 cơ bản: \( (\sqrt[3]{x})’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \) với x ≠ 0
- Đạo hàm hàm hợp: \( (\sqrt[3]{u})’ = \frac{u’}{3\sqrt[3]{u^2}} \) với u ≠ 0
- Dạng lũy thừa: \( (x^{\frac{1}{3}})’ = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \)
- Đạo hàm nghịch đảo: \( \left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)’ = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} \)
- Quy tắc nhớ: Với căn bậc n: hệ số là 1/n, số mũ trong căn là n-1
- Lưu ý: Căn bậc 3 xác định với mọi x, nhưng đạo hàm chỉ tồn tại khi x ≠ 0
Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững công thức đạo hàm của căn bậc 3 và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!
Có thể bạn quan tâm
