Mặt phẳng trung trực: Viết phương trình mặt phẳng trung trực AB

Mặt phẳng trung trực là khái niệm quan trọng trong Hình học không gian lớp 11 và 12, được ứng dụng nhiều trong các bài toán tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp, tính khoảng cách và viết phương trình mặt phẳng. Bài viết dưới đây cung cấp đầy đủ định nghĩa, tính chất, công thức cùng các bài tập minh họa chi tiết.

Mặt phẳng trung trực là gì?

Để giải quyết các bài toán liên quan, trước hết ta cần hiểu rõ mặt phẳng trung trực được định nghĩa như thế nào.

Định nghĩa: Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB.

Ký hiệu: Mặt phẳng trung trực của đoạn AB thường được ký hiệu là \((P)\) hoặc \((\alpha)\).

Hình ảnh minh họa:

• Điểm I là trung điểm của AB
• Mặt phẳng \((P)\) đi qua I
• Mặt phẳng \((P)\) vuông góc với AB, tức là \((P) \perp AB\)

Tính chất của mặt phẳng trung trực

Sau khi nắm được định nghĩa, ta cần ghi nhớ các tính chất quan trọng của mặt phẳng trung trực để áp dụng vào bài tập.

Tính chất 1: Tập hợp điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách đều hai điểm A và B.

Phát biểu dưới dạng toán học:

\[M \in (P) \Leftrightarrow MA = MB\]

Tính chất 2: Điều kiện cần và đủ

Điều kiện	Kết luận
Điểm M thuộc mặt phẳng trung trực của AB	\(MA = MB\)
\(MA = MB\)	Điểm M thuộc mặt phẳng trung trực của AB

Tính chất 3: Mặt phẳng trung trực duy nhất

Với mỗi đoạn thẳng AB cho trước, tồn tại duy nhất một mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó.

Tính chất 4: Ứng dụng tìm tâm mặt cầu

Tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình là giao điểm của các mặt phẳng trung trực của các cạnh.

• Tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác: giao của 3 mặt phẳng trung trực các cạnh
• Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện: giao của 6 mặt phẳng trung trực các cạnh (chỉ cần 3 mặt phẳng không đồng quy)

Cách xác định mặt phẳng trung trực

Để xác định mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, ta có các phương pháp sau:

Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

1. Tìm trung điểm I của đoạn AB
2. Xác định mặt phẳng đi qua I và vuông góc với AB

Phương pháp 2: Dùng tính chất tập hợp điểm

1. Tìm các điểm cách đều A và B
2. Mặt phẳng chứa các điểm đó chính là mặt phẳng trung trực

Phương pháp 3: Trong hệ tọa độ Oxyz

Sử dụng công thức viết phương trình mặt phẳng trung trực (trình bày chi tiết ở phần tiếp theo).

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Trong không gian Oxyz, việc viết phương trình mặt phẳng trung trực là dạng toán thường gặp.

Công thức tổng quát

Cho hai điểm \(A(x_1; y_1; z_1)\) và \(B(x_2; y_2; z_2)\).

Bước 1: Tìm trung điểm I của AB:

\[I\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)\]

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực:

Vì mặt phẳng vuông góc với AB nên vectơ pháp tuyến là:

\[\vec{n} = \overrightarrow{AB} = (x_2 – x_1; y_2 – y_1; z_2 – z_1)\]

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua I với vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\):

\[(x_2 – x_1)(x – x_I) + (y_2 – y_1)(y – y_I) + (z_2 – z_1)(z – z_I) = 0\]

Công thức rút gọn

Điểm \(M(x; y; z)\) thuộc mặt phẳng trung trực của AB khi và chỉ khi:

\[MA = MB\]
\[\Leftrightarrow MA^2 = MB^2\]

Khai triển:

\[(x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 + (z – z_1)^2 = (x – x_2)^2 + (y – y_2)^2 + (z – z_2)^2\]

Ví dụ minh họa chi tiết

Dưới đây là các ví dụ giúp bạn hiểu rõ hơn về mặt phẳng trung trực và cách viết phương trình.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng trung trực cơ bản

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với \(A(1; 2; 3)\) và \(B(3; 4; 5)\).

Lời giải:

Cách 1: Dùng định nghĩa

Trung điểm I của AB:

\[I\left(\frac{1+3}{2}; \frac{2+4}{2}; \frac{3+5}{2}\right) = I(2; 3; 4)\]

Vectơ pháp tuyến:

\[\vec{n} = \overrightarrow{AB} = (3-1; 4-2; 5-3) = (2; 2; 2)\]

Rút gọn: \(\vec{n} = (1; 1; 1)\)

Phương trình mặt phẳng trung trực:

\[1(x – 2) + 1(y – 3) + 1(z – 4) = 0\]
\[x – 2 + y – 3 + z – 4 = 0\]
\[x + y + z – 9 = 0\]

Cách 2: Dùng điều kiện MA = MB

Gọi \(M(x; y; z)\) thuộc mặt phẳng trung trực. Ta có \(MA = MB\):

\[MA^2 = MB^2\]
\[(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2\]

Khai triển vế trái:

\[x^2 – 2x + 1 + y^2 – 4y + 4 + z^2 – 6z + 9\]

Khai triển vế phải:

\[x^2 – 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 + z^2 – 10z + 25\]

Rút gọn:

\[-2x – 4y – 6z + 14 = -6x – 8y – 10z + 50\]
\[4x + 4y + 4z = 36\]
\[x + y + z – 9 = 0\]

Đáp số: Phương trình mặt phẳng trung trực: \(x + y + z – 9 = 0\)

Ví dụ 2: Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác

Đề bài: Cho tam giác ABC với \(A(1; 0; 0)\), \(B(0; 2; 0)\), \(C(0; 0; 3)\). Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi \(I(x; y; z)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Ta có: \(IA = IB = IC\).

Từ IA = IB:

\[(x-1)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-2)^2 + z^2\]
\[x^2 – 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 – 4y + 4\]
\[-2x + 1 = -4y + 4\]
\[-2x + 4y = 3 \quad (1)\]

Từ IB = IC:

\[x^2 + (y-2)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z-3)^2\]
\[y^2 – 4y + 4 = z^2 – 6z + 9\]
\[-4y + 4 = -6z + 9\]
\[-4y + 6z = 5 \quad (2)\]

Từ IA = IC:

\[(x-1)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z-3)^2\]
\[x^2 – 2x + 1 = z^2 – 6z + 9\]
\[-2x + 1 = -6z + 9\]
\[-2x + 6z = 8\]
\[-x + 3z = 4 \quad (3)\]

Giải hệ phương trình (1), (2), (3):

Từ (1): \(x = 2y – \frac{3}{2}\)

Thay vào (3):

\[-\left(2y – \frac{3}{2}\right) + 3z = 4\]
\[-2y + \frac{3}{2} + 3z = 4\]
\[-2y + 3z = \frac{5}{2} \quad (4)\]

Từ (2): \(-4y + 6z = 5\), chia 2: \(-2y + 3z = \frac{5}{2}\)

Phương trình (4) trùng với (2), nên ta cần thêm điều kiện. Vì tam giác ABC nằm trong không gian, ta giải:

Từ (2): \(z = \frac{5 + 4y}{6}\)

Thay vào (3): \(-x + 3 \times \frac{5 + 4y}{6} = 4\)

\[-x + \frac{5 + 4y}{2} = 4\]
\[x = \frac{5 + 4y}{2} – 4 = \frac{5 + 4y – 8}{2} = \frac{4y – 3}{2}\]

Thay vào (1): \(-2 \times \frac{4y – 3}{2} + 4y = 3\)

\[-(4y – 3) + 4y = 3\]
\[-4y + 3 + 4y = 3\]
\[3 = 3\] (luôn đúng)

Chọn \(y = 1\):

\[x = \frac{4 \times 1 – 3}{2} = \frac{1}{2}\]
\[z = \frac{5 + 4 \times 1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\]

Vậy \(I\left(\frac{1}{2}; 1; \frac{3}{2}\right)\).

Bán kính:

\[R = IA = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-1\right)^2 + 1^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{2}\]

Đáp số: Tâm \(I\left(\frac{1}{2}; 1; \frac{3}{2}\right)\), bán kính \(R = \frac{\sqrt{14}}{2}\).

Ví dụ 3: Xác định mặt phẳng trung trực trong hình học không gian

Đề bài: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định mặt phẳng trung trực của đoạn AC’.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AC’. Ta có I cũng là tâm hình lập phương.

Mặt phẳng trung trực của AC’ đi qua I và vuông góc với AC’.

Trong hình lập phương, đường chéo BD’ vuông góc với AC’ và cắt AC’ tại I.

Tương tự, đường chéo B’D cũng vuông góc với AC’ và đi qua I.

Kết luận: Mặt phẳng trung trực của AC’ là mặt phẳng (BDB’D’) – mặt phẳng chứa hai đường chéo còn lại của hình lập phương.

Bài tập vận dụng có lời giải

Hãy luyện tập thêm với các bài tập về mặt phẳng trung trực dưới đây.

Bài tập 1

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB với \(A(2; -1; 3)\) và \(B(4; 3; 1)\).

Lời giải:

Trung điểm I:

\[I\left(\frac{2+4}{2}; \frac{-1+3}{2}; \frac{3+1}{2}\right) = I(3; 1; 2)\]

Vectơ pháp tuyến:

\[\vec{n} = \overrightarrow{AB} = (4-2; 3-(-1); 1-3) = (2; 4; -2)\]

Rút gọn: \(\vec{n} = (1; 2; -1)\)

Phương trình mặt phẳng:

\[1(x – 3) + 2(y – 1) + (-1)(z – 2) = 0\]
\[x – 3 + 2y – 2 – z + 2 = 0\]
\[x + 2y – z – 3 = 0\]

Đáp số: \(x + 2y – z – 3 = 0\)

Bài tập 2

Đề bài: Cho điểm \(A(1; 2; -1)\) và mặt phẳng \((P): 2x – y + 2z – 3 = 0\). Tìm điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng (P).

Lời giải:

B đối xứng với A qua (P) nghĩa là (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với (P):

\[\frac{x – 1}{2} = \frac{y – 2}{-1} = \frac{z + 1}{2} = t\]

Tọa độ điểm trên đường thẳng: \(M(1 + 2t; 2 – t; -1 + 2t)\)

Gọi H là hình chiếu của A lên (P), tức H là trung điểm AB. H thuộc (P):

\[2(1 + 2t) – (2 – t) + 2(-1 + 2t) – 3 = 0\]
\[2 + 4t – 2 + t – 2 + 4t – 3 = 0\]
\[9t – 5 = 0\]
\[t = \frac{5}{9}\]

Tọa độ H:

\[H\left(1 + \frac{10}{9}; 2 – \frac{5}{9}; -1 + \frac{10}{9}\right) = H\left(\frac{19}{9}; \frac{13}{9}; \frac{1}{9}\right)\]

Vì H là trung điểm AB nên:

\[B = 2H – A = \left(\frac{38}{9} – 1; \frac{26}{9} – 2; \frac{2}{9} + 1\right) = \left(\frac{29}{9}; \frac{8}{9}; \frac{11}{9}\right)\]

Đáp số: \(B\left(\frac{29}{9}; \frac{8}{9}; \frac{11}{9}\right)\)

Bài tập 3

Đề bài: Cho tứ diện OABC với \(O(0; 0; 0)\), \(A(2; 0; 0)\), \(B(0; 4; 0)\), \(C(0; 0; 6)\). Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Lời giải:

Gọi \(I(x; y; z)\) là tâm mặt cầu. Ta có \(IO = IA = IB = IC\).

Từ IO = IA:

\[x^2 + y^2 + z^2 = (x-2)^2 + y^2 + z^2\]
\[x^2 = x^2 – 4x + 4\]
\[4x = 4\]
\[x = 1\]

Từ IO = IB:

\[x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-4)^2 + z^2\]
\[y^2 = y^2 – 8y + 16\]
\[8y = 16\]
\[y = 2\]

Từ IO = IC:

\[x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z-6)^2\]
\[z^2 = z^2 – 12z + 36\]
\[12z = 36\]
\[z = 3\]

Tâm \(I(1; 2; 3)\).

Bán kính:

\[R = IO = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}\]

Đáp số: Tâm \(I(1; 2; 3)\), bán kính \(R = \sqrt{14}\).

Bài tập 4

Đề bài: Cho hai điểm \(A(-1; 2; 1)\) và \(B(3; 0; -1)\). Tìm điểm M trên trục Oz sao cho \(MA = MB\).

Lời giải:

Điểm M trên trục Oz có dạng \(M(0; 0; z)\).

Điều kiện \(MA = MB\) nghĩa là M thuộc mặt phẳng trung trực của AB.

Ta có:

\[MA^2 = MB^2\]
\[(0+1)^2 + (0-2)^2 + (z-1)^2 = (0-3)^2 + (0-0)^2 + (z+1)^2\]
\[1 + 4 + z^2 – 2z + 1 = 9 + z^2 + 2z + 1\]
\[6 – 2z = 10 + 2z\]
\[-4z = 4\]
\[z = -1\]

Đáp số: \(M(0; 0; -1)\)

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về mặt phẳng trung trực bao gồm định nghĩa, tính chất quan trọng và cách viết phương trình trong hệ tọa độ Oxyz. Đây là kiến thức nền tảng được áp dụng nhiều trong các bài toán tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp, tìm điểm đối xứng và các bài toán về khoảng cách. Học sinh cần nắm vững khái niệm mặt phẳng trung trực và luyện tập thường xuyên để giải quyết hiệu quả các dạng bài tập trong đề thi THPT Quốc gia.