Lập phương của một hiệu: Công thức lập phương của một tổng chi tiết

Lập phương của một hiệu là một trong những hằng đẳng thức đáng nhớ quan trọng trong chương trình Toán học. Công thức lập phương của một hiệu: \((a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\). Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ công thức, cách chứng minh, mẹo ghi nhớ và áp dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả.

Công thức lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu là hằng đẳng thức thứ 5 trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, được phát biểu như sau:

Công thức tổng quát:

\( (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

Hoặc có thể viết dưới dạng rút gọn:

\( (a – b)^3 = a^3 – b^3 – 3ab(a – b) \)

Trong đó:

• \( a, b \) là các số hoặc biểu thức đại số
• \( (a – b)^3 \) đọc là “lập phương của hiệu a và b”
• Kết quả là một đa thức có 4 hạng tử

Quy tắc phát biểu bằng lời: Lập phương của một hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất, trừ ba lần tích bình phương biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng ba lần tích biểu thức thứ nhất với bình phương biểu thức thứ hai, trừ lập phương biểu thức thứ hai.

Chứng minh công thức lập phương của một hiệu

Để hiểu sâu hơn về công thức lập phương của một hiệu, ta tiến hành chứng minh như sau:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa lũy thừa

Ta có:

\( (a – b)^3 = (a – b)(a – b)(a – b) \)

Bước 1: Tính \( (a – b)^2 \) trước

\( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)

Bước 2: Nhân tiếp với \( (a – b) \)

\( (a – b)^3 = (a^2 – 2ab + b^2)(a – b) \)

\( = a^3 – a^2b – 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 – b^3 \)

\( = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

Cách 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton

Áp dụng khai triển nhị thức Newton với \( n = 3 \):

\( (a – b)^3 = \sum_{k=0}^{3} C_3^k \cdot a^{3-k} \cdot (-b)^k \)

\( = C_3^0 a^3 + C_3^1 a^2(-b) + C_3^2 a(-b)^2 + C_3^3 (-b)^3 \)

\( = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

Cách nhớ công thức nhanh và chính xác

Để ghi nhớ lập phương của một hiệu, bạn có thể áp dụng các mẹo sau:

Mẹo 1: Nhớ theo quy luật số mũ và hệ số

Quy luật:

• Hệ số theo tam giác Pascal: 1, 3, 3, 1
• Số mũ của \( a \): giảm dần từ 3 → 0
• Số mũ của \( b \): tăng dần từ 0 → 3
• Dấu: xen kẽ +, −, +, − (bắt đầu bằng +)

Mẹo 2: Câu thơ ghi nhớ

“Lập phương của hiệu nhớ cho rõ
A mũ ba trừ ba a bình b
Cộng ba a b bình, trừ b mũ ba”

Mẹo 3: So sánh với lập phương của một tổng

Lập phương của một hiệu có dấu xen kẽ (+ − + −), khác với lập phương của một tổng có tất cả dấu cộng.

So sánh lập phương của một hiệu và lập phương của một tổng

Các dạng bài tập thường gặp

Khi học về lập phương của một hiệu, bạn sẽ gặp các dạng bài tập sau:

Dạng 1: Khai triển biểu thức

Áp dụng trực tiếp công thức để khai triển \( (a – b)^3 \)

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Sử dụng công thức để biến đổi và rút gọn các biểu thức phức tạp

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức

Áp dụng công thức để tính nhanh các lũy thừa bậc 3

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Nhận dạng và phân tích ngược từ kết quả về dạng \( (a – b)^3 \)

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

Sử dụng công thức để chứng minh các đẳng thức đại số

Ví dụ minh họa chi tiết

Dưới đây là các ví dụ giúp bạn hiểu rõ cách áp dụng công thức lập phương của một hiệu.

Ví dụ 1: Khai triển cơ bản

Đề bài: Khai triển \( (x – 2)^3 \)

Lời giải:

Áp dụng công thức \( (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \) với \( a = x, b = 2 \):

\( (x – 2)^3 = x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 – 2^3 \)

\( = x^3 – 6x^2 + 12x – 8 \)

Đáp số: \( (x – 2)^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8 \)

Ví dụ 2: Khai triển với hệ số

Đề bài: Khai triển \( (2x – 3y)^3 \)

Lời giải:

Áp dụng công thức với \( a = 2x, b = 3y \):

\( (2x – 3y)^3 = (2x)^3 – 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 – (3y)^3 \)

\( = 8x^3 – 3 \cdot 4x^2 \cdot 3y + 3 \cdot 2x \cdot 9y^2 – 27y^3 \)

\( = 8x^3 – 36x^2y + 54xy^2 – 27y^3 \)

Đáp số: \( (2x – 3y)^3 = 8x^3 – 36x^2y + 54xy^2 – 27y^3 \)

Ví dụ 3: Tính giá trị nhanh

Đề bài: Tính \( 99^3 \) bằng cách áp dụng hằng đẳng thức

Lời giải:

Ta viết: \( 99^3 = (100 – 1)^3 \)

Áp dụng lập phương của một hiệu:

\( (100 – 1)^3 = 100^3 – 3 \cdot 100^2 \cdot 1 + 3 \cdot 100 \cdot 1^2 – 1^3 \)

\( = 1000000 – 30000 + 300 – 1 \)

\( = 970299 \)

Đáp số: \( 99^3 = 970299 \)

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức

Đề bài: Rút gọn \( (x – 1)^3 – (x + 1)(x^2 – x + 1) + 3x(x – 1) \)

Lời giải:

Ta có:

• \( (x – 1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1 \)
• \( (x + 1)(x^2 – x + 1) = x^3 + 1 \) (hằng đẳng thức tổng hai lập phương)
• \( 3x(x – 1) = 3x^2 – 3x \)

Thay vào biểu thức:

\( = (x^3 – 3x^2 + 3x – 1) – (x^3 + 1) + (3x^2 – 3x) \)

\( = x^3 – 3x^2 + 3x – 1 – x^3 – 1 + 3x^2 – 3x \)

\( = -2 \)

Đáp số: Biểu thức rút gọn bằng \( -2 \)

Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử

Đề bài: Phân tích đa thức \( 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 \) thành nhân tử

Lời giải:

Nhận xét:

• \( 8x^3 = (2x)^3 \)
• \( 1 = 1^3 \)
• Kiểm tra: \( 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 = 12x^2 \) ✓
• Kiểm tra: \( 3 \cdot (2x) \cdot 1^2 = 6x \) ✓

Đây là khai triển của \( (2x – 1)^3 \)

Đáp số: \( 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 = (2x – 1)^3 \)

Bài tập vận dụng có lời giải

Bài tập 1

Đề bài: Khai triển \( (3a – 2b)^3 \)

Lời giải:

\( (3a – 2b)^3 = (3a)^3 – 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 – (2b)^3 \)

\( = 27a^3 – 3 \cdot 9a^2 \cdot 2b + 3 \cdot 3a \cdot 4b^2 – 8b^3 \)

\( = 27a^3 – 54a^2b + 36ab^2 – 8b^3 \)

Đáp số: \( 27a^3 – 54a^2b + 36ab^2 – 8b^3 \)

Bài tập 2

Đề bài: Tính \( 49^3 \) bằng hằng đẳng thức

Lời giải:

\( 49^3 = (50 – 1)^3 \)

\( = 50^3 – 3 \cdot 50^2 \cdot 1 + 3 \cdot 50 \cdot 1 – 1 \)

\( = 125000 – 7500 + 150 – 1 \)

\( = 117649 \)

Đáp số: \( 49^3 = 117649 \)

Bài tập 3

Đề bài: Chứng minh \( (a – b)^3 = a^3 – b^3 – 3ab(a – b) \)

Lời giải:

Biến đổi vế phải:

\( a^3 – b^3 – 3ab(a – b) \)

\( = a^3 – b^3 – 3a^2b + 3ab^2 \)

\( = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

\( = (a – b)^3 \) (đpcm)

Bài tập 4

Đề bài: Tìm \( x \) biết \( (x – 3)^3 – (x – 3)(x^2 + 3x + 9) + 9(x + 1)^2 = 15 \)

Lời giải:

Ta có:

• \( (x – 3)^3 = x^3 – 9x^2 + 27x – 27 \)
• \( (x – 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 – 27 \) (hiệu hai lập phương)
• \( 9(x + 1)^2 = 9(x^2 + 2x + 1) = 9x^2 + 18x + 9 \)

Thay vào phương trình:

\( x^3 – 9x^2 + 27x – 27 – x^3 + 27 + 9x^2 + 18x + 9 = 15 \)

\( 45x + 9 = 15 \)

\( 45x = 6 \)

\( x = \frac{6}{45} = \frac{2}{15} \)

Đáp số: \( x = \frac{2}{15} \)

Bài tập 5

Đề bài: Phân tích thành nhân tử: \( x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3 \)

Lời giải:

Nhận xét:

• \( x^3 = x^3 \) và \( 8y^3 = (2y)^3 \)
• \( 6x^2y = 3 \cdot x^2 \cdot 2y \) ✓
• \( 12xy^2 = 3 \cdot x \cdot (2y)^2 \) ✓

Đây là lập phương của một hiệu với \( a = x, b = 2y \)

Đáp số: \( x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – 8y^3 = (x – 2y)^3 \)

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững công thức lập phương của một hiệu: \( (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \). Đây là một trong những hằng đẳng thức quan trọng, được áp dụng rộng rãi trong khai triển, rút gọn biểu thức và phân tích đa thức thành nhân tử. Hãy ghi nhớ quy luật hệ số 1-3-3-1 và dấu xen kẽ để áp dụng lập phương của một hiệu một cách chính xác trong các bài tập.