Cách chứng minh hình lục giác đều: Nội tiếp, đối xứng và bài tập

Cách chứng minh hình lục giác đều là một dạng bài tập quan trọng trong chương trình hình học phẳng. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ các dấu hiệu nhận biết hình lục giác đều, các phương pháp chứng minh chi tiết cùng ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức này.

Hình lục giác đều là gì?

Trước khi tìm hiểu cách chứng minh hình lục giác đều, chúng ta cần ôn lại định nghĩa và các tính chất cơ bản của hình này.

Định nghĩa hình lục giác đều

Hình lục giác đều là đa giác đều có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau. Nói cách khác, hình lục giác đều là hình lục giác vừa có tất cả các cạnh bằng nhau, vừa có tất cả các góc bằng nhau.

Các tính chất quan trọng cần nhớ

Tính chất đặc biệt về cấu trúc

• Chia thành 6 tam giác đều: Khi nối tâm với 6 đỉnh, hình lục giác đều được chia thành 6 tam giác đều bằng nhau
• 3 đường chéo chính: Ba đường chéo nối các đỉnh đối diện đồng quy tại tâm và bằng \(2a\)
• Nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn: Luôn tồn tại đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp đồng tâm

Các dấu hiệu nhận biết hình lục giác đều

Để thực hiện cách chứng minh hình lục giác đều, ta cần nắm vững các dấu hiệu nhận biết sau đây.

Dấu hiệu 1: Định nghĩa cơ bản

Hình lục giác có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau là hình lục giác đều.

Đây là dấu hiệu trực tiếp từ định nghĩa, cần chứng minh:

• \(AB = BC = CD = DE = EF = FA = a\)
• \(\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = \widehat{E} = \widehat{F} = 120°\)

Dấu hiệu 2: Sử dụng đường tròn ngoại tiếp

Hình lục giác nội tiếp đường tròn có 6 cạnh bằng nhau là hình lục giác đều.

Điều kiện cần chứng minh:

• 6 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn
• 6 cạnh có độ dài bằng nhau

Dấu hiệu 3: Sử dụng cung tròn

Hình lục giác nội tiếp đường tròn có 6 cung bằng nhau là hình lục giác đều.

Mỗi cung chắn một góc ở tâm bằng \(\frac{360°}{6} = 60°\)

Dấu hiệu 4: Sử dụng tam giác đều

Hình lục giác được tạo bởi 6 tam giác đều bằng nhau có chung một đỉnh là hình lục giác đều.

Dấu hiệu 5: Sử dụng tính đối xứng

Hình lục giác có tâm đối xứng và 6 trục đối xứng (3 trục qua các cặp đỉnh đối diện, 3 trục qua trung điểm các cặp cạnh đối diện) là hình lục giác đều.

Bảng tổng hợp dấu hiệu nhận biết

Các cách chứng minh hình lục giác đều

Dựa trên các dấu hiệu nhận biết, ta có nhiều cách chứng minh hình lục giác đều khác nhau tùy thuộc vào dữ kiện đề bài.

Cách 1: Chứng minh 6 cạnh và 6 góc bằng nhau

Đây là cách chứng minh hình lục giác đều trực tiếp nhất từ định nghĩa.

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Chứng minh 6 cạnh bằng nhauSử dụng các phương pháp: tam giác bằng nhau, tính chất đối xứng, tọa độ,…

   Cần chỉ ra: \(AB = BC = CD = DE = EF = FA\)

2. Bước 2: Chứng minh 6 góc bằng nhauTính hoặc chứng minh mỗi góc trong bằng \(120°\)

   Hoặc chứng minh: \(\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = \widehat{E} = \widehat{F}\)

3. Bước 3: Kết luận ABCDEF là hình lục giác đều

Cách 2: Chứng minh bằng đường tròn ngoại tiếp

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Chứng minh 6 đỉnh cùng thuộc một đường trònTìm tâm O cách đều 6 đỉnh: \(OA = OB = OC = OD = OE = OF = R\)
2. Bước 2: Chứng minh 6 cạnh bằng nhau\(AB = BC = CD = DE = EF = FA\)
3. Bước 3: Kết luận ABCDEF là hình lục giác đều

Cách 3: Chứng minh bằng góc ở tâm

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Xác định tâm O của hình lục giác
2. Bước 2: Chứng minh 6 góc ở tâm bằng nhau và bằng \(60°\)\(\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COD} = \widehat{DOE} = \widehat{EOF} = \widehat{FOA} = 60°\)
3. Bước 3: Chứng minh các khoảng cách từ tâm đến các đỉnh bằng nhau\(OA = OB = OC = OD = OE = OF\)
4. Bước 4: Kết luận ABCDEF là hình lục giác đều

Cách 4: Chứng minh bằng 6 tam giác đều

Phương pháp này dựa trên tính chất đặc trưng của hình lục giác đều.

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Xác định tâm O (giao điểm của các đường chéo chính)
2. Bước 2: Chứng minh 6 tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA là tam giác đềuMỗi tam giác có 3 cạnh bằng nhau hoặc 3 góc bằng \(60°\)
3. Bước 3: Chứng minh 6 tam giác đều này bằng nhau
4. Bước 4: Kết luận ABCDEF là hình lục giác đều

Cách 5: Chứng minh bằng phương pháp tọa độ

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Đặt hệ trục tọa độ với tâm O làm gốc
2. Bước 2: Tính tọa độ 6 đỉnh của hình lục giácVới hình lục giác đều cạnh \(a\), tâm tại gốc tọa độ:
   • \(A(a, 0)\)
   • \(B\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
   • \(C\left(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
   • \(D(-a, 0)\)
   • \(E\left(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
   • \(F\left(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
3. Bước 3: Tính độ dài các cạnh bằng công thức khoảng cách
4. Bước 4: Chứng minh 6 cạnh bằng nhau và kết luận

Cách 6: Chứng minh bằng tính đối xứng

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Chứng minh hình lục giác có tâm đối xứng O
2. Bước 2: Chứng minh có 3 trục đối xứng đi qua các cặp đỉnh đối diện
3. Bước 3: Chứng minh có 3 trục đối xứng đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện
4. Bước 4: Kết luận hình lục giác đều

Ví dụ minh họa cách chứng minh hình lục giác đều

Để hiểu rõ hơn về cách chứng minh hình lục giác đều, chúng ta cùng phân tích các bài tập cụ thể sau.

Ví dụ 1: Chứng minh bằng đường tròn

Đề bài: Cho đường tròn (O; R). Trên đường tròn lấy lần lượt 6 điểm A, B, C, D, E, F sao cho các cung AB, BC, CD, DE, EF, FA bằng nhau. Chứng minh ABCDEF là hình lục giác đều.

Lời giải:

Ta có 6 cung bằng nhau, mà tổng 6 cung bằng cả đường tròn \(= 360°\)

Suy ra mỗi cung \(= \frac{360°}{6} = 60°\)

Chứng minh 6 cạnh bằng nhau:

Trong một đường tròn, các cung bằng nhau căng các dây bằng nhau.

Vì \(\stackrel\frown{AB} = \stackrel\frown{BC} = \stackrel\frown{CD} = \stackrel\frown{DE} = \stackrel\frown{EF} = \stackrel\frown{FA}\)

Nên \(AB = BC = CD = DE = EF = FA\)

Chứng minh 6 góc bằng nhau:

Góc nội tiếp chắn cung bằng nửa góc ở tâm chắn cung đó.

Góc \(\widehat{FAB}\) là góc nội tiếp chắn cung FDB (cung lớn không chứa A)

Cung FDB \(= \stackrel\frown{FA} + \stackrel\frown{ED} + \stackrel\frown{DC} + \stackrel\frown{CB} = 4 \times 60° = 240°\)

Suy ra \(\widehat{FAB} = \frac{240°}{2} = 120°\)

Tương tự, các góc còn lại đều bằng \(120°\).

Kết luận: ABCDEF là hình lục giác đều (có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau).

Ví dụ 2: Chứng minh bằng tam giác đều

Đề bài: Cho 6 tam giác đều cạnh \(a\) được ghép chung một đỉnh O, các tam giác kề nhau có chung một cạnh. Chứng minh hình tạo bởi 6 đỉnh còn lại là hình lục giác đều.

Lời giải:

Gọi 6 tam giác đều là OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA.

Chứng minh 6 cạnh bằng nhau:

Vì các tam giác đều có cạnh \(a\), nên:

\(AB = BC = CD = DE = EF = FA = a\)

Chứng minh 6 góc bằng nhau:

Xét góc \(\widehat{FAB}\):

• Trong tam giác đều OFA: \(\widehat{OAF} = 60°\)
• Trong tam giác đều OAB: \(\widehat{OAB} = 60°\)

Suy ra \(\widehat{FAB} = \widehat{OAF} + \widehat{OAB} = 60° + 60° = 120°\)

Tương tự, ta chứng minh được các góc còn lại đều bằng \(120°\).

Kết luận: ABCDEF là hình lục giác đều.

Ví dụ 3: Chứng minh bằng phương pháp tọa độ

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 6 điểm: \(A(2, 0)\), \(B(1, \sqrt{3})\), \(C(-1, \sqrt{3})\), \(D(-2, 0)\), \(E(-1, -\sqrt{3})\), \(F(1, -\sqrt{3})\). Chứng minh ABCDEF là hình lục giác đều.

Lời giải:

Tính độ dài các cạnh:

\(AB = \sqrt{(2-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)

\(BC = \sqrt{(1-(-1))^2 + (\sqrt{3}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 0} = 2\)

\(CD = \sqrt{(-1-(-2))^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)

\(DE = \sqrt{(-2-(-1))^2 + (0-(-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)

\(EF = \sqrt{(-1-1)^2 + (-\sqrt{3}-(-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{4 + 0} = 2\)

\(FA = \sqrt{(1-2)^2 + (-\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)

Kết quả: \(AB = BC = CD = DE = EF = FA = 2\)

Kiểm tra 6 đỉnh cùng thuộc một đường tròn:

Khoảng cách từ gốc O đến mỗi đỉnh:

• \(OA = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2\)
• \(OB = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\)
• \(OC = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\)
• \(OD = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2\)
• \(OE = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2\)
• \(OF = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2\)

Vậy 6 đỉnh cùng nằm trên đường tròn tâm O bán kính R = 2.

Kết luận: ABCDEF là hình lục giác đều (nội tiếp đường tròn và có 6 cạnh bằng nhau).

Ví dụ 4: Chứng minh bằng tính đối xứng

Đề bài: Cho hình lục giác ABCDEF có tâm đối xứng O, biết rằng qua O có 3 đường thẳng AD, BE, CF chia hình thành 6 phần bằng nhau và \(OA = OB = OC\). Chứng minh ABCDEF là hình lục giác đều.

Lời giải:

Chứng minh khoảng cách từ tâm đến các đỉnh bằng nhau:

Vì O là tâm đối xứng nên: \(OA = OD\), \(OB = OE\), \(OC = OF\)

Kết hợp với \(OA = OB = OC\), ta có:

\(OA = OB = OC = OD = OE = OF\)

Chứng minh các góc ở tâm bằng nhau:

Vì 3 đường thẳng qua O chia hình thành 6 phần bằng nhau, nên 6 góc ở tâm bằng nhau:

\(\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COD} = \widehat{DOE} = \widehat{EOF} = \widehat{FOA} = 60°\)

Chứng minh 6 tam giác bằng nhau:

Xét các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA có:

• Hai cạnh kề bằng nhau (các bán kính)
• Góc xen giữa bằng \(60°\)

Theo trường hợp c.g.c, 6 tam giác này bằng nhau.

Hơn nữa, mỗi tam giác có 2 cạnh bằng nhau và góc xen giữa bằng \(60°\), nên đây là các tam giác đều.

Kết luận: ABCDEF là hình lục giác đều.

Bài tập tự luyện

Hãy vận dụng các cách chứng minh hình lục giác đều đã học để giải các bài tập sau.

Bài 1: Cho đường tròn (O; 5cm). Trên đường tròn lấy điểm A, sau đó lần lượt lấy các điểm B, C, D, E, F sao cho \(AB = BC = CD = DE = EF = FA = 5\) cm. Chứng minh ABCDEF là hình lục giác đều.

Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh \(2a\). Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là các điểm chia mỗi cạnh thành 3 phần bằng nhau (theo thứ tự trên các cạnh AB, BC, CA). Chứng minh MNPQRS là hình lục giác đều.

Bài 3: Cho hình lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng các đường chéo AD, BE, CF đều đi qua tâm O và chia nhau thành các đoạn bằng nhau. Chứng minh ABCDEF là hình lục giác đều.

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(A(4, 0)\). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình lục giác đều ABCDEF có tâm tại gốc O và chứng minh đó là hình lục giác đều.

Hướng dẫn giải

Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã tổng hợp đầy đủ các cách chứng minh hình lục giác đều từ cơ bản đến nâng cao. Tùy vào dữ kiện đề bài, bạn có thể lựa chọn phương pháp phù hợp như: chứng minh bằng định nghĩa, sử dụng đường tròn ngoại tiếp, phương pháp tọa độ hay tính đối xứng. Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập để thành thạo các dấu hiệu nhận biết hình lục giác đều nhé!