Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Công thức và cách tính

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11 và Hình học tọa độ lớp 12. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cùng các bài tập minh họa có lời giải cụ thể.

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính góc, ta cần nắm vững định nghĩa cơ bản.

1.1. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng.

Cách xác định:

1. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P)
2. Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P)
3. Góc giữa d và (P) là góc \(\alpha = \widehat{(d, d’)}\)

1.2. Ký hiệu và phạm vi

Góc giữa đường và mặt phẳng được ký hiệu là \(\widehat{(d, (P))}\) hoặc \(\alpha\).

Phạm vi góc: \(0° \leq \alpha \leq 90°\)

1.3. Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp	Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng	\(\alpha = 0°\)
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng	\(\alpha = 90°\)
Đường thẳng cắt mặt phẳng (không vuông góc)	\(0° < \alpha < 90°\)

1.4. Mối quan hệ với góc giữa đường thẳng và vectơ pháp tuyến

Nếu gọi \(\varphi\) là góc giữa đường thẳng d và vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của mặt phẳng (P), thì:

\(\alpha = 90° – \varphi\) hoặc \(\alpha = \varphi – 90°\) (lấy giá trị dương)

Do đó: \(\sin \alpha = |\cos \varphi|\)

2. Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Hình học không gian)

Trong hình học không gian lớp 11, cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thường dựa vào định nghĩa.

2.1. Phương pháp chung

Các bước tính góc giữa đường và mặt:

1. Bước 1: Xác định giao điểm I của đường thẳng d với mặt phẳng (P)
2. Bước 2: Lấy điểm A bất kỳ trên d (A ≠ I)
3. Bước 3: Dựng hình chiếu vuông góc H của A lên (P)
4. Bước 4: Góc cần tìm là \(\widehat{AIH}\)

2.2. Các cách xác định hình chiếu

Trường hợp	Cách xác định
Có đường vuông góc với (P)	Dựng đường vuông góc, tìm chân đường vuông góc
Dùng định lý ba đường vuông góc	Tìm hình chiếu qua các quan hệ vuông góc
Đặt hệ tọa độ	Dùng công thức tọa độ để tính

2.3. Ví dụ minh họa (Hình học không gian)

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu của S lên (ABCD).

→ AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).

→ Góc giữa SC và (ABCD) là góc \(\widehat{SCA}\).

Ta có: \(AC = a\sqrt{2}\) (đường chéo hình vuông)

\(\tan(\widehat{SCA}) = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\widehat{SCA} = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 35°16’\)

3. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong Oxyz

Trong không gian tọa độ Oxyz, công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được thiết lập dựa trên vectơ.

3.1. Dữ kiện cần có

Cho:

• Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (a_1; b_1; c_1)\)
• Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (a_2; b_2; c_2)\)

3.2. Công thức chính

Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

\(\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}\)

3.3. Công thức khai triển

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Oxyz được tính bởi:

\(\sin \alpha = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\)

3.4. Chứng minh công thức

Gọi \(\varphi\) là góc giữa \(\vec{u}\) và \(\vec{n}\).

Vì \(\vec{n}\) vuông góc với (P), nên góc giữa d và (P) là:

\(\alpha = |90° – \varphi|\)

Do đó: \(\sin \alpha = |\cos \varphi| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}\) ✓

3.5. Bảng tổng hợp công thức

Công thức	Biểu thức
Sin góc giữa đường và mặt	\(\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}\)
Tích vô hướng	\(\vec{u} \cdot \vec{n} = a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2\)
Độ dài vectơ chỉ phương	\(|\vec{u}| = \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\)
Độ dài vectơ pháp tuyến	\(|\vec{n}| = \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}\)
Góc	\(\alpha = \arcsin\left(\frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}\right)\)

3.6. So sánh với góc giữa hai mặt phẳng

Loại góc	Công thức	Hàm lượng giác
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng	\(\frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}\)	sin α
Góc giữa hai mặt phẳng	\(\frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\)	cos α
Góc giữa hai đường thẳng	\(\frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}\)	cos α

Lưu ý quan trọng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng sin, trong khi các góc khác dùng cos.

4. Điều kiện đặc biệt

Từ công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có các điều kiện:

4.1. Đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng

d // (P) hoặc d ⊂ (P) khi và chỉ khi \(\vec{u} \perp \vec{n}\):

\(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0\)

Khi đó: \(\sin \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 0°\)

4.2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

d ⊥ (P) khi và chỉ khi \(\vec{u}\) cùng phương với \(\vec{n}\):

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)

Khi đó: \(\sin \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 90°\)

5. Các dạng bài tập về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Dưới đây là các dạng bài thường gặp khi tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong Oxyz:

Dạng 1: Tính góc trong hình học không gian (Lớp 11)

Phương pháp:

1. Xác định hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
2. Tính góc bằng tam giác vuông hoặc định lý cosin

Dạng 2: Tính góc trong tọa độ Oxyz (Lớp 12)

Phương pháp:

1. Xác định vectơ chỉ phương \(\vec{u}\) của đường thẳng
2. Xác định vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của mặt phẳng
3. Áp dụng công thức: \(\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}\)

Dạng 3: Tìm điều kiện để góc đạt giá trị cho trước

Phương pháp: Lập phương trình từ công thức sin α và giải tìm tham số.

6. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Oxyz (Cơ bản)

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{2}\) và mặt phẳng (P): \(x + 2y – 2z + 3 = 0\). Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

• Đường thẳng d có VTCP: \(\vec{u} = (2; 1; 2)\)
• Mặt phẳng (P) có VTPT: \(\vec{n} = (1; 2; -2)\)

Bước 2: Tính tích vô hướng

\(\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 2 + 2 – 4 = 0\)

Bước 3: Kết luận

Vì \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\) nên \(\sin \alpha = 0\), suy ra \(\alpha = 0°\).

Vậy đường thẳng d song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P)

Bài tập 2: Tính góc cụ thể

Đề bài: Cho đường thẳng d: \(\frac{x}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+1}{-1}\) và mặt phẳng (P): \(x + y + z – 5 = 0\). Tính góc giữa đường và mặt phẳng.

Lời giải:

Bước 1: Xác định các vectơ

• \(\vec{u} = (1; 1; -1)\)
• \(\vec{n} = (1; 1; 1)\)

Bước 2: Tính tích vô hướng và độ dài

\(\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 1 + 1 – 1 = 1\)

\(|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}\)

\(|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)

Bước 3: Áp dụng công thức

\(\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}\)

\(\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19°28’\)

Vậy góc giữa d và (P) là \(\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19°28’\)

Bài tập 3: Góc với mặt phẳng tọa độ

Đề bài: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: d: \(\frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{1}\) và mặt phẳng (Oxy).

Lời giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình: \(z = 0\)

VTPT của (Oxy): \(\vec{n} = (0; 0; 1)\)

VTCP của d: \(\vec{u} = (1; 1; 1)\)

\(\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1\)

\(|\vec{u}| = \sqrt{3}\), \(|\vec{n}| = 1\)

\(\sin \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 35°16’\)

Bài tập 4: Hình học không gian (Hình chóp)

Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B với AB = a, BC = a√3. Biết SA = 2a. Tính góc giữa SB và mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Cách 1: Dùng định nghĩa

Vì SA ⊥ (ABC) nên A là hình chiếu của S lên (ABC).

→ AB là hình chiếu của SB lên (ABC).

→ Góc giữa SB và (ABC) là góc \(\widehat{SBA}\).

Trong tam giác SAB vuông tại A:

\(\tan(\widehat{SBA}) = \frac{SA}{AB} = \frac{2a}{a} = 2\)

\(\widehat{SBA} = \arctan(2) \approx 63°26’\)

Cách 2: Dùng tọa độ

Đặt hệ trục: B là gốc, BA = Ox, BC = Oy

B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a√3;0), S(a;0;2a)

VTCP của SB: \(\vec{u} = \overrightarrow{BS} = (a; 0; 2a)\) hay \(\vec{u} = (1; 0; 2)\)

VTPT của (ABC): \(\vec{n} = (0; 0; 1)\)

\(\sin \alpha = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{1+0+4} \cdot \sqrt{1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\)

\(\alpha = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) \approx 63°26’\)

Vậy góc giữa SB và (ABC) là \(\arctan(2) \approx 63°26’\)

Bài tập 5: Tìm điều kiện

Đề bài: Tìm m để đường thẳng d: \(\frac{x}{m} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{2}\) tạo với mặt phẳng (P): \(x + y + z – 1 = 0\) một góc 30°.

Lời giải:

\(\vec{u} = (m; 1; 2)\), \(\vec{n} = (1; 1; 1)\)

\(\vec{u} \cdot \vec{n} = m + 1 + 2 = m + 3\)

\(|\vec{u}| = \sqrt{m^2 + 1 + 4} = \sqrt{m^2 + 5}\)

\(|\vec{n}| = \sqrt{3}\)

\(\sin 30° = \frac{|m + 3|}{\sqrt{m^2 + 5} \cdot \sqrt{3}}\)

\(\frac{1}{2} = \frac{|m + 3|}{\sqrt{3(m^2 + 5)}}\)

\(\sqrt{3(m^2 + 5)} = 2|m + 3|\)

\(3(m^2 + 5) = 4(m + 3)^2\)

\(3m^2 + 15 = 4(m^2 + 6m + 9)\)

\(3m^2 + 15 = 4m^2 + 24m + 36\)

\(m^2 + 24m + 21 = 0\)

\(m = \frac{-24 \pm \sqrt{576 – 84}}{2} = \frac{-24 \pm \sqrt{492}}{2} = -12 \pm \sqrt{123}\)

Vậy \(m = -12 + \sqrt{123}\) hoặc \(m = -12 – \sqrt{123}\)

7. Bài tập tự luyện

Vận dụng cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: d: \(\frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{2}\) và (P): \(2x – y + 2z – 1 = 0\).

Xem đáp án

\(\vec{u} = (1; 2; 2)\), \(\vec{n} = (2; -1; 2)\)

\(\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 – 2 + 4 = 4\)

\(|\vec{u}| = 3\), \(|\vec{n}| = 3\)

\(\sin \alpha = \frac{4}{9}\)

\(\alpha = \arcsin\left(\frac{4}{9}\right) \approx 26°23’\)

Bài 2: Cho d: \(\frac{x}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{2}\) và (P): \(x + 2y + 2z – 3 = 0\). Tính góc giữa đường và mặt.

Xem đáp án

\(\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 – 2 + 4 = 4\)

\(|\vec{u}| = 3\), \(|\vec{n}| = 3\)

\(\sin \alpha = \frac{4}{9}\)

\(\alpha = \arcsin\left(\frac{4}{9}\right)\)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính góc giữa SD và (ABCD).

Xem đáp án

A là hình chiếu của S lên (ABCD)

AD là hình chiếu của SD lên (ABCD)

Góc cần tìm: \(\widehat{SDA}\)

\(\tan(\widehat{SDA}) = \frac{SA}{AD} = \frac{a}{a} = 1\)

\(\alpha = 45°\)

Bài 4: Tìm k để d: \(\frac{x-1}{k} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{1}\) vuông góc với (P): \(2x + y – z + 1 = 0\).

Xem đáp án

Điều kiện vuông góc: \(\vec{u}\) cùng phương \(\vec{n}\)

\(\frac{k}{2} = \frac{1}{1} = \frac{1}{-1}\) (vô lý)

Không tồn tại k thỏa mãn

8. Kết luận

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là kiến thức quan trọng trong Hình học không gian và tọa độ. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Định nghĩa và cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng định nghĩa (lớp 11)
• Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong Oxyz: \(\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}\)
• Điều kiện đường thẳng song song, vuông góc với mặt phẳng
• Sự khác biệt: dùng sin cho góc giữa đường và mặt, dùng cos cho góc giữa hai mặt phẳng

Hãy luyện tập thường xuyên các bài tập về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 12 để thành thạo và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.