Tích vô hướng: Công thức và cách tính chi tiết nhất

Tích vô hướng là phép toán quan trọng trong hình học vecto, giúp tính góc giữa hai vecto và xác định tính vuông góc. Bài viết này cung cấp đầy đủ công thức tích vô hướng, cách tính tích vô hướng theo nhiều phương pháp cùng các bài tập minh họa có lời giải chi tiết.

Tích vô hướng là gì?

Tích vô hướng của 2 vecto \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là một số thực, được định nghĩa bằng tích độ dài hai vecto nhân với cosin của góc giữa chúng.

Lưu ý quan trọng:

• Khi \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\): Góc giữa hai vecto là góc nhọn
• Khi \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\): Góc giữa hai vecto là góc tù
• Khi \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\): Hai vecto vuông góc với nhau

Công thức tích vô hướng

Có hai công thức tính tích vô hướng cơ bản mà bạn cần nắm vững:

Công thức 1: Tính theo góc

Công thức tích vô hướng theo định nghĩa:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})\)

Trong đó:

• \(|\vec{a}|\), \(|\vec{b}|\): Độ dài của vecto \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\)
• \((\vec{a}, \vec{b})\): Góc giữa hai vecto (từ \(0°\) đến \(180°\))

Công thức 2: Tính theo tọa độ

Cho \(\vec{a} = (a_1; a_2)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2)\), tích vô hướng công thức theo tọa độ:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\)

Trong không gian Oxyz, cho \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\):

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)

Bảng tổng hợp công thức

Cách tính tích vô hướng chi tiết

Dưới đây là hướng dẫn cách tính tích vô hướng theo từng phương pháp:

Phương pháp 1: Tính tích vô hướng theo góc

Các bước thực hiện:

1. Xác định độ dài \(|\vec{a}|\) và \(|\vec{b}|\)
2. Xác định góc \(\alpha = (\vec{a}, \vec{b})\) giữa hai vecto
3. Tính \(\cos \alpha\)
4. Áp dụng công thức: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha\)

Phương pháp 2: Tính tích vô hướng theo tọa độ

Các bước thực hiện:

1. Xác định tọa độ của \(\vec{a} = (a_1; a_2)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2)\)
2. Nhân các thành phần tương ứng: \(a_1 \cdot b_1\) và \(a_2 \cdot b_2\)
3. Cộng các tích lại: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\)

Công thức tính góc từ tích vô hướng

Từ công thức tích vô hướng, ta suy ra công thức tính góc:

\(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\)

Tính chất của tích vô hướng 2 vecto

Khi nhân 2 vecto theo phép tích vô hướng, ta có các tính chất quan trọng sau:

Một số hệ quả quan trọng

• \((\vec{a} + \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\)
• \((\vec{a} – \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 – 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\)
• \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} – \vec{b}) = |\vec{a}|^2 – |\vec{b}|^2\)

Phân biệt tích vô hướng và tích có hướng của 2 vecto

Nhiều bạn hay nhầm lẫn giữa tích vô hướng và tích có hướng của 2 vecto. Bảng sau giúp phân biệt rõ:

Bài tập tích vô hướng có lời giải chi tiết

Hướng dẫn giải các dạng bài tập phổ biến của tích vô hướng:

Bài tập 1: Tính tích vô hướng theo tọa độ

Đề bài: Cho \(\vec{a} = (3; 4)\) và \(\vec{b} = (-2; 5)\). Tính tích vô hướng \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tích vô hướng theo tọa độ:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 5 = -6 + 20 = 14\)

Đáp số: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 14\)

Bài tập 2: Tính góc giữa hai vecto

Đề bài: Cho \(\vec{u} = (1; \sqrt{3})\) và \(\vec{v} = (\sqrt{3}; 1)\). Tính góc giữa hai vecto.

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng 2 vecto

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}\)

Bước 2: Tính độ dài các vecto

\(|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)

\(|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\)

Bước 3: Tính cosin góc

\(\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Bước 4: Suy ra góc

\((\vec{u}, \vec{v}) = 30°\)

Đáp số: Góc giữa hai vecto bằng \(30°\)

Bài tập 3: Xét tính vuông góc

Đề bài: Cho \(\vec{a} = (2; -3)\) và \(\vec{b} = (3; 2)\). Chứng minh hai vecto vuông góc.

Lời giải:

Ta tính tích vô hướng:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 = 6 – 6 = 0\)

Vì \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) nên \(\vec{a} \perp \vec{b}\) (đpcm)

Bài tập 4: Tính tích vô hướng theo góc

Đề bài: Cho \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 4\) và góc giữa hai vecto bằng \(60°\). Tính tích vô hướng của chúng.

Lời giải:

Áp dụng công thức tích vô hướng:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 60°\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 6\)

Đáp số: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 6\)

Bài tập 5: Bài toán trong không gian

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho \(\vec{a} = (1; 2; -2)\) và \(\vec{b} = (3; -1; 1)\). Tính tích vô hướng 2 vecto và góc giữa chúng.

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 1 = 3 – 2 – 2 = -1\)

Bước 2: Tính độ dài

\(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\)

\(|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{11}\)

Bước 3: Tính góc

\(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{-1}{3\sqrt{11}} = \frac{-\sqrt{11}}{33}\)

\((\vec{a}, \vec{b}) \approx 95,8°\)

Đáp số: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -1\); góc giữa hai vecto khoảng \(95,8°\)

Bài tập 6: Ứng dụng tính chất

Đề bài: Cho \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 3\) và \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -3\). Tính \(|\vec{a} + \vec{b}|\).

Lời giải:

Ta có:

\(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\)

\(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4 + 2 \cdot (-3) + 9 = 4 – 6 + 9 = 7\)

\(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7}\)

Đáp số: \(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7}\)

Kết luận

Qua bài viết, bạn đã nắm được tích vô hướng là phép nhân 2 vecto cho kết quả là số thực. Công thức tích vô hướng có thể tính theo góc hoặc theo tọa độ. Việc thành thạo cách tính tích vô hướng giúp giải quyết nhiều bài toán về góc, tính vuông góc và hình chiếu trong hình học vecto.

Hãy luyện tập thêm các bài tập để thành thạo kỹ năng tính tích vô hướng và áp dụng vào các dạng bài thi nhé!