Cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn và bài tập

Cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn là một trong những dạng bài quan trọng trong chương trình hình học lớp 9 và ôn thi vào lớp 10. Việc chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn (hay còn gọi là chứng minh tứ giác nội tiếp) đòi hỏi học sinh nắm vững các dấu hiệu nhận biết và phương pháp giải. Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết 5 phương pháp chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn kèm theo ví dụ minh họa dễ hiểu.

Khi nào 4 điểm cùng thuộc một đường tròn?

Trước khi tìm hiểu cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn, cần nắm rõ khái niệm về tứ giác nội tiếp.

Định nghĩa tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.

Như vậy, chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn tương đương với việc chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn.

Điều kiện để tứ giác nội tiếp

Không phải tứ giác nào cũng nội tiếp được đường tròn. Tứ giác nội tiếp phải thỏa mãn các điều kiện đặc biệt, đây chính là cơ sở cho các phương pháp chứng minh.

Các cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn

Dưới đây là 5 cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn thường gặp trong các bài toán hình học.

Cách 1: Tổng hai góc đối bằng 180°

Dấu hiệu: Nếu tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

Công thức:

• \(\widehat{A} + \widehat{C} = 180°\) hoặc
• \(\widehat{B} + \widehat{D} = 180°\)

⟹ Tứ giác ABCD nội tiếp ⟹ A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Lưu ý: Chỉ cần chứng minh một cặp góc đối có tổng bằng 180° là đủ kết luận.

Cách 2: Góc ngoài bằng góc trong đối diện

Dấu hiệu: Nếu tứ giác có một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp.

Minh họa: Gọi \(\widehat{A’}\) là góc ngoài tại đỉnh A của tứ giác ABCD.

Nếu \(\widehat{A’} = \widehat{C}\) ⟹ Tứ giác ABCD nội tiếp.

Giải thích: Vì \(\widehat{A} + \widehat{A’} = 180°\) (hai góc kề bù), nên nếu \(\widehat{A’} = \widehat{C}\) thì \(\widehat{A} + \widehat{C} = 180°\).

Cách 3: Hai góc cùng chắn một cạnh bằng nhau

Dấu hiệu: Nếu hai đỉnh của tứ giác cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau và nằm cùng phía với cạnh đó thì tứ giác nội tiếp.

Công thức: Trong tứ giác ABCD, nếu:

\(\widehat{CAD} = \widehat{CBD}\) (hai góc cùng nhìn cạnh CD, nằm cùng phía với CD)

⟹ Tứ giác ABCD nội tiếp ⟹ A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Cơ sở: Đây là dấu hiệu dựa trên tính chất các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Cách 4: Chứng minh 4 điểm cách đều một điểm

Dấu hiệu: Nếu 4 điểm cùng cách đều một điểm O (cùng khoảng cách R) thì 4 điểm đó cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính R.

Công thức:

\(OA = OB = OC = OD = R\)

⟹ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O; R).

Áp dụng: Phương pháp này thường dùng khi bài toán có các tam giác cân, tam giác vuông, hoặc khi có thể xác định được tâm đường tròn.

Cách 5: Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Dấu hiệu: Nếu hai điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông và nằm cùng phía với đoạn thẳng đó thì hai điểm này cùng với hai đầu mút của đoạn thẳng tạo thành 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.

Công thức: Nếu \(\widehat{AMB} = \widehat{ANB} = 90°\) và M, N nằm cùng phía với AB

⟹ A, M, N, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

Trường hợp đặc biệt:

• Nếu \(\widehat{ACB} = 90°\) thì C thuộc đường tròn đường kính AB.
• Nếu thêm \(\widehat{ADB} = 90°\) và D cùng phía với C thì A, C, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

Bảng tổng hợp các cách chứng minh

Ví dụ minh họa và bài tập

Để nắm vững cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn, hãy cùng làm các bài tập sau đây.

Ví dụ 1: Áp dụng cách 1 (Tổng hai góc đối bằng 180°)

Đề bài: Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{A} = 75°\), \(\widehat{B} = 110°\), \(\widehat{C} = 105°\). Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

Tổng các góc trong tứ giác bằng 360°, nên:

\(\widehat{D} = 360° – \widehat{A} – \widehat{B} – \widehat{C}\)

\(\widehat{D} = 360° – 75° – 110° – 105° = 70°\)

Ta có:

• \(\widehat{A} + \widehat{C} = 75° + 105° = 180°\)

Vì tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180° nên tứ giác ABCD nội tiếp.

Kết luận: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Ví dụ 2: Áp dụng cách 3 (Hai góc cùng chắn một cạnh)

Đề bài: Cho tam giác ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D thuộc AC, E thuộc AB). Chứng minh 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

Vì BD là đường cao nên \(\widehat{BDC} = 90°\) ⟹ \(\widehat{BDA} = 90°\)

Vì CE là đường cao nên \(\widehat{CEB} = 90°\) ⟹ \(\widehat{CEA} = 90°\)

Xét tứ giác BDEC:

Ta có: \(\widehat{BDC} = \widehat{BEC} = 90°\)

Hai góc \(\widehat{BDC}\) và \(\widehat{BEC}\) cùng nhìn cạnh BC và bằng nhau.

Mà D, E nằm cùng phía với BC (cùng nằm phía chứa đỉnh A).

Vậy tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Kết luận: 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Ví dụ 3: Áp dụng cách 5 (Góc vuông chắn nửa đường tròn)

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua B, E là điểm đối xứng của A qua C. Chứng minh 4 điểm D, H, E, A cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

Vì D đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

Vì E đối xứng với A qua C nên C là trung điểm của AE.

Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat{BAC} = 90°\) hay \(\widehat{DAE} = 90°\).

⟹ \(\widehat{DAE} = 90°\) (góc nhìn DE).

Ta có AH là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat{AHB} = 90°\).

Cần chứng minh \(\widehat{DHE} = 90°\).

Trong tam giác ADE, vì B là trung điểm AD, C là trung điểm AE nên BC là đường trung bình.

⟹ BC // DE và \(BC = \frac{1}{2}DE\).

Vì AH ⊥ BC (AH là đường cao) và BC // DE nên AH ⊥ DE.

Mà H nằm trên AH nên có thể chứng minh \(\widehat{DHE} = 90°\) qua các bước tính toán góc.

Ta có: \(\widehat{DAE} = 90°\) và \(\widehat{DHE} = 90°\)

Hai góc này cùng nhìn đoạn DE dưới góc vuông.

Vậy 4 điểm D, A, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính DE.

Ví dụ 4: Áp dụng cách 4 (Cách đều một điểm)

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh 3 điểm A, B, C cùng thuộc đường tròn tâm M.

Lời giải:

Vì M là trung điểm của BC nên: \(MB = MC = \frac{BC}{2}\)

Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền:

\(MA = \frac{BC}{2}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy: \(MA = MB = MC = \frac{BC}{2}\)

3 điểm A, B, C cùng cách đều điểm M nên A, B, C cùng thuộc đường tròn tâm M bán kính \(\frac{BC}{2}\).

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{A} = 80°\), \(\widehat{C} = 100°\). Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Bài 2: Cho tam giác ABC, các đường cao BE và CF cắt nhau tại H (E thuộc AC, F thuộc AB). Chứng minh 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn.

Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm trên đường tròn (C khác A, B). Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Chứng minh 4 điểm A, C, H, B cùng thuộc đường tròn (O).

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh:

1. 4 điểm B, D, F, C cùng thuộc một đường tròn.
2. 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn.

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn với 5 phương pháp quan trọng. Trong đó, phương pháp tổng hai góc đối bằng 180° và phương pháp hai góc cùng chắn một cạnh bằng nhau là hai cách thường được sử dụng nhất. Khi làm bài, học sinh cần quan sát hình vẽ, phân tích các yếu tố đã cho để lựa chọn cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn phù hợp nhất. Đây là kiến thức quan trọng giúp giải quyết nhiều bài toán hình học trong chương trình lớp 9 và các kỳ thi tuyển sinh.