Vị trí tương đối của hai đường tròn: Tiếp xúc, cắt nhau chi tiết

Vị trí tương đối của hai đường tròn là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình hình học lớp 9 và được ứng dụng nhiều trong các bài toán hình học phẳng. Tùy thuộc vào khoảng cách giữa hai tâm và độ lớn của bán kính, hai đường tròn có thể cắt nhau, tiếp xúc nhau hoặc không giao nhau. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững lý thuyết, công thức và cách giải các dạng bài tập liên quan.

Vị trí tương đối của hai đường tròn là gì?

Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) với R ≥ r. Gọi d = OO’ là khoảng cách giữa hai tâm. Vị trí tương đối của hai đường tròn được xác định dựa trên số điểm chung của chúng và mối quan hệ giữa d, R, r.

Có 3 vị trí tương đối chính:

• Hai đường tròn cắt nhau: Có 2 điểm chung
• Hai đường tròn tiếp xúc nhau: Có 1 điểm chung
• Hai đường tròn không giao nhau: Không có điểm chung

Các vị trí tương đối của hai đường tròn

Dưới đây là phân tích chi tiết từng vị trí tương đối của hai đường tròn cùng điều kiện và đặc điểm nhận biết.

1. Hai đường tròn cắt nhau

Hai đường tròn cắt nhau khi chúng có đúng 2 điểm chung, gọi là hai giao điểm.

Điều kiện:

\[ |R – r| < d < R + r \]

Đặc điểm:

• Hai đường tròn có 2 điểm chung A và B
• Đường thẳng AB gọi là dây chung của hai đường tròn
• Đường nối tâm OO’ là đường trung trực của dây chung AB
• Dây chung AB vuông góc với đường nối tâm OO’

Công thức tính độ dài dây chung:

Gọi H là giao điểm của OO’ và AB, ta có:

\[ AB = 2 \cdot AH = 2\sqrt{R^2 – OH^2} = 2\sqrt{r^2 – O’H^2} \]

2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi chúng có đúng 1 điểm chung, gọi là tiếp điểm. Có hai trường hợp:

a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi mỗi đường tròn nằm ngoài đường tròn còn lại và chúng có 1 điểm chung.

Điều kiện:

\[ d = R + r \]

Đặc điểm:

• Tiếp điểm nằm trên đoạn nối tâm OO’
• Tiếp điểm nằm giữa hai tâm O và O’
• Hai đường tròn nằm về hai phía của tiếp tuyến chung tại tiếp điểm

b) Hai đường tròn tiếp xúc trong

Hai đường tròn tiếp xúc trong khi một đường tròn nằm bên trong đường tròn còn lại và chúng có 1 điểm chung.

Điều kiện:

\[ d = R – r \quad (R > r) \]

Đặc điểm:

• Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm OO’ (phần kéo dài)
• Tâm O’ nằm giữa tâm O và tiếp điểm
• Đường tròn nhỏ nằm bên trong đường tròn lớn

3. Hai đường tròn không giao nhau

Hai đường tròn không giao nhau khi chúng không có điểm chung. Có ba trường hợp:

a) Hai đường tròn ngoài nhau

Hai đường tròn ở ngoài nhau, không có điểm chung và không đường tròn nào nằm trong đường tròn kia.

Điều kiện:

\[ d > R + r \]

b) Hai đường tròn đựng nhau (đường tròn này chứa đường tròn kia)

Đường tròn nhỏ nằm hoàn toàn bên trong đường tròn lớn, không có điểm chung.

Điều kiện:

\[ d < R – r \quad (R > r) \]

c) Hai đường tròn đồng tâm

Đường tròn đồng tâm là trường hợp đặc biệt khi hai đường tròn có cùng tâm nhưng bán kính khác nhau.

Điều kiện:

\[ d = 0 \quad \text{và} \quad R \neq r \]

Đặc điểm: Hai đường tròn không có điểm chung, đường tròn nhỏ nằm hoàn toàn trong đường tròn lớn.

Bảng tổng hợp công thức vị trí tương đối của hai đường tròn

Dưới đây là bảng tổng hợp tất cả các vị trí tương đối của hai đường tròn với điều kiện và số điểm chung tương ứng.

Công thức tổng quát để nhớ:

\[ \text{Tiếp xúc ngoài: } d = R + r \]

\[ \text{Tiếp xúc trong: } d = R – r \]

\[ \text{Cắt nhau: } |R – r| < d < R + r \]

Cách xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định các yếu tố

• Tọa độ tâm O và O’ (hoặc vị trí hai tâm)
• Bán kính R và r của hai đường tròn

Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai tâm

Nếu \( O(x_1; y_1) \) và \( O'(x_2; y_2) \):

\[ d = OO’ = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]

Bước 3: So sánh d với R + r và |R – r|

• Nếu \( d > R + r \): Hai đường tròn ngoài nhau
• Nếu \( d = R + r \): Hai đường tròn tiếp xúc ngoài
• Nếu \( |R – r| < d < R + r \): Hai đường tròn cắt nhau
• Nếu \( d = |R – r| \): Hai đường tròn tiếp xúc trong
• Nếu \( d < |R – r| \): Hai đường tròn đựng nhau
• Nếu \( d = 0 \) và \( R \neq r \): Đường tròn đồng tâm

Ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết

Để hiểu rõ hơn về vị trí tương đối của hai đường tròn, hãy cùng xem các ví dụ sau.

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối cơ bản

Đề bài: Cho hai đường tròn (O; 5cm) và (O’; 3cm) với OO’ = 7cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Lời giải:

Ta có: R = 5cm, r = 3cm, d = OO’ = 7cm

Tính:

• \( R + r = 5 + 3 = 8 \) cm
• \( R – r = 5 – 3 = 2 \) cm

So sánh: \( |R – r| < d < R + r \Leftrightarrow 2 < 7 < 8 \) (đúng)

Kết luận: Hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm.

Ví dụ 2: Hai đường tròn tiếp xúc

Đề bài: Cho đường tròn (O; 6cm) và (O’; 4cm). Tìm khoảng cách OO’ để hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Lời giải:

Ta có: R = 6cm, r = 4cm

Trường hợp 1: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài

\[ d = R + r = 6 + 4 = 10 \text{ cm} \]

Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc trong

\[ d = R – r = 6 – 4 = 2 \text{ cm} \]

Đáp số: OO’ = 10cm (tiếp xúc ngoài) hoặc OO’ = 2cm (tiếp xúc trong).

Ví dụ 3: Xác định vị trí tương đối trong hệ tọa độ

Đề bài: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn:

• (C₁): \( x^2 + y^2 = 25 \)
• (C₂): \( (x – 7)^2 + (y – 1)^2 = 16 \)

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trên.

Lời giải:

Bước 1: Xác định tâm và bán kính

Đường tròn (C₁): Tâm \( O(0; 0) \), bán kính \( R = 5 \)

Đường tròn (C₂): Tâm \( O'(7; 1) \), bán kính \( r = 4 \)

Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai tâm

\[ d = OO’ = \sqrt{(7-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \]

Bước 3: So sánh

• \( R + r = 5 + 4 = 9 \)
• \( R – r = 5 – 4 = 1 \)
• \( d = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \)

Ta có: \( 1 < 5\sqrt{2} < 9 \), tức là \( |R – r| < d < R + r \)

Kết luận: Hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm.

Ví dụ 4: Tìm điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc ngoài

Đề bài: Cho đường tròn (O; 3) cố định và đường tròn (O’; 2) có tâm O’ di động trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0. Tìm tọa độ O’ để hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Lời giải:

Giả sử tâm O ở gốc tọa độ O(0; 0), R = 3, r = 2.

Để hai đường tròn tiếp xúc ngoài:

\[ d = OO’ = R + r = 3 + 2 = 5 \]

Gọi \( O'(a; b) \) thuộc đường thẳng d, ta có:

• \( a – b + 1 = 0 \Rightarrow b = a + 1 \)
• \( OO’ = 5 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2} = 5 \)

Thay \( b = a + 1 \):

\[ \sqrt{a^2 + (a+1)^2} = 5 \]

\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 25 \]

\[ 2a^2 + 2a – 24 = 0 \]

\[ a^2 + a – 12 = 0 \]

\[ (a + 4)(a – 3) = 0 \]

Suy ra: \( a = 3 \) hoặc \( a = -4 \)

Với \( a = 3 \): \( b = 4 \) → \( O'(3; 4) \)

Với \( a = -4 \): \( b = -3 \) → \( O'(-4; -3) \)

Đáp số: \( O'(3; 4) \) hoặc \( O'(-4; -3) \)

Ví dụ 5: Tính độ dài dây chung của hai đường tròn cắt nhau

Đề bài: Cho hai đường tròn (O; 5cm) và (O’; 4cm) cắt nhau tại A và B, biết OO’ = 6cm. Tính độ dài dây chung AB.

Lời giải:

Gọi H là giao điểm của OO’ và AB. Vì AB là dây chung nên OO’ ⊥ AB tại H.

Đặt OH = x, ta có O’H = 6 – x (vì H nằm giữa O và O’).

Trong tam giác OAH vuông tại H:

\[ AH^2 = OA^2 – OH^2 = 25 – x^2 \]

Trong tam giác O’AH vuông tại H:

\[ AH^2 = O’A^2 – O’H^2 = 16 – (6-x)^2 \]

Suy ra:

\[ 25 – x^2 = 16 – (6-x)^2 \]

\[ 25 – x^2 = 16 – 36 + 12x – x^2 \]

\[ 25 = -20 + 12x \]

\[ 12x = 45 \]

\[ x = 3,75 \text{ cm} \]

Vậy:

\[ AH^2 = 25 – 3,75^2 = 25 – 14,0625 = 10,9375 \]

\[ AH = \sqrt{10,9375} \approx 3,31 \text{ cm} \]

Độ dài dây chung:

\[ AB = 2 \cdot AH = 2 \times 3,31 \approx 6,61 \text{ cm} \]

Đáp số: AB ≈ 6,61 cm (hoặc \( AB = \frac{\sqrt{175}}{2} \) cm)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hai đường tròn (O; 8cm) và (O’; 5cm). Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn khi:

• a) OO’ = 15cm
• b) OO’ = 13cm
• c) OO’ = 10cm
• d) OO’ = 3cm
• e) OO’ = 2cm

Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và (O’; r) với R = 7cm, r = 3cm. Tìm các giá trị của OO’ để hai đường tròn cắt nhau.

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C₁): \( x^2 + y^2 – 4x + 2y – 4 = 0 \) và (C₂): \( x^2 + y^2 + 4x – 8y + 4 = 0 \). Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn và tìm tọa độ giao điểm (nếu có).

Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC (B thuộc (O), C thuộc (O’)). Chứng minh rằng góc BAC = 90°.

Kết luận

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết vị trí tương đối của hai đường tròn bao gồm các trường hợp: hai đường tròn cắt nhau, hai đường tròn tiếp xúc ngoài, hai đường tròn tiếp xúc trong, hai đường tròn ngoài nhau, đựng nhau và đường tròn đồng tâm. Việc nắm vững mối quan hệ giữa khoảng cách hai tâm d với tổng R + r và hiệu |R – r| sẽ giúp bạn giải quyết nhanh chóng các bài toán liên quan. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo cách xác định và vận dụng linh hoạt các công thức đã học.