Số thập phân hữu hạn là gì? Vô hạn tuần hoàn, cách đọc lớp 5 chi tiết

Số thập phân hữu hạn là gì? Đây là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 7, giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa phân số và số thập phân. Bài viết dưới đây sẽ trình bày định nghĩa, điều kiện nhận biết, cách phân biệt với số thập phân vô hạn tuần hoàn cùng các ví dụ minh họa chi tiết.

Số thập phân hữu hạn là gì?

Số thập phân hữu hạn là số thập phân có phần thập phân chỉ gồm một số hữu hạn các chữ số, nghĩa là phần thập phân kết thúc sau một số chữ số nhất định.

Ví dụ về số thập phân hữu hạn:

• \(0,5\) (có 1 chữ số thập phân)
• \(0,75\) (có 2 chữ số thập phân)
• \(1,25\) (có 2 chữ số thập phân)
• \(3,125\) (có 3 chữ số thập phân)
• \(0,0625\) (có 4 chữ số thập phân)

Các số thập phân hữu hạn đều có thể viết dưới dạng phân số với mẫu số là lũy thừa của 10:

• \(0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
• \(0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}\)
• \(1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}\)

Điều kiện để phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

Không phải phân số nào cũng viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Để xác định điều này, ta cần xét mẫu số của phân số sau khi đã rút gọn.

Định lý quan trọng

Một phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) (với \(b > 0\)) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi mẫu số \(b\) không có ước nguyên tố nào khác 2 và 5.

Nói cách khác, mẫu số \(b\) phải có dạng: \(b = 2^m \times 5^n\) với \(m, n \geq 0\).

Các giá trị mẫu số thỏa mãn điều kiện

Ví dụ minh họa

Phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn:

• \(\frac{3}{4} = \frac{3}{2^2}\) → Mẫu số chỉ chứa thừa số 2 → Số thập phân hữu hạn: \(0,75\)
• \(\frac{7}{20} = \frac{7}{2^2 \times 5}\) → Mẫu số chỉ chứa 2 và 5 → Số thập phân hữu hạn: \(0,35\)
• \(\frac{9}{25} = \frac{9}{5^2}\) → Mẫu số chỉ chứa thừa số 5 → Số thập phân hữu hạn: \(0,36\)

Phân số KHÔNG viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn:

• \(\frac{1}{3}\) → Mẫu số có thừa số 3 → Số thập phân vô hạn tuần hoàn: \(0,333…\)
• \(\frac{5}{6} = \frac{5}{2 \times 3}\) → Mẫu số có thừa số 3 → Số thập phân vô hạn tuần hoàn
• \(\frac{2}{7}\) → Mẫu số có thừa số 7 → Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Cách nhận biết số thập phân hữu hạn

Để xác định một phân số có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay không, ta thực hiện các bước sau:

Các bước thực hiện

1. Bước 1: Rút gọn phân số về dạng tối giản \(\frac{a}{b}\) với \(\gcd(a, b) = 1\)
2. Bước 2: Phân tích mẫu số \(b\) ra thừa số nguyên tố
3. Bước 3: Kiểm tra mẫu số:
   • Nếu \(b\) chỉ chứa các thừa số nguyên tố 2 và 5 → Số thập phân hữu hạn
   • Nếu \(b\) chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 → Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Xét phân số \(\frac{21}{56}\)

• Rút gọn: \(\frac{21}{56} = \frac{3}{8}\)
• Phân tích mẫu: \(8 = 2^3\)
• Mẫu số chỉ chứa thừa số 2 → Số thập phân hữu hạn
• Kết quả: \(\frac{3}{8} = 0,375\)

Ví dụ 2: Xét phân số \(\frac{14}{35}\)

• Rút gọn: \(\frac{14}{35} = \frac{2}{5}\)
• Phân tích mẫu: \(5 = 5^1\)
• Mẫu số chỉ chứa thừa số 5 → Số thập phân hữu hạn
• Kết quả: \(\frac{2}{5} = 0,4\)

Ví dụ 3: Xét phân số \(\frac{15}{24}\)

• Rút gọn: \(\frac{15}{24} = \frac{5}{8}\)
• Phân tích mẫu: \(8 = 2^3\)
• Mẫu số chỉ chứa thừa số 2 → Số thập phân hữu hạn
• Kết quả: \(\frac{5}{8} = 0,625\)

Phân biệt số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn

Khi chia tử số cho mẫu số của một phân số, kết quả sẽ là một trong hai dạng sau:

Một số ví dụ so sánh

• \(\frac{1}{2} = 0,5\) (hữu hạn) và \(\frac{1}{3} = 0,\overline{3}\) (vô hạn tuần hoàn)
• \(\frac{1}{4} = 0,25\) (hữu hạn) và \(\frac{1}{6} = 0,1\overline{6}\) (vô hạn tuần hoàn)
• \(\frac{1}{5} = 0,2\) (hữu hạn) và \(\frac{1}{7} = 0,\overline{142857}\) (vô hạn tuần hoàn)
• \(\frac{1}{8} = 0,125\) (hữu hạn) và \(\frac{1}{9} = 0,\overline{1}\) (vô hạn tuần hoàn)

Cách đổi phân số thành số thập phân hữu hạn

Khi đã xác định phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, ta có thể đổi bằng các cách sau:

Cách 1: Chia trực tiếp

Thực hiện phép chia tử số cho mẫu số.

Ví dụ: \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0,375\)

Cách 2: Đưa mẫu số về lũy thừa của 10

Nhân cả tử và mẫu với số thích hợp để mẫu thành \(10, 100, 1000, …\)

Ví dụ:

\[\frac{3}{8} = \frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{375}{1000} = 0,375\]

\[\frac{7}{25} = \frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{100} = 0,28\]

\[\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} = 0,6\]

Bài tập ví dụ có lời giải chi tiết

Dưới đây là các bài tập giúp bạn củng cố kiến thức về số thập phân hữu hạn.

Bài tập 1

Đề bài: Trong các phân số sau, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn?

\[\frac{7}{8}; \quad \frac{5}{12}; \quad \frac{11}{25}; \quad \frac{4}{15}; \quad \frac{9}{40}\]

Lời giải:

Ta phân tích mẫu số của từng phân số (đã tối giản):

• \(\frac{7}{8}\): \(8 = 2^3\) → Chỉ chứa thừa số 2 → Số thập phân hữu hạn ✓
• \(\frac{5}{12}\): \(12 = 2^2 \times 3\) → Chứa thừa số 3 → Không phải
• \(\frac{11}{25}\): \(25 = 5^2\) → Chỉ chứa thừa số 5 → Số thập phân hữu hạn ✓
• \(\frac{4}{15}\): \(15 = 3 \times 5\) → Chứa thừa số 3 → Không phải
• \(\frac{9}{40}\): \(40 = 2^3 \times 5\) → Chỉ chứa 2 và 5 → Số thập phân hữu hạn ✓

Đáp số: Các phân số \(\frac{7}{8}, \frac{11}{25}, \frac{9}{40}\) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Bài tập 2

Đề bài: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân: \(\frac{3}{16}, \frac{17}{125}, \frac{13}{20}\)

Lời giải:

Với \(\frac{3}{16}\):

\[\frac{3}{16} = \frac{3 \times 625}{16 \times 625} = \frac{1875}{10000} = 0,1875\]

Với \(\frac{17}{125}\):

\[\frac{17}{125} = \frac{17 \times 8}{125 \times 8} = \frac{136}{1000} = 0,136\]

Với \(\frac{13}{20}\):

\[\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0,65\]

Bài tập 3

Đề bài: Tìm điều kiện của \(n\) để phân số \(\frac{3}{2n}\) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn (với \(n\) là số tự nhiên khác 0).

Lời giải:

Phân số \(\frac{3}{2n}\) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn khi mẫu số của phân số tối giản chỉ chứa các thừa số 2 và 5.

Vì tử số là 3, nên:

• Nếu \(n\) không chia hết cho 3: phân số tối giản có mẫu \(2n\)
• Nếu \(n\) chia hết cho 3, đặt \(n = 3k\): phân số tối giản có mẫu \(2k\)

Trong cả hai trường hợp, mẫu số sau khi rút gọn phải có dạng \(2^m \times 5^p\).

Kết luận: \(n = 2^a \times 5^b\) hoặc \(n = 3 \times 2^a \times 5^b\) với \(a, b \geq 0\).

Các giá trị \(n\) thỏa mãn: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 25, …

Bài tập 4

Đề bài: Viết số thập phân 0,375 dưới dạng phân số tối giản.

Lời giải:

\[0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{375 : 125}{1000 : 125} = \frac{3}{8}\]

Đáp số: \(\frac{3}{8}\)

Bài tập 5

Đề bài: Số thập phân hữu hạn \(\frac{7}{2^3 \times 5^2}\) có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân?

Lời giải:

Ta có: \(\frac{7}{2^3 \times 5^2} = \frac{7}{8 \times 25} = \frac{7}{200}\)

Để đưa mẫu về dạng \(10^n\), ta nhân cả tử và mẫu với \(5\):

\[\frac{7}{200} = \frac{7 \times 5}{200 \times 5} = \frac{35}{1000} = 0,035\]

Đáp số: Số thập phân có 3 chữ số ở phần thập phân.

Nhận xét: Số chữ số thập phân bằng \(\max(m, n)\) với mẫu số có dạng \(2^m \times 5^n\). Ở đây \(\max(3, 2) = 3\).

Tổng kết

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu số thập phân hữu hạn là gì cùng các kiến thức quan trọng:

• Số thập phân hữu hạn là số thập phân có phần thập phân kết thúc sau một số hữu hạn chữ số.
• Một phân số tối giản viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi mẫu số chỉ chứa các thừa số nguyên tố 2 và 5.
• Nếu mẫu số chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5, phân số sẽ cho kết quả là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ và vận dụng tốt kiến thức này trong học tập!