Đạo hàm nhanh: Công thức tính nhanh bậc 2 trên bậc 1 và bài tập
Đạo hàm nhanh là kỹ năng quan trọng giúp học sinh tiết kiệm thời gian khi làm bài thi trắc nghiệm Toán. Bài viết dưới đây tổng hợp đầy đủ bảng công thức, quy tắc và mẹo tính đạo hàm nhanh kèm theo các bài tập ví dụ có lời giải chi tiết, giúp bạn làm chủ dạng toán này một cách dễ dàng.
1. Bảng công thức đạo hàm cơ bản cần nhớ
Để tính đạo hàm nhanh, trước tiên bạn cần thuộc lòng các công thức đạo hàm cơ bản sau đây.
1.1. Đạo hàm các hàm số sơ cấp
| Hàm số \( y = f(x) \) | Đạo hàm \( y’ = f'(x) \) |
|---|---|
| \( y = c \) (hằng số) | \( y’ = 0 \) |
| \( y = x \) | \( y’ = 1 \) |
| \( y = x^n \) | \( y’ = n \cdot x^{n-1} \) |
| \( y = \sqrt{x} \) | \( y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) |
| \( y = \frac{1}{x} \) | \( y’ = -\frac{1}{x^2} \) |
| \( y = \frac{1}{x^n} \) | \( y’ = -\frac{n}{x^{n+1}} \) |
| \( y = \sqrt[n]{x} \) | \( y’ = \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} \) |
1.2. Đạo hàm các hàm lượng giác
| Hàm số \( y = f(x) \) | Đạo hàm \( y’ = f'(x) \) |
|---|---|
| \( y = \sin x \) | \( y’ = \cos x \) |
| \( y = \cos x \) | \( y’ = -\sin x \) |
| \( y = \tan x \) | \( y’ = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \) |
| \( y = \cot x \) | \( y’ = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \) |
1.3. Đạo hàm hàm mũ và logarit
| Hàm số \( y = f(x) \) | Đạo hàm \( y’ = f'(x) \) |
|---|---|
| \( y = e^x \) | \( y’ = e^x \) |
| \( y = a^x \) với \( a > 0, a \neq 1 \) | \( y’ = a^x \cdot \ln a \) |
| \( y = \ln x \) | \( y’ = \frac{1}{x} \) |
| \( y = \log_a x \) | \( y’ = \frac{1}{x \cdot \ln a} \) |
2. Các quy tắc tính đạo hàm nhanh
Nắm vững các quy tắc sau sẽ giúp bạn đạo hàm nhanh các biểu thức phức tạp.
2.1. Quy tắc đạo hàm cơ bản
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Nhân hằng số | \( (k \cdot u)’ = k \cdot u’ \) |
| Tổng – Hiệu | \( (u \pm v)’ = u’ \pm v’ \) |
| Tích | \( (u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ \) |
| Thương | \( \left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’ \cdot v – u \cdot v’}{v^2} \) |
2.2. Quy tắc đạo hàm hàm hợp
Công thức tổng quát: Nếu \( y = f(u) \) với \( u = g(x) \), thì:
\( y’_x = y’_u \cdot u’_x \)
Cách nhớ: Đạo hàm hàm ngoài (giữ nguyên hàm trong) nhân với đạo hàm hàm trong.
3. Bảng công thức đạo hàm nhanh hàm hợp
Đây là bảng công thức đạo hàm nhanh quan trọng nhất, giúp bạn tính toán tức thì mà không cần trình bày nhiều bước.
3.1. Đạo hàm hàm hợp cơ bản
| Hàm số | Công thức đạo hàm nhanh |
|---|---|
| \( y = u^n \) | \( y’ = n \cdot u^{n-1} \cdot u’ \) |
| \( y = \sqrt{u} \) | \( y’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}} \) |
| \( y = \frac{1}{u} \) | \( y’ = -\frac{u’}{u^2} \) |
| \( y = \sqrt[n]{u} \) | \( y’ = \frac{u’}{n \cdot \sqrt[n]{u^{n-1}}} \) |
3.2. Đạo hàm hàm hợp lượng giác
| Hàm số | Công thức đạo hàm nhanh |
|---|---|
| \( y = \sin u \) | \( y’ = u’ \cdot \cos u \) |
| \( y = \cos u \) | \( y’ = -u’ \cdot \sin u \) |
| \( y = \tan u \) | \( y’ = \frac{u’}{\cos^2 u} \) |
| \( y = \cot u \) | \( y’ = -\frac{u’}{\sin^2 u} \) |
3.3. Đạo hàm hàm hợp mũ – logarit
| Hàm số | Công thức đạo hàm nhanh |
|---|---|
| \( y = e^u \) | \( y’ = u’ \cdot e^u \) |
| \( y = a^u \) | \( y’ = u’ \cdot a^u \cdot \ln a \) |
| \( y = \ln u \) | \( y’ = \frac{u’}{u} \) |
| \( y = \log_a u \) | \( y’ = \frac{u’}{u \cdot \ln a} \) |
4. Mẹo tính đạo hàm nhanh không cần máy tính
Dưới đây là những mẹo đạo hàm nhanh giúp bạn giải quyết bài toán trong thời gian ngắn nhất.
4.1. Công thức đạo hàm nhanh hàm bậc nhất
Công thức 1: \( (ax + b)^n \)
\( [(ax + b)^n]’ = n \cdot a \cdot (ax + b)^{n-1} \)
Công thức 2: \( \sqrt{ax + b} \)
\( (\sqrt{ax + b})’ = \frac{a}{2\sqrt{ax + b}} \)
Công thức 3: \( \frac{1}{ax + b} \)
\( \left( \frac{1}{ax + b} \right)’ = -\frac{a}{(ax + b)^2} \)
4.2. Công thức đạo hàm nhanh hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất
Dạng: \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \)
Công thức đạo hàm nhanh:
\( y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2} \)
Cách nhớ: Tử = chéo trừ chéo (ad – bc), Mẫu = bình phương mẫu cũ.
4.3. Mẹo nhận dạng nhanh
- Thấy \( e^u \): Giữ nguyên \( e^u \), nhân với \( u’ \)
- Thấy \( \ln u \): Lấy \( u’ \) chia cho \( u \)
- Thấy \( \sin u \): Chuyển thành \( \cos u \), nhân với \( u’ \)
- Thấy \( \cos u \): Chuyển thành \( -\sin u \), nhân với \( u’ \)
- Thấy \( \sqrt{u} \): Lấy \( u’ \) chia cho \( 2\sqrt{u} \)
- Thấy \( u^n \): Hạ số mũ xuống, giảm số mũ đi 1, nhân với \( u’ \)
4.4. Công thức đạo hàm nhanh đặc biệt
| Dạng hàm số | Công thức nhanh |
|---|---|
| \( y = \ln|ax + b| \) | \( y’ = \frac{a}{ax + b} \) |
| \( y = e^{ax + b} \) | \( y’ = a \cdot e^{ax + b} \) |
| \( y = a^{bx + c} \) | \( y’ = b \cdot a^{bx + c} \cdot \ln a \) |
| \( y = \sin(ax + b) \) | \( y’ = a \cdot \cos(ax + b) \) |
| \( y = \cos(ax + b) \) | \( y’ = -a \cdot \sin(ax + b) \) |
| \( y = \tan(ax + b) \) | \( y’ = \frac{a}{\cos^2(ax + b)} \) |
5. Bài tập ví dụ tính đạo hàm nhanh có lời giải
Áp dụng các công thức trên, chúng ta cùng giải các bài tập đạo hàm nhanh sau đây.
Ví dụ 1 (Cơ bản)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = (2x – 3)^5 \).
Lời giải nhanh:
Áp dụng công thức \( [(ax + b)^n]’ = n \cdot a \cdot (ax + b)^{n-1} \)
Với \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( n = 5 \):
\( y’ = 5 \cdot 2 \cdot (2x – 3)^4 = 10(2x – 3)^4 \)
Ví dụ 2 (Cơ bản)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{3x + 1} \).
Lời giải nhanh:
Áp dụng công thức \( (\sqrt{ax + b})’ = \frac{a}{2\sqrt{ax + b}} \)
\( y’ = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \)
Ví dụ 3 (Trung bình)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x – 3} \).
Lời giải nhanh:
Áp dụng công thức \( \left( \frac{ax + b}{cx + d} \right)’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2} \)
Với \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = 1 \), \( d = -3 \):
\( y’ = \frac{2 \cdot (-3) – 1 \cdot 1}{(x – 3)^2} = \frac{-6 – 1}{(x – 3)^2} = \frac{-7}{(x – 3)^2} \)
Ví dụ 4 (Trung bình)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = e^{3x^2 – 2x + 1} \).
Lời giải nhanh:
Đặt \( u = 3x^2 – 2x + 1 \Rightarrow u’ = 6x – 2 \)
Áp dụng công thức \( (e^u)’ = u’ \cdot e^u \):
\( y’ = (6x – 2) \cdot e^{3x^2 – 2x + 1} \)
Ví dụ 5 (Trung bình)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \ln(x^2 + 2x + 5) \).
Lời giải nhanh:
Đặt \( u = x^2 + 2x + 5 \Rightarrow u’ = 2x + 2 \)
Áp dụng công thức \( (\ln u)’ = \frac{u’}{u} \):
\( y’ = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 5} \)
Ví dụ 6 (Nâng cao)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \sin^3(2x) \).
Lời giải nhanh:
Viết lại: \( y = [\sin(2x)]^3 \)
Đặt \( u = \sin(2x) \Rightarrow u’ = 2\cos(2x) \)
Áp dụng công thức \( (u^n)’ = n \cdot u^{n-1} \cdot u’ \):
\( y’ = 3[\sin(2x)]^2 \cdot 2\cos(2x) = 6\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \)
Ví dụ 7 (Nâng cao)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = x^2 \cdot e^{-x} \).
Lời giải nhanh:
Áp dụng công thức đạo hàm tích \( (u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ \):
- \( u = x^2 \Rightarrow u’ = 2x \)
- \( v = e^{-x} \Rightarrow v’ = -e^{-x} \)
\( y’ = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) \)
\( y’ = e^{-x}(2x – x^2) = x(2 – x) \cdot e^{-x} \)
Ví dụ 8 (Nâng cao)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{1 + \ln^2 x} \).
Lời giải nhanh:
Đặt \( u = 1 + \ln^2 x \Rightarrow u’ = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x} \)
Áp dụng công thức \( (\sqrt{u})’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}} \):
\( y’ = \frac{\frac{2\ln x}{x}}{2\sqrt{1 + \ln^2 x}} = \frac{\ln x}{x\sqrt{1 + \ln^2 x}} \)
6. Bài tập tự luyện tính đạo hàm nhanh có đáp án
Hãy vận dụng các công thức đạo hàm nhanh để giải các bài tập sau:
| Bài | Hàm số | Đáp án |
|---|---|---|
| 1 | \( y = (4x – 1)^6 \) | \( y’ = 24(4x – 1)^5 \) |
| 2 | \( y = \sqrt{5 – 2x} \) | \( y’ = \frac{-1}{\sqrt{5 – 2x}} \) |
| 3 | \( y = \frac{3x – 2}{x + 4} \) | \( y’ = \frac{14}{(x + 4)^2} \) |
| 4 | \( y = e^{2x – 1} \) | \( y’ = 2e^{2x – 1} \) |
| 5 | \( y = \ln(3x – 1) \) | \( y’ = \frac{3}{3x – 1} \) |
| 6 | \( y = \sin(3x + \frac{\pi}{4}) \) | \( y’ = 3\cos(3x + \frac{\pi}{4}) \) |
| 7 | \( y = \cos^4 x \) | \( y’ = -4\cos^3 x \cdot \sin x \) |
| 8 | \( y = 2^{x^2 + 1} \) | \( y’ = 2x \cdot 2^{x^2 + 1} \cdot \ln 2 \) |
| 9 | \( y = \tan(2x) \) | \( y’ = \frac{2}{\cos^2(2x)} \) |
| 10 | \( y = x \cdot \ln x – x \) | \( y’ = \ln x \) |
7. Kết luận
Qua bài viết trên, chúng ta đã tổng hợp đầy đủ kiến thức về đạo hàm nhanh từ công thức cơ bản đến nâng cao. Để tính đạo hàm nhanh và chính xác, bạn cần lưu ý:
- Học thuộc bảng đạo hàm cơ bản của các hàm sơ cấp, lượng giác, mũ và logarit
- Nắm vững công thức đạo hàm hàm hợp: đạo hàm hàm ngoài nhân với đạo hàm hàm trong
- Áp dụng các công thức đạo hàm nhanh cho dạng \( ax + b \) để tiết kiệm thời gian
- Luyện tập thường xuyên để phản xạ nhanh khi gặp các dạng toán quen thuộc
- Kiểm tra lại kết quả bằng cách thử với giá trị cụ thể hoặc dùng máy tính cầm tay
Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững các công thức và mẹo đạo hàm nhanh để tự tin hơn trong các kỳ thi. Chúc bạn học tốt!
Có thể bạn quan tâm
- Sin sang cos: Cách đổi từ sin sang cos, cos sang sin chi tiết
- Phương trình lượng giác đặc biệt: sin x = 0, sin x = 1 và công thức
- Cách tính trung vị: Công thức và bài tập có lời giải chi tiết
- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Cách tìm Max Min
- Phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? Có dạng gì, cách giải chi tiết
