Đạo hàm của log: Công thức đạo hàm logarit, log x, log u chi tiết

Đạo hàm của log là một trong những công thức quan trọng nhất trong chương trình Giải tích, được ứng dụng rộng rãi trong tính toán và giải các bài toán liên quan đến hàm số logarit. Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết công thức đạo hàm logarit tự nhiên (ln), đạo hàm log cơ số a, đạo hàm hàm hợp logarit cùng các ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết.

Đạo hàm của log là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức, chúng ta cần nắm rõ khái niệm cơ bản về đạo hàm của log.

Định nghĩa: Đạo hàm của hàm logarit là đạo hàm của hàm số \(y = \log_a x\) hoặc \(y = \ln x\), biểu thị tốc độ thay đổi của hàm logarit tại mỗi điểm.

Phân loại hàm logarit:

Loại logarit	Ký hiệu	Cơ số
Logarit tự nhiên	\(\ln x\)	\(e \approx 2.71828\)
Logarit thập phân	\(\log x\) hoặc \(\lg x\)	10
Logarit cơ số a	\(\log_a x\)	\(a > 0, a \neq 1\)

Điều kiện xác định: Hàm logarit \(y = \log_a x\) chỉ xác định khi \(x > 0\).

Công thức đạo hàm của ln (logarit tự nhiên)

Đây là công thức cơ bản và quan trọng nhất trong đạo hàm của log.

Công thức cơ bản

Công thức: Đạo hàm của hàm logarit tự nhiên \(y = \ln x\):

\[ (\ln x)’ = \frac{1}{x} \quad (x > 0) \]

Ý nghĩa hình học

Đạo hàm \(\frac{1}{x}\) cho biết hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = \ln x\) tại điểm có hoành độ \(x\).

• Tại \(x = 1\): hệ số góc bằng 1
• Tại \(x = e\): hệ số góc bằng \(\frac{1}{e}\)
• Khi \(x \to 0^+\): hệ số góc tiến đến \(+\infty\)
• Khi \(x \to +\infty\): hệ số góc tiến đến 0

Ví dụ nhanh

Ví dụ: Tính đạo hàm của \(y = 3\ln x\)

Giải:

\[ y’ = 3 \cdot (\ln x)’ = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \]

Công thức đạo hàm của log cơ số a

Tiếp theo, chúng ta tìm hiểu công thức tổng quát cho đạo hàm log cơ số a.

Công thức tổng quát

Công thức: Đạo hàm của hàm logarit cơ số \(a\) với \(a > 0, a \neq 1\):

\[ (\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0) \]

Các trường hợp đặc biệt

Hàm số	Đạo hàm	Ghi chú
\(y = \ln x\)	\(y’ = \frac{1}{x}\)	Cơ số \(e\), \(\ln e = 1\)
\(y = \log x\) (hoặc \(\lg x\))	\(y’ = \frac{1}{x \ln 10}\)	Cơ số 10
\(y = \log_2 x\)	\(y’ = \frac{1}{x \ln 2}\)	Cơ số 2
\(y = \log_3 x\)	\(y’ = \frac{1}{x \ln 3}\)	Cơ số 3

Mối liên hệ giữa log cơ số a và ln

Công thức đổi cơ số:

\[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \]

Do đó:

\[ (\log_a x)’ = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)’ = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)’ = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a} \]

Đạo hàm của hàm hợp logarit

Khi biến số trong logarit là một hàm số \(u(x)\), ta cần áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Công thức đạo hàm hàm hợp

Công thức 1: Đạo hàm của \(\ln u\) với \(u = u(x) > 0\):

\[ (\ln u)’ = \frac{u’}{u} \]

Công thức 2: Đạo hàm của \(\log_a u\) với \(u = u(x) > 0\):

\[ (\log_a u)’ = \frac{u’}{u \ln a} \]

Các công thức mở rộng thường dùng

Hàm số	Đạo hàm
\(y = \ln(ax + b)\)	\(y’ = \frac{a}{ax + b}\)
\(y = \ln(x^2 + 1)\)	\(y’ = \frac{2x}{x^2 + 1}\)
\(y = \ln|x|\)	\(y’ = \frac{1}{x}\) với \(x \neq 0\)
\(y = \ln(\sin x)\)	\(y’ = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x\)
\(y = \ln(\cos x)\)	\(y’ = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x\)
\(y = \ln\sqrt{u}\)	\(y’ = \frac{u’}{2u}\)

Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Tính đạo hàm của \(y = \ln(2x^3 – 5x + 1)\)

Giải:

Đặt \(u = 2x^3 – 5x + 1\), ta có \(u’ = 6x^2 – 5\)

Áp dụng công thức \((\ln u)’ = \frac{u’}{u}\):

\[ y’ = \frac{6x^2 – 5}{2x^3 – 5x + 1} \]

Bảng tổng hợp công thức đạo hàm logarit

Dưới đây là bảng tổng hợp tất cả các công thức đạo hàm của log cần ghi nhớ.

STT	Hàm số \(y\)	Đạo hàm \(y’\)	Điều kiện
1	\(\ln x\)	\(\frac{1}{x}\)	\(x > 0\)
2	\(\log_a x\)	\(\frac{1}{x \ln a}\)	\(x > 0, a > 0, a \neq 1\)
3	\(\ln u\)	\(\frac{u’}{u}\)	\(u > 0\)
4	\(\log_a u\)	\(\frac{u’}{u \ln a}\)	\(u > 0, a > 0, a \neq 1\)
5	\(\ln|x|\)	\(\frac{1}{x}\)	\(x \neq 0\)
6	\(\ln|u|\)	\(\frac{u’}{u}\)	\(u \neq 0\)
7	\(\log x\) (cơ số 10)	\(\frac{1}{x \ln 10}\)	\(x > 0\)
8	\(\log_2 x\)	\(\frac{1}{x \ln 2}\)	\(x > 0\)

Cách chứng minh công thức đạo hàm của log

Để hiểu sâu hơn về đạo hàm của log, chúng ta cùng chứng minh các công thức cơ bản.

Chứng minh công thức \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\)

Cách 1: Dùng định nghĩa đạo hàm

Theo định nghĩa đạo hàm:

\[ (\ln x)’ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(x + \Delta x) – \ln x}{\Delta x} \]

\[ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \ln\left(\frac{x + \Delta x}{x}\right) \]

\[ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right) \]

Đặt \(t = \frac{\Delta x}{x}\), khi \(\Delta x \to 0\) thì \(t \to 0\):

\[ = \lim_{t \to 0} \frac{1}{tx} \ln(1 + t) = \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x} \]

(Sử dụng giới hạn cơ bản \(\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1\))

Cách 2: Dùng đạo hàm hàm ngược

Ta có \(y = \ln x \Leftrightarrow x = e^y\)

Đạo hàm hai vế theo \(y\): \(\frac{dx}{dy} = e^y = x\)

Do đó: \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\)

Vậy \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\)

Chứng minh công thức \((\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a}\)

Sử dụng công thức đổi cơ số:

\[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \]

Đạo hàm:

\[ (\log_a x)’ = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)’ = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a} \]

Ví dụ minh họa đạo hàm của log

Dưới đây là các ví dụ minh họa chi tiết về đạo hàm của log từ cơ bản đến nâng cao.

Ví dụ 1: Đạo hàm logarit cơ bản

Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \ln(3x)\)

b) \(y = \log_2(5x)\)

Lời giải:

a) \(y = \ln(3x) = \ln 3 + \ln x\)

\[ y’ = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \]

Hoặc áp dụng trực tiếp: \(y’ = \frac{(3x)’}{3x} = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}\)

b) \(y = \log_2(5x)\)

\[ y’ = \frac{(5x)’}{5x \cdot \ln 2} = \frac{5}{5x \ln 2} = \frac{1}{x \ln 2} \]

Ví dụ 2: Đạo hàm hàm hợp logarit

Đề bài: Tính đạo hàm của \(y = \ln(x^2 + 2x + 3)\)

Lời giải:

Đặt \(u = x^2 + 2x + 3\), ta có \(u’ = 2x + 2\)

Áp dụng công thức \((\ln u)’ = \frac{u’}{u}\):

\[ y’ = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{2(x + 1)}{x^2 + 2x + 3} \]

Ví dụ 3: Đạo hàm logarit với căn thức

Đề bài: Tính đạo hàm của \(y = \ln\sqrt{x^2 + 1}\)

Lời giải:

Cách 1: Biến đổi trước khi đạo hàm

\[ y = \ln\sqrt{x^2 + 1} = \ln(x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) \]

\[ y’ = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{x}{x^2 + 1} \]

Cách 2: Áp dụng trực tiếp công thức hàm hợp

Đặt \(u = \sqrt{x^2 + 1}\), ta có \(u’ = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)

\[ y’ = \frac{u’}{u} = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{x^2 + 1} \]

Ví dụ 4: Đạo hàm logarit với lượng giác

Đề bài: Tính đạo hàm của \(y = \ln(\tan x)\)

Lời giải:

Đặt \(u = \tan x\), ta có \(u’ = \frac{1}{\cos^2 x}\)

\[ y’ = \frac{u’}{u} = \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\tan x} = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x \cos x} \]

Sử dụng công thức \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\):

\[ y’ = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} \]

Ví dụ 5: Đạo hàm tích và thương chứa logarit

Đề bài: Tính đạo hàm của \(y = x^2 \ln x\)

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm tích \((uv)’ = u’v + uv’\):

\[ y’ = (x^2)’ \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)’ \]

\[ y’ = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} \]

\[ y’ = 2x \ln x + x = x(2\ln x + 1) \]

Ví dụ 6: Đạo hàm logarit phức tạp

Đề bài: Tính đạo hàm của \(y = \ln\left(\frac{x + 1}{x – 1}\right)\)

Lời giải:

Cách 1: Biến đổi trước

\[ y = \ln(x + 1) – \ln(x – 1) \]

\[ y’ = \frac{1}{x + 1} – \frac{1}{x – 1} = \frac{(x – 1) – (x + 1)}{(x + 1)(x – 1)} = \frac{-2}{x^2 – 1} \]

Cách 2: Áp dụng trực tiếp

Đặt \(u = \frac{x + 1}{x – 1}\)

\[ u’ = \frac{(x – 1) – (x + 1)}{(x – 1)^2} = \frac{-2}{(x – 1)^2} \]

\[ y’ = \frac{u’}{u} = \frac{\frac{-2}{(x – 1)^2}}{\frac{x + 1}{x – 1}} = \frac{-2}{(x – 1)^2} \cdot \frac{x – 1}{x + 1} = \frac{-2}{(x – 1)(x + 1)} = \frac{-2}{x^2 – 1} \]

Bài tập đạo hàm logarit có lời giải chi tiết

Dưới đây là các bài tập giúp bạn luyện tập và củng cố kiến thức về đạo hàm của log.

Bài tập 1

Đề bài: Tính đạo hàm của \(y = \ln(x^3 – 2x^2 + 5)\)

Lời giải:

Đặt \(u = x^3 – 2x^2 + 5\), ta có \(u’ = 3x^2 – 4x\)

\[ y’ = \frac{3x^2 – 4x}{x^3 – 2x^2 + 5} = \frac{x(3x – 4)}{x^3 – 2x^2 + 5} \]

Bài tập 2

Đề bài: Tính đạo hàm của \(y = \log_3(x^2 + 4x)\)

Lời giải:

Đặt \(u = x^2 + 4x\), ta có \(u’ = 2x + 4\)

\[ y’ = \frac{2x + 4}{(x^2 + 4x) \ln 3} = \frac{2(x + 2)}{(x^2 + 4x) \ln 3} \]

Bài tập 3

Đề bài: Tính đạo hàm của \(y = \ln^2 x\) (tức \(y = (\ln x)^2\))

Lời giải:

Đặt \(u = \ln x\), ta có \(y = u^2\)

Áp dụng đạo hàm hàm hợp:

\[ y’ = 2u \cdot u’ = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x} \]

Bài tập 4

Đề bài: Tính đạo hàm của \(y = \ln(\ln x)\)

Lời giải:

Đặt \(u = \ln x\), ta có \(u’ = \frac{1}{x}\)

\[ y’ = \frac{u’}{u} = \frac{\frac{1}{x}}{\ln x} = \frac{1}{x \ln x} \]

Bài tập 5

Đề bài: Tính đạo hàm của \(y = x \ln x – x\)

Lời giải:

\[ y’ = (x \ln x)’ – (x)’ \]

\[ y’ = (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) – 1 \]

\[ y’ = \ln x + 1 – 1 = \ln x \]

Bài tập 6

Đề bài: Tính đạo hàm của \(y = \ln\left|\frac{1 – \sin x}{1 + \sin x}\right|\)

Lời giải:

\[ y = \ln|1 – \sin x| – \ln|1 + \sin x| \]

\[ y’ = \frac{-\cos x}{1 – \sin x} – \frac{\cos x}{1 + \sin x} \]

\[ y’ = -\cos x \left(\frac{1}{1 – \sin x} + \frac{1}{1 + \sin x}\right) \]

\[ y’ = -\cos x \cdot \frac{(1 + \sin x) + (1 – \sin x)}{(1 – \sin x)(1 + \sin x)} \]

\[ y’ = -\cos x \cdot \frac{2}{1 – \sin^2 x} = -\cos x \cdot \frac{2}{\cos^2 x} = \frac{-2}{\cos x} \]

Bài tập tự luyện

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. \(y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\)
2. \(y = \log_5(3x^2 – 2x + 1)\)
3. \(y = \frac{\ln x}{x}\)
4. \(y = \ln(\sin^2 x + 1)\)
5. \(y = e^x \ln x\)
6. \(y = \ln\sqrt{\frac{1 + x}{1 – x}}\)

Đáp số:

1. \(y’ = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\)
2. \(y’ = \frac{6x – 2}{(3x^2 – 2x + 1)\ln 5}\)
3. \(y’ = \frac{1 – \ln x}{x^2}\)
4. \(y’ = \frac{\sin 2x}{\sin^2 x + 1}\)
5. \(y’ = e^x\left(\ln x + \frac{1}{x}\right)\)
6. \(y’ = \frac{1}{1 – x^2}\)

Kết luận

Đạo hàm của log là kiến thức nền tảng quan trọng trong Giải tích, được ứng dụng rộng rãi trong giải toán và các lĩnh vực khoa học khác. Để nắm vững kiến thức này, các bạn cần:

• Ghi nhớ công thức cơ bản: \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\) và \((\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a}\)
• Nắm vững đạo hàm hàm hợp: \((\ln u)’ = \frac{u’}{u}\)
• Biết cách biến đổi logarit trước khi đạo hàm để đơn giản hóa bài toán
• Luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Hy vọng bài viết về đạo hàm của log trên đây đã giúp các bạn hiểu rõ kiến thức và tự tin áp dụng vào giải bài tập. Chúc các bạn học tập hiệu quả!