Tính bán kính mặt cầu: Công thức tính R mặt cầu và bài tập chi tiết

Tính bán kính mặt cầu là một dạng toán quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 12. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ các công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp các khối đa diện thường gặp, kèm theo phương pháp giải và bài tập minh họa chi tiết.

Mặt cầu là gì? Các khái niệm cơ bản

Trước khi tìm hiểu cách tính bán kính mặt cầu, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau.

Định nghĩa mặt cầu

Mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R\) là tập hợp các điểm trong không gian cách điểm \(I\) một khoảng bằng \(R\).

Phương trình mặt cầu: \((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2\)

Trong đó \(I(a; b; c)\) là tâm mặt cầu, \(R\) là bán kính.

Mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp

Công thức tính bán kính mặt cầu

Dưới đây là tổng hợp các công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp các khối đa diện thường gặp nhất.

1. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là \(a\), \(b\), \(c\):

\[ R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]

Lưu ý: Tâm mặt cầu là giao điểm của các đường chéo hình hộp (tâm hình hộp).

2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Cho hình lập phương có cạnh \(a\):

\[ R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

3. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

a) Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Cho khối chóp S.ABC có \(SA \perp (ABC)\), gọi \(R’\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

\[ R = \frac{1}{2}\sqrt{SA^2 + 4R’^2} \]

b) Khối chóp đều

Cho khối chóp đều có chiều cao \(h\), bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là \(r\):

\[ R = \frac{h^2 + r^2}{2h} \]

c) Khối tứ diện đều

Cho tứ diện đều có cạnh \(a\):

\[ R = \frac{a\sqrt{6}}{4} \]

4. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng

Cho lăng trụ đứng có chiều cao \(h\), bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là \(r\):

\[ R = \sqrt{r^2 + \frac{h^2}{4}} \]

5. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều

Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy \(a\), chiều cao \(h\):

\[ R = \sqrt{\frac{a^2}{3} + \frac{h^2}{4}} \]

Bảng tổng hợp công thức

Phương pháp tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp một khối đa diện, bạn có thể áp dụng phương pháp tổng quát sau:

1. Bước 1: Xác định dạng khối đa diện (hình hộp, khối chóp, lăng trụ,…)
2. Bước 2: Xác định vị trí tâm mặt cầu
   • Với hình hộp: Tâm là giao điểm các đường chéo
   • Với khối chóp đều: Tâm nằm trên trục (đường cao)
   • Với lăng trụ đứng: Tâm là trung điểm đoạn nối tâm hai đáy
3. Bước 3: Tính khoảng cách từ tâm đến một đỉnh bất kỳ
4. Bước 4: Khoảng cách đó chính là bán kính \(R\)

Ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết

Sau đây là các bài tập áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu từ cơ bản đến nâng cao.

Ví dụ 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

Đề bài: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3 cm, 4 cm, 5 cm. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Lời giải:

Áp dụng công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật:

\[ R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]

\[ R = \frac{1}{2}\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \frac{1}{2}\sqrt{9 + 16 + 25} = \frac{1}{2}\sqrt{50} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ (cm)} \]

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\) cm \(\approx 3,54\) cm.

Ví dụ 2: Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Đề bài: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh \(a = 6\) cm. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương.

Lời giải:

Áp dụng công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương:

\[ R = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ (cm)} \]

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \(3\sqrt{3}\) cm \(\approx 5,20\) cm.

Ví dụ 3: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều

Đề bài: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh \(a = 4\) cm. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Lời giải:

Áp dụng công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều:

\[ R = \frac{a\sqrt{6}}{4} = \frac{4\sqrt{6}}{4} = \sqrt{6} \text{ (cm)} \]

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \(\sqrt{6}\) cm \(\approx 2,45\) cm.

Ví dụ 4: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác đều

Đề bài: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy \(a = 6\) cm, cạnh bên \(b = 5\) cm. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải:

Bước 1: Tính chiều cao \(h\) của khối chóp

\[ h = \sqrt{b^2 – \frac{a^2}{2}} = \sqrt{5^2 – \frac{6^2}{2}} = \sqrt{25 – 18} = \sqrt{7} \text{ (cm)} \]

Bước 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy (hình vuông)

\[ r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ (cm)} \]

Bước 3: Áp dụng công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đều

\[ R = \frac{h^2 + r^2}{2h} = \frac{(\sqrt{7})^2 + (3\sqrt{2})^2}{2\sqrt{7}} = \frac{7 + 18}{2\sqrt{7}} = \frac{25}{2\sqrt{7}} = \frac{25\sqrt{7}}{14} \text{ (cm)} \]

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \(\frac{25\sqrt{7}}{14}\) cm \(\approx 4,72\) cm.

Ví dụ 5: Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều

Đề bài: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy \(a = 6\) cm, chiều cao \(h = 8\) cm. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Lời giải:

Áp dụng công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều:

\[ R = \sqrt{\frac{a^2}{3} + \frac{h^2}{4}} \]

\[ R = \sqrt{\frac{6^2}{3} + \frac{8^2}{4}} = \sqrt{\frac{36}{3} + \frac{64}{4}} = \sqrt{12 + 16} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ (cm)} \]

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \(2\sqrt{7}\) cm \(\approx 5,29\) cm.

Bài tập tự luyện

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về cách tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp các khối đa diện thường gặp. Để làm tốt dạng toán này, bạn cần:

• Nắm vững các công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp từng loại khối đa diện
• Xác định đúng vị trí tâm mặt cầu
• Biết cách tính các đại lượng trung gian như chiều cao, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy
• Luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính bán kính mặt cầu. Chúc bạn học tập tốt!