Số chia hết cho 8: Dấu hiệu nhận biết, quy tắc và bài tập lớp 8

Số chia hết cho 8 là kiến thức quan trọng mở rộng từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 4. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững dấu hiệu nhận biết chia hết cho 8, quy tắc chia hết cho 8 cùng các bài tập minh họa chi tiết, dễ hiểu nhất.

Số chia hết cho 8 là gì?

Trước khi tìm hiểu về các số chia hết cho 8, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm cơ bản:

Định nghĩa: Một số tự nhiên được gọi là chia hết cho 8 khi phép chia số đó cho 8 có số dư bằng 0.

Biểu diễn toán học:

\[ a \vdots 8 \Leftrightarrow a = 8k \quad (k \in \mathbb{N}) \]

Trong đó:

• \( a \) là số bị chia
• \( k \) là thương của phép chia
• Ký hiệu \( \vdots \) nghĩa là “chia hết cho”

Ví dụ:

• \( 24 \div 8 = 3 \) (dư 0) → 24 chia hết cho 8
• \( 30 \div 8 = 3 \) (dư 6) → 30 không chia hết cho 8

Mối quan hệ với chia hết cho 2 và 4:

• Vì \( 8 = 2^3 = 2 \times 4 \), nên số chia hết cho 8 cũng chia hết cho cả 2 và 4
• Tuy nhiên, số chia hết cho 2 hoặc 4 chưa chắc đã chia hết cho 8

Vậy làm thế nào để nhận biết nhanh một số có chia hết cho 8 hay không? Hãy cùng tìm hiểu dấu hiệu nhận biết ngay sau đây.

Dấu hiệu nhận biết chia hết cho 8

Dấu hiệu nhận biết chia hết cho 8 là quy tắc giúp xác định nhanh một số có chia hết cho 8 hay không mà không cần thực hiện phép chia.

Quy tắc: Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi ba chữ số cuối cùng (số tạo bởi hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị) của số đó chia hết cho 8.

Trường hợp đặc biệt:

• Số có 1 chữ số: Kiểm tra trực tiếp số đó có chia hết cho 8 không
• Số có 2 chữ số: Kiểm tra trực tiếp số đó có chia hết cho 8 không
• Số có 3 chữ số trở lên: Chỉ cần xét 3 chữ số cuối

Số	Ba chữ số cuối	Phép chia cho 8	Chia hết cho 8?
1024	024	24 ÷ 8 = 3	Có ✓
5320	320	320 ÷ 8 = 40	Có ✓
7456	456	456 ÷ 8 = 57	Có ✓
2345	345	345 ÷ 8 = 43 dư 1	Không ✗
123456	456	456 ÷ 8 = 57	Có ✓
987654	654	654 ÷ 8 = 81 dư 6	Không ✗

So sánh dấu hiệu chia hết cho 2, 4, 8:

Chia hết cho	Điều kiện	Số chữ số cần xét
2	Chữ số tận cùng chia hết cho 2	1 chữ số cuối
4	Hai chữ số cuối chia hết cho 4	2 chữ số cuối
8	Ba chữ số cuối chia hết cho 8	3 chữ số cuối

Để áp dụng dấu hiệu này một cách nhanh chóng và chính xác, hãy xem cách nhận biết chi tiết dưới đây.

Cách nhận biết số chia hết cho 8 nhanh nhất

Cách nhận biết số chia hết cho 8 được thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định ba chữ số cuối của số cần kiểm tra (hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị).

Bước 2: Kiểm tra số tạo bởi ba chữ số cuối có chia hết cho 8 không.

Bước 3: Kết luận:

• Nếu ba chữ số cuối chia hết cho 8 → Số ban đầu chia hết cho 8
• Nếu ba chữ số cuối không chia hết cho 8 → Số ban đầu không chia hết cho 8

Mẹo tính nhanh số có 3 chữ số chia hết cho 8:

Với số \( \overline{abc} \), áp dụng công thức:

\[ \overline{abc} \vdots 8 \Leftrightarrow (4a + 2b + c) \times 2 + (a \mod 2) \times 8 \vdots 8 \]

Hoặc đơn giản hơn, sử dụng quy tắc:

• Nếu chữ số hàng trăm chẵn: Số \( \overline{bc} \) (hai chữ số cuối) phải chia hết cho 8
• Nếu chữ số hàng trăm lẻ: Số \( \overline{bc} \) chia 8 phải dư 4 (tức \( \overline{bc} – 4 \vdots 8 \))

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Số 45128 có chia hết cho 8 không?

• Bước 1: Ba chữ số cuối: 128
• Bước 2: Chữ số hàng trăm là 1 (lẻ), hai chữ số cuối là 28
• Kiểm tra: 28 – 4 = 24, mà \( 24 \vdots 8 \) ✓
• Hoặc tính trực tiếp: \( 128 \div 8 = 16 \) ✓
• Kết luận: 45128 chia hết cho 8 ✓

Ví dụ 2: Số 73416 có chia hết cho 8 không?

• Bước 1: Ba chữ số cuối: 416
• Bước 2: Chữ số hàng trăm là 4 (chẵn), hai chữ số cuối là 16
• Kiểm tra: \( 16 \div 8 = 2 \) ✓
• Hoặc tính trực tiếp: \( 416 \div 8 = 52 \) ✓
• Kết luận: 73416 chia hết cho 8 ✓

Ví dụ 3: Số 562354 có chia hết cho 8 không?

• Bước 1: Ba chữ số cuối: 354
• Bước 2: Chữ số hàng trăm là 3 (lẻ), hai chữ số cuối là 54
• Kiểm tra: 54 – 4 = 50, mà \( 50 \div 8 = 6 \) dư 2 ✗
• Hoặc tính trực tiếp: \( 354 \div 8 = 44 \) dư 2 ✗
• Kết luận: 562354 không chia hết cho 8 ✗

Ví dụ 4: Số 9000000 có chia hết cho 8 không?

• Bước 1: Ba chữ số cuối: 000
• Bước 2: \( 000 = 0 \vdots 8 \) ✓
• Kết luận: 9000000 chia hết cho 8 ✓

Bảng các số có 2 chữ số chia hết cho 8:

08

16

24

32

40

48

56

64

72

80

88

96

Để hiểu sâu hơn tại sao quy tắc này đúng, hãy cùng xem phần chứng minh chi tiết dưới đây.

Quy tắc chia hết cho 8 chi tiết

Quy tắc chia hết cho 8 được phát biểu chính xác như sau:

Định lý: Số tự nhiên \( n \) có từ 3 chữ số trở lên chia hết cho 8 khi và chỉ khi số tạo bởi ba chữ số cuối của \( n \) chia hết cho 8.

\[ n \vdots 8 \Leftrightarrow \overline{abc} \vdots 8 \]

Trong đó \( \overline{abc} \) là số tạo bởi ba chữ số cuối của \( n \).

Chứng minh quy tắc:

Xét số tự nhiên \( n \) có dạng:

\[ n = \overline{d_k d_{k-1} … d_3 d_2 d_1 d_0} \]

Ta có thể viết:

\[ n = \overline{d_k d_{k-1} … d_3} \times 1000 + \overline{d_2 d_1 d_0} \]

Đặt \( m = \overline{d_k d_{k-1} … d_3} \) và \( p = \overline{d_2 d_1 d_0} \), ta có:

\[ n = 1000m + p \]

Nhận xét quan trọng:

\[ 1000 = 8 \times 125 \]

Nên \( 1000 \vdots 8 \), do đó \( 1000m \vdots 8 \) với mọi số nguyên \( m \).

Từ đó:

\[ n \vdots 8 \Leftrightarrow (1000m + p) \vdots 8 \Leftrightarrow p \vdots 8 \]

Kết luận: \( n \vdots 8 \Leftrightarrow \overline{d_2 d_1 d_0} \vdots 8 \) (đpcm)

Chứng minh quy tắc nhanh (chữ số hàng trăm chẵn/lẻ):

Xét số có 3 chữ số: \( \overline{abc} = 100a + 10b + c \)

Ta có: \( 100 = 96 + 4 = 8 \times 12 + 4 \)

Nên: \( \overline{abc} = 8 \times 12a + 4a + 10b + c = 8 \times 12a + (4a + 10b + c) \)

Vì \( 8 \times 12a \vdots 8 \), nên:

\[ \overline{abc} \vdots 8 \Leftrightarrow (4a + 10b + c) \vdots 8 \Leftrightarrow (4a + 2b + c + 8b) \vdots 8 \Leftrightarrow (4a + 2b + c) \vdots 8 \]

Xét hai trường hợp:

• Nếu \( a \) chẵn: \( a = 2t \), thì \( 4a = 8t \vdots 8 \), nên cần \( (2b + c) \vdots 8 \), tức \( \overline{bc} \vdots 8 \) (vì \( 2b + c \) cùng số dư với \( 10b + c = \overline{bc} \) khi chia cho 8)
• Nếu \( a \) lẻ: \( a = 2t + 1 \), thì \( 4a = 8t + 4 \), nên cần \( (4 + 2b + c) \vdots 8 \), tức \( \overline{bc} \) chia 8 dư 4

Tính chất quan trọng:

• Nếu \( a \vdots 8 \) và \( b \vdots 8 \) thì \( (a \pm b) \vdots 8 \)
• Nếu \( a \vdots 8 \) thì \( a \times k \vdots 8 \) với mọi số nguyên \( k \)
• Số chia hết cho 8 thì chia hết cho cả 2 và 4
• Số chia hết cho cả 2 và 4 chưa chắc chia hết cho 8 (ví dụ: 12)

Mối quan hệ chia hết cho 2, 4, 8:

Số	Chia hết cho 2?	Chia hết cho 4?	Chia hết cho 8?
12	✓	✓	✗
16	✓	✓	✓
20	✓	✓	✗
24	✓	✓	✓
28	✓	✓	✗
32	✓	✓	✓

Sau khi hiểu rõ quy tắc, hãy cùng xem danh sách những số chia hết cho 8 để ghi nhớ tốt hơn.

Những số chia hết cho 8 từ 1 đến 200

Dưới đây là bảng tổng hợp những số chia hết cho 8 trong các phạm vi khác nhau:

Các số chia hết cho 8 từ 1 đến 100:

8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
88	96

Các số chia hết cho 8 từ 101 đến 200:

104	112	120	128	136	144	152	160	168	176
184	192	200

Nhận xét:

• Từ 1 đến 100 có 12 số chia hết cho 8
• Từ 1 đến 200 có 25 số chia hết cho 8
• Công thức tổng quát: Từ 1 đến \( n \), số các số chia hết cho 8 là \( \left\lfloor \frac{n}{8} \right\rfloor \)
• Các số chia hết cho 8 tạo thành dãy số cách đều 8 đơn vị: 8, 16, 24, 32, …

Quy luật chữ số tận cùng:

Bội của 8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
Chữ số tận cùng	8	6	4	2	0	8	6	4	2	0

Nhận xét: Chữ số tận cùng của các bội của 8 lần lượt là: 8, 6, 4, 2, 0 rồi lặp lại với chu kỳ 5. Tất cả đều là số chẵn, nhưng không thể nhận biết số chia hết cho 8 chỉ bằng cách nhìn chữ số tận cùng.

Để củng cố kiến thức, hãy cùng luyện tập với các bài tập dấu hiệu chia hết cho 8 dưới đây.

Bài tập dấu hiệu chia hết cho 8 lớp 8 (có lời giải chi tiết)

Dưới đây là các bài tập dấu hiệu chia hết cho 8 từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp với chương trình dấu hiệu chia hết cho 8 lớp 8.

Dạng 1: Nhận biết số chia hết cho 8

Bài tập 1: Trong các số sau, số nào chia hết cho 8?

1000; 1234; 5648; 7250; 12456; 987000

Lời giải:

Số	3 chữ số cuối	Chia cho 8	Kết luận
1000	000	0 ÷ 8 = 0	Chia hết ✓
1234	234	234 ÷ 8 = 29 dư 2	Không chia hết ✗
5648	648	648 ÷ 8 = 81	Chia hết ✓
7250	250	250 ÷ 8 = 31 dư 2	Không chia hết ✗
12456	456	456 ÷ 8 = 57	Chia hết ✓
987000	000	0 ÷ 8 = 0	Chia hết ✓

Đáp án: Các số chia hết cho 8 là: 1000, 5648, 12456, 987000

Dạng 2: Tìm chữ số thích hợp

Bài tập 2: Tìm chữ số \( x \) để số \( \overline{37x} \) chia hết cho 8.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhanh: Chữ số hàng trăm là 3 (lẻ), nên \( \overline{7x} \) phải chia 8 dư 4.

\( \overline{7x} = 70 + x \)

Cần: \( (70 + x) \mod 8 = 4 \)

Ta có: \( 70 = 8 \times 8 + 6 \), nên \( 70 \mod 8 = 6 \)

Cần: \( (6 + x) \mod 8 = 4 \)

Suy ra: \( x \mod 8 = -2 \equiv 6 \pmod{8} \)

Với \( x \in \{0, 1, 2, …, 9\} \): \( x = 6 \)

Kiểm tra: \( 376 \div 8 = 47 \) ✓

Đáp án: \( x = 6 \)

Bài tập 3: Tìm chữ số \( a \) để số \( \overline{52a} \) chia hết cho 8.

Lời giải:

Chữ số hàng trăm là 5 (lẻ), nên \( \overline{2a} \) phải chia 8 dư 4.

\( \overline{2a} = 20 + a \)

Cần: \( (20 + a) \mod 8 = 4 \)

Ta có: \( 20 = 8 \times 2 + 4 \), nên \( 20 \mod 8 = 4 \)

Cần: \( (4 + a) \mod 8 = 4 \)

Suy ra: \( a \mod 8 = 0 \)

Với \( a \in \{0, 1, 2, …, 9\} \): \( a \in \{0, 8\} \)

Kiểm tra: \( 520 \div 8 = 65 \) ✓, \( 528 \div 8 = 66 \) ✓

Đáp án: \( a \in \{0, 8\} \)

Bài tập 4: Tìm chữ số \( x \) để số \( \overline{24x} \) chia hết cho 8.

Lời giải:

Chữ số hàng trăm là 2 (chẵn), nên \( \overline{4x} \) phải chia hết cho 8.

\( \overline{4x} = 40 + x \)

Cần: \( (40 + x) \vdots 8 \)

Ta có: \( 40 = 8 \times 5 \vdots 8 \)

Nên cần: \( x \vdots 8 \)

Với \( x \in \{0, 1, 2, …, 9\} \): \( x \in \{0, 8\} \)

Kiểm tra: \( 240 \div 8 = 30 \) ✓, \( 248 \div 8 = 31 \) ✓

Đáp án: \( x \in \{0, 8\} \)

Bài tập 5: Tìm chữ số \( x \) để số \( \overline{13×2} \) chia hết cho 8.

Lời giải:

Ba chữ số cuối: \( \overline{3×2} = 300 + 10x + 2 = 302 + 10x \)

Chữ số hàng trăm là 3 (lẻ), nên \( \overline{x2} \) phải chia 8 dư 4.

\( \overline{x2} = 10x + 2 \)

Cần: \( (10x + 2) \mod 8 = 4 \)

Hay: \( (2x + 2) \mod 8 = 4 \) (vì \( 10x \equiv 2x \pmod{8} \))

Suy ra: \( 2x \equiv 2 \pmod{8} \), hay \( x \equiv 1 \pmod{4} \)

Với \( x \in \{0, 1, 2, …, 9\} \): \( x \in \{1, 5, 9\} \)

Kiểm tra:

• \( 1312 \div 8 = 164 \) ✓
• \( 1352 \div 8 = 169 \) ✓
• \( 1392 \div 8 = 174 \) ✓

Đáp án: \( x \in \{1, 5, 9\} \)

Dạng 3: Bài toán về tổng, tích

Bài tập 6: Không thực hiện phép tính, xét xem tổng sau có chia hết cho 8 không?

\( A = 128 + 256 + 512 \)

Lời giải:

• \( 128 = 8 \times 16 \vdots 8 \)
• \( 256 = 8 \times 32 \vdots 8 \)
• \( 512 = 8 \times 64 \vdots 8 \)

Tổng của các số chia hết cho 8 cũng chia hết cho 8.

Đáp án: \( A \vdots 8 \)

Bài tập 7: Xét xem \( B = 100 + 200 + 300 + 400 \) có chia hết cho 8 không?

Lời giải:

\( B = 100(1 + 2 + 3 + 4) = 100 \times 10 = 1000 \)

Kiểm tra: \( 1000 \div 8 = 125 \) ✓

Đáp án: \( B \vdots 8 \)

Cách khác: Kiểm tra từng số:

• 100 ÷ 8 = 12 dư 4
• 200 ÷ 8 = 25 dư 0
• 300 ÷ 8 = 37 dư 4
• 400 ÷ 8 = 50 dư 0

Tổng số dư: 4 + 0 + 4 + 0 = 8 ≡ 0 (mod 8) ✓

Dạng 4: Bài toán nâng cao

Bài tập 8: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.

Lời giải:

Gọi 4 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: \( 2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6 \)

Tích của chúng: \( P = 2n(2n+2)(2n+4)(2n+6) \)

\( P = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times n(n+1)(n+2)(n+3) \)

\( P = 16 \times n(n+1)(n+2)(n+3) \)

Vì \( 16 = 8 \times 2 \vdots 8 \)

Kết luận: \( P \vdots 8 \) (đpcm)

Bài tập 9: Chứng minh rằng \( n^2 – 1 \) chia hết cho 8 với mọi số lẻ \( n \).

Lời giải:

Vì \( n \) lẻ, đặt \( n = 2k + 1 \) với \( k \in \mathbb{Z} \)

\( n^2 – 1 = (2k+1)^2 – 1 = 4k^2 + 4k + 1 – 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1) \)

Vì \( k \) và \( k+1 \) là hai số nguyên liên tiếp, nên một trong hai số phải chẵn.

Do đó \( k(k+1) \vdots 2 \), suy ra \( k(k+1) = 2m \) với \( m \in \mathbb{Z} \)

\( n^2 – 1 = 4 \times 2m = 8m \vdots 8 \)

Kết luận: \( n^2 – 1 \vdots 8 \) với mọi số lẻ \( n \) (đpcm)

Bài tập 10: Chứng minh rằng số có dạng \( \overline{abcabc} \) luôn chia hết cho 8.

Lời giải:

Ta có: \( \overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1000 + \overline{abc} = \overline{abc} \times 1001 \)

Kiểm tra 1001 có chia hết cho 8 không:

\( 1001 \div 8 = 125 \) dư 1

Vậy 1001 không chia hết cho 8.

Kiểm tra lại: \( \overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1001 \)

Ba chữ số cuối của \( \overline{abcabc} \) là \( \overline{abc} \).

Số \( \overline{abcabc} \vdots 8 \Leftrightarrow \overline{abc} \vdots 8 \)

Kết luận: Số \( \overline{abcabc} \) chia hết cho 8 khi và chỉ khi \( \overline{abc} \vdots 8 \).

(Đề bài không chính xác – không phải mọi số dạng này đều chia hết cho 8)

Bài tập 11: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số lớn nhất chia hết cho 8.

Lời giải:

Số có 4 chữ số lớn nhất là 9999.

Kiểm tra: \( 9999 \div 8 = 1249 \) dư 7

Số cần tìm: \( 9999 – 7 = 9992 \)

Kiểm tra: \( 9992 \div 8 = 1249 \) ✓

Đáp án: 9992

Bài tập 12: Cho \( S = 8 + 16 + 24 + … + 800 \). Tính S và kiểm tra S chia hết cho 8.

Lời giải:

Đây là tổng của dãy số chia hết cho 8 từ 8 đến 800.

Viết lại: \( S = 8(1 + 2 + 3 + … + 100) \)

Áp dụng công thức: \( 1 + 2 + 3 + … + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050 \)

\[ S = 8 \times 5050 = 40400 \]

Vì \( S = 8 \times 5050 \), nên hiển nhiên \( S \vdots 8 \).

Đáp án: \( S = 40400 \) và \( S \vdots 8 \)

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức về số chia hết cho 8, bao gồm định nghĩa, dấu hiệu nhận biết chia hết cho 8, và quy tắc chia hết cho 8. Hãy ghi nhớ quy tắc quan trọng: Số chia hết cho 8 khi và chỉ khi ba chữ số cuối cùng của số đó chia hết cho 8. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng quy tắc nhanh: nếu chữ số hàng trăm chẵn thì hai chữ số cuối phải chia hết cho 8, nếu chữ số hàng trăm lẻ thì hai chữ số cuối phải chia 8 dư 4. Đây là kiến thức quan trọng trong chương trình dấu hiệu chia hết cho 8 lớp 8. Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập dấu hiệu chia hết cho 8 để thành thạo và áp dụng linh hoạt trong các bài toán phức tạp hơn.