Phương trình tiếp tuyến: Công thức và cách viết chi tiết nhất

Phương trình tiếp tuyến là một trong những kiến thức quan trọng xuyên suốt chương trình Toán THPT, từ phương trình tiếp tuyến lớp 10 (đường tròn) đến lớp 11, 12 (đồ thị hàm số). Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức phương trình tiếp tuyến, cách viết phương trình tiếp tuyến cùng các bài tập minh họa có lời giải cụ thể.

1. Tiếp tuyến là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức phương trình tiếp tuyến, ta cần nắm vững khái niệm cơ bản về tiếp tuyến.

1.1. Định nghĩa tiếp tuyến

Tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm là đường thẳng đi qua điểm đó và “chạm” vào đường cong, có cùng hướng với đường cong tại điểm tiếp xúc.

Đối với đồ thị hàm số: Tiếp tuyến tại điểm M là đường thẳng có hệ số góc bằng đạo hàm của hàm số tại điểm đó.

Đối với đường tròn: Tiếp tuyến đường tròn tại điểm M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với bán kính tại M.

1.2. Tính chất của tiếp tuyến

Loại đường cong	Tính chất tiếp tuyến
Đồ thị hàm số y = f(x)	Hệ số góc tiếp tuyến = f'(x₀) tại điểm tiếp xúc
Đường tròn	Vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc
Elip, Parabol, Hyperbol	Có công thức riêng cho từng loại

2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Đây là dạng pt tiếp tuyến phổ biến nhất trong chương trình lớp 11, 12.

2.1. Công thức phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \(M(x_0; y_0)\) là:

\(y = f'(x_0)(x – x_0) + y_0\)

Hoặc viết dưới dạng:

\(y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)\)

Trong đó:

• \(x_0\): hoành độ điểm tiếp xúc
• \(y_0 = f(x_0)\): tung độ điểm tiếp xúc
• \(f'(x_0)\): hệ số góc của tiếp tuyến (đạo hàm tại \(x_0\))

2.2. Các dạng bài tập cơ bản

Dạng bài	Phương pháp giải
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x_0\)	Tính \(y_0 = f(x_0)\), \(k = f'(x_0)\), áp dụng công thức
Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước	Giải \(f'(x_0) = k\) → tìm \(x_0\) → viết pt tiếp tuyến
Tiếp tuyến đi qua điểm A(a; b)	Lập pt tiếp tuyến tổng quát, thay A vào → tìm \(x_0\)

2.3. Tiếp tuyến song song, vuông góc với đường thẳng

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = kx + m:

Hệ số góc tiếp tuyến = k → Giải \(f'(x_0) = k\)

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = kx + m (k ≠ 0):

Hệ số góc tiếp tuyến = \(-\frac{1}{k}\) → Giải \(f'(x_0) = -\frac{1}{k}\)

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Đây là nội dung phương trình tiếp tuyến lớp 10 trong chương Hình học tọa độ.

3.1. Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R và điểm \(M(x_0; y_0)\) thuộc (C).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M:

\((x_0 – a)(x – a) + (y_0 – b)(y – b) = R^2\)

Trường hợp đặc biệt: Đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R:

\(x_0 \cdot x + y_0 \cdot y = R^2\)

3.2. Giải thích công thức

Vì tiếp tuyến đường tròn vuông góc với bán kính IM tại M, nên:

• Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến: \(\vec{n} = \overrightarrow{IM} = (x_0 – a; y_0 – b)\)
• Tiếp tuyến đi qua M và có VTPT là \(\vec{n}\)

3.3. Tiếp tuyến từ điểm ngoài đường tròn

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (C). Từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).

Phương pháp tìm pt tiếp tuyến:

1. Cách 1: Gọi tiếp điểm M(x₀; y₀) thuộc (C), lập hệ điều kiện
2. Cách 2: Đặt pt tiếp tuyến dạng y – yₐ = k(x – xₐ), dùng điều kiện tiếp xúc
3. Cách 3: Dùng khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng R

3.4. Điều kiện tiếp xúc

Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R khi và chỉ khi:

\(d(I, d) = R\)

3.5. Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước

Tìm tiếp tuyến của đường tròn \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\) có hệ số góc k:

Bước 1: Đặt pt tiếp tuyến: \(y = kx + m\) hay \(kx – y + m = 0\)

Bước 2: Điều kiện tiếp xúc:

\(d(I, d) = R \Leftrightarrow \frac{|ka – b + m|}{\sqrt{k^2 + 1}} = R\)

Bước 3: Giải tìm m

4. Bảng tổng hợp công thức phương trình tiếp tuyến

Loại	Công thức
Đồ thị hàm số y = f(x) tại \(M(x_0; y_0)\)	\(y = f'(x_0)(x – x_0) + y_0\)
Đường tròn tâm I(a;b), R tại \(M(x_0; y_0)\)	\((x_0 – a)(x – a) + (y_0 – b)(y – b) = R^2\)
Đường tròn \(x^2 + y^2 = R^2\) tại \(M(x_0; y_0)\)	\(x_0 x + y_0 y = R^2\)
Elip \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) tại \(M(x_0; y_0)\)	\(\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1\)
Parabol \(y^2 = 2px\) tại \(M(x_0; y_0)\)	\(y_0 y = p(x + x_0)\)

5. Cách viết phương trình tiếp tuyến – Các dạng bài tập

Dưới đây là các dạng bài thường gặp về pt tiếp tuyến:

Dạng 1: Viết pt tiếp tuyến tại điểm có hoành độ cho trước

Phương pháp:

1. Tính \(y_0 = f(x_0)\)
2. Tính đạo hàm f'(x)
3. Tính hệ số góc \(k = f'(x_0)\)
4. Viết pt tiếp tuyến: \(y = k(x – x_0) + y_0\)

Dạng 2: Viết pt tiếp tuyến có hệ số góc cho trước

Phương pháp:

1. Giải phương trình \(f'(x_0) = k\) → tìm \(x_0\)
2. Tính \(y_0 = f(x_0)\)
3. Viết pt tiếp tuyến với mỗi giá trị \(x_0\)

Dạng 3: Viết pt tiếp tuyến đi qua điểm cho trước

Phương pháp:

1. Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm, lập pt tiếp tuyến tổng quát
2. Thay tọa độ điểm cho trước vào pt tiếp tuyến
3. Giải phương trình tìm \(x_0\)
4. Viết pt tiếp tuyến tương ứng

6. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng công thức phương trình tiếp tuyến để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ cho trước

Đề bài: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^3 – 3x + 2\) tại điểm có hoành độ \(x_0 = 1\).

Lời giải:

Bước 1: Tính tung độ điểm tiếp xúc

\(y_0 = 1^3 – 3 \cdot 1 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0\)

Điểm tiếp xúc: M(1; 0)

Bước 2: Tính đạo hàm

\(y’ = 3x^2 – 3\)

Bước 3: Tính hệ số góc tiếp tuyến

\(k = y'(1) = 3 \cdot 1^2 – 3 = 0\)

Bước 4: Viết pt tiếp tuyến

\(y = 0(x – 1) + 0 = 0\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 0 (trục Ox)

Bài tập 2: Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước

Đề bài: Viết pt tiếp tuyến của đồ thị \(y = x^2 – 4x + 3\) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 2.

Lời giải:

Bước 1: Tính đạo hàm

\(y’ = 2x – 4\)

Bước 2: Tìm hoành độ tiếp điểm

\(y'(x_0) = 2 \Leftrightarrow 2x_0 – 4 = 2 \Leftrightarrow x_0 = 3\)

Bước 3: Tính tung độ tiếp điểm

\(y_0 = 3^2 – 4 \cdot 3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0\)

Bước 4: Viết pt tiếp tuyến

\(y = 2(x – 3) + 0 = 2x – 6\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 2x – 6

Bài tập 3: Tiếp tuyến đi qua điểm cho trước

Đề bài: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y = x^2\) đi qua điểm A(2; 3).

Lời giải:

Bước 1: Gọi tiếp điểm là \(M(x_0; x_0^2)\)

Bước 2: Tính đạo hàm và hệ số góc

\(y’ = 2x \Rightarrow k = 2x_0\)

Bước 3: Lập pt tiếp tuyến tổng quát

\(y = 2x_0(x – x_0) + x_0^2 = 2x_0 x – x_0^2\)

Bước 4: Tiếp tuyến đi qua A(2; 3)

\(3 = 2x_0 \cdot 2 – x_0^2\)

\(x_0^2 – 4x_0 + 3 = 0\)

\((x_0 – 1)(x_0 – 3) = 0\)

\(x_0 = 1\) hoặc \(x_0 = 3\)

Bước 5: Viết pt tiếp tuyến

• Với \(x_0 = 1\): \(y = 2 \cdot 1 \cdot x – 1^2 = 2x – 1\)
• Với \(x_0 = 3\): \(y = 2 \cdot 3 \cdot x – 3^2 = 6x – 9\)

Vậy có hai tiếp tuyến: y = 2x – 1 và y = 6x – 9

Bài tập 4: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm

Đề bài: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C): x^2 + y^2 = 25\) tại điểm M(3; 4).

Lời giải:

Kiểm tra M thuộc (C): \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) ✓

Áp dụng công thức pt tiếp tuyến của đường tròn:

\(x_0 x + y_0 y = R^2\)

\(3x + 4y = 25\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là 3x + 4y = 25

Bài tập 5: Tiếp tuyến của đường tròn từ điểm ngoài

Đề bài: Viết pt tiếp tuyến của đường tròn \((C): x^2 + y^2 = 4\) kẻ từ điểm A(4; 0).

Lời giải:

Cách 1: Dùng điều kiện tiếp xúc

Tiếp tuyến qua A(4; 0) có dạng: \(y = k(x – 4)\) hay \(kx – y – 4k = 0\)

Điều kiện tiếp xúc: \(d(O, d) = 2\)

\(\frac{|k \cdot 0 – 0 – 4k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2\)

\(\frac{4|k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2\)

\(4|k| = 2\sqrt{k^2 + 1}\)

\(16k^2 = 4(k^2 + 1)\)

\(12k^2 = 4 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow k = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Hai tiếp tuyến:

• \(y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x – 4)\) hay \(x – \sqrt{3}y – 4 = 0\)
• \(y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x – 4)\) hay \(x + \sqrt{3}y – 4 = 0\)

Bài tập 6: Tiếp tuyến song song với đường thẳng

Đề bài: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y = x^3 – 3x^2 + 2\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x – 5.

Lời giải:

Tiếp tuyến song song với y = 9x – 5 nên có hệ số góc k = 9.

\(y’ = 3x^2 – 6x\)

\(y'(x_0) = 9 \Leftrightarrow 3x_0^2 – 6x_0 = 9\)

\(x_0^2 – 2x_0 – 3 = 0\)

\((x_0 – 3)(x_0 + 1) = 0\)

\(x_0 = 3\) hoặc \(x_0 = -1\)

Với \(x_0 = 3\):

\(y_0 = 27 – 27 + 2 = 2\)

Tiếp tuyến: \(y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 25\)

Với \(x_0 = -1\):

\(y_0 = -1 – 3 + 2 = -2\)

Tiếp tuyến: \(y = 9(x + 1) – 2 = 9x + 7\)

Vậy hai tiếp tuyến: y = 9x – 25 và y = 9x + 7

7. Bài tập tự luyện

Vận dụng cách viết phương trình tiếp tuyến, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Viết pt tiếp tuyến của đồ thị \(y = x^2 – 2x + 1\) tại điểm có hoành độ \(x_0 = 2\).

Xem đáp án

\(y_0 = 4 – 4 + 1 = 1\)

\(y’ = 2x – 2 \Rightarrow k = y'(2) = 2\)

Tiếp tuyến: \(y = 2(x – 2) + 1 = 2x – 3\)

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(x^2 + y^2 – 4x + 2y – 4 = 0\) tại điểm M(4; 2).

Xem đáp án

Đường tròn có tâm I(2; -1), R = 3

Kiểm tra: \((4-2)^2 + (2+1)^2 = 4 + 9 = 13 \neq 9\)

→ M không thuộc đường tròn → Đề sai hoặc cần tìm tiếp tuyến từ M

Bài 3: Viết pt tiếp tuyến của \(y = \frac{x+1}{x-1}\) tại điểm có tung độ y₀ = 2.

Xem đáp án

\(\frac{x_0+1}{x_0-1} = 2 \Rightarrow x_0 + 1 = 2x_0 – 2 \Rightarrow x_0 = 3\)

\(y’ = \frac{-2}{(x-1)^2} \Rightarrow k = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)

Tiếp tuyến: \(y = -\frac{1}{2}(x – 3) + 2 = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}\)

Bài 4: Viết tiếp tuyến đường tròn \(x^2 + y^2 = 9\) có hệ số góc k = 2.

Xem đáp án

Tiếp tuyến: \(2x – y + m = 0\)

\(d(O, d) = 3 \Leftrightarrow \frac{|m|}{\sqrt{5}} = 3 \Rightarrow m = \pm 3\sqrt{5}\)

Hai tiếp tuyến: \(y = 2x + 3\sqrt{5}\) và \(y = 2x – 3\sqrt{5}\)

8. Kết luận

Phương trình tiếp tuyến là kiến thức quan trọng xuyên suốt chương trình THPT. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: \(y = f'(x_0)(x – x_0) + y_0\)
• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: \((x_0 – a)(x – a) + (y_0 – b)(y – b) = R^2\)
• Cách viết phương trình tiếp tuyến cho các dạng bài: tại điểm, có hệ số góc, đi qua điểm
• Điều kiện tiếp tuyến đường tròn: khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính

Hãy luyện tập thường xuyên các bài tập về pt tiếp tuyến để thành thạo và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.