Phương trình mặt cầu có dạng gì? Điều kiện pt mặt cầu và bài tập

Trong hình học không gian, phương trình mặt cầu có dạng tổng quát hoặc chính tắc là kiến thức nền tảng giúp học sinh xác định tâm, bán kính và các tính chất liên quan. Tuy nhiên, không phải phương trình bậc hai nào cũng biểu diễn một mặt cầu — cần thỏa mãn những điều kiện để là phương trình mặt cầu nhất định. Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết phương trình mặt cầu có dạng như thế nào, điều kiện của phương trình mặt cầu, cách xác định tâm và bán kính cùng các ví dụ minh họa và bài tập có lời giải.

1. Mặt cầu là gì?

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).

Ký hiệu: Mặt cầu \( S \) có tâm \( I(a, b, c) \) và bán kính \( R > 0 \):

\[ S(I, R) = \{ M(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid IM = R \} \]

Các yếu tố cơ bản của mặt cầu:

2. Phương trình mặt cầu có dạng như thế nào?

Tùy thuộc vào cách biểu diễn, phương trình mặt cầu có dạng chính tắc hoặc dạng khai triển (tổng quát). Cả hai dạng đều biểu diễn cùng một mặt cầu nhưng phục vụ các mục đích khác nhau trong giải toán.

2.1. Phương trình mặt cầu dạng chính tắc

Mặt cầu có tâm \( I(a, b, c) \) và bán kính \( R > 0 \) có phương trình chính tắc:

\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2 \]

Đặc điểm của dạng chính tắc:

• Đọc trực tiếp được tâm \( I(a, b, c) \) và bán kính \( R \)
• Vế trái là tổng bình phương khoảng cách theo từng trục
• Vế phải là bình phương bán kính, luôn dương

Trường hợp đặc biệt: Mặt cầu tâm gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \), bán kính \( R \):

\[ x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \]

2.2. Phương trình mặt cầu dạng khai triển (tổng quát)

Khai triển dạng chính tắc, ta được phương trình mặt cầu dạng tổng quát:

\[ x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 \]

Trong đó:

• \( a, b, c \): tọa độ tâm mặt cầu
• \( d = a^2 + b^2 + c^2 – R^2 \)

Hoặc viết dưới dạng tổng quát hơn với các hệ số tùy ý:

\[ x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0 \]

Khi đó:

• Tâm: \( I\left(-\frac{A}{2},\, -\frac{B}{2},\, -\frac{C}{2}\right) \)
• Bán kính: \( R = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} + \frac{C^2}{4} – D} \)

2.3. Mối quan hệ giữa hai dạng phương trình

Bảng dưới đây tóm tắt cách chuyển đổi giữa hai dạng phương trình mặt cầu:

3. Điều kiện để là phương trình mặt cầu

Không phải mọi phương trình bậc hai ba biến đều biểu diễn mặt cầu. Để xác định một phương trình có phải là phương trình mặt cầu hay không, ta cần kiểm tra các điều kiện để là phương trình mặt cầu sau đây.

3.1. Điều kiện về hệ số của phương trình mặt cầu

Cho phương trình dạng tổng quát:

\[ x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0 \]

Điều kiện để có phương trình mặt cầu là:

\[ \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} + \frac{C^2}{4} – D > 0 \]

Hay tương đương:

\[ A^2 + B^2 + C^2 – 4D > 0 \]

Giải thích ý nghĩa:

• Biểu thức \( \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} + \frac{C^2}{4} – D \) chính là \( R^2 \) (bình phương bán kính)
• Để mặt cầu tồn tại, bán kính phải là số thực dương, nghĩa là \( R^2 > 0 \)
• Nếu \( A^2 + B^2 + C^2 – 4D = 0 \): phương trình biểu diễn một điểm duy nhất (mặt cầu suy biến, bán kính bằng 0)
• Nếu \( A^2 + B^2 + C^2 – 4D < 0 \): phương trình vô nghiệm, không biểu diễn hình nào

3.2. Điều kiện đầy đủ của phương trình mặt cầu dạng tổng quát

Với phương trình bậc hai ba biến dạng tổng quát nhất:

\[ Px^2 + Qy^2 + Sz^2 + Ax + By + Cz + D = 0 \]

Phương trình trên là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời tất cả các điều kiện của phương trình mặt cầu sau:

Lưu ý quan trọng: Trong chương trình phổ thông, phương trình mặt cầu thường được cho sẵn ở dạng chuẩn (hệ số \( x^2, y^2, z^2 \) đều bằng 1), nên điều kiện pt mặt cầu rút gọn lại thành:

\( x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0 \) là phương trình mặt cầu \( \Leftrightarrow A^2 + B^2 + C^2 – 4D > 0 \)

Tóm tắt nhanh bằng sơ đồ:

4. Cách xác định tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu

Khi đã biết phương trình thỏa mãn điều kiện để có phương trình mặt cầu, ta xác định tâm và bán kính theo hai phương pháp dưới đây.

4.1. Phương pháp đồng nhất hệ số

Từ phương trình \( x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0 \), ta đọc trực tiếp:

1. Tâm: \( I\left(-\frac{A}{2},\, -\frac{B}{2},\, -\frac{C}{2}\right) \)
2. Bán kính: \( R = \frac{1}{2}\sqrt{A^2 + B^2 + C^2 – 4D} \)

4.2. Phương pháp hoàn thành bình phương

Nhóm các biến cùng loại và thêm bớt hạng tử để đưa về dạng chính tắc:

1. Nhóm: \( (x^2 + Ax) + (y^2 + By) + (z^2 + Cz) = -D \)
2. Thêm bớt: \( \left(x + \frac{A}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{B}{2}\right)^2 + \left(z + \frac{C}{2}\right)^2 = \frac{A^2 + B^2 + C^2}{4} – D \)
3. Đọc tâm và bán kính từ dạng chính tắc thu được

Phương pháp này giúp ta vừa kiểm tra điều kiện để là phương trình mặt cầu (vế phải phải dương), vừa tìm tâm và bán kính trong cùng một lượt tính.

5. Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết

Cùng vận dụng kiến thức về phương trình mặt cầu có dạng chuẩn và điều kiện pt mặt cầu qua các ví dụ dưới đây.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

Đề bài: Viết phương trình mặt cầu có tâm \( I(2, -3, 1) \) và bán kính \( R = 5 \).

Lời giải:

Áp dụng dạng chính tắc:

\[ (x – 2)^2 + (y + 3)^2 + (z – 1)^2 = 25 \]

Khai triển sang dạng tổng quát:

\[ x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 6y – 2z + 4 + 9 + 1 – 25 = 0 \]

\[ x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 6y – 2z – 11 = 0 \]

Kiểm tra: \( A = -4, B = 6, C = -2, D = -11 \). Điều kiện: \( (-4)^2 + 6^2 + (-2)^2 – 4(-11) = 16 + 36 + 4 + 44 = 100 > 0 \). ✓ □

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính từ phương trình tổng quát

Đề bài: Cho phương trình \( x^2 + y^2 + z^2 – 6x + 4y – 8z + 4 = 0 \). Chứng minh đây là phương trình mặt cầu và tìm tâm, bán kính.

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức trực tiếp.

Xác định: \( A = -6,\ B = 4,\ C = -8,\ D = 4 \).

Kiểm tra điều kiện của phương trình mặt cầu:

\[ A^2 + B^2 + C^2 – 4D = 36 + 16 + 64 – 16 = 100 > 0 \quad \checkmark \]

Vậy đây là phương trình mặt cầu. Tâm và bán kính:

\[ I\left(-\frac{-6}{2},\, -\frac{4}{2},\, -\frac{-8}{2}\right) = I(3, -2, 4) \]

\[ R = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5 \]

Cách 2: Hoàn thành bình phương.

\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 – 8z + 16) = -4 + 9 + 4 + 16 \]

\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 + (z – 4)^2 = 25 \]

Suy ra tâm \( I(3, -2, 4) \), bán kính \( R = 5 \). □

Ví dụ 3: Kiểm tra điều kiện phương trình mặt cầu

Đề bài: Với giá trị nào của tham số \( m \) thì phương trình sau là phương trình mặt cầu?

\[ x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y – 6z + m = 0 \]

Lời giải:

Xác định: \( A = -2,\ B = 4,\ C = -6,\ D = m \).

Điều kiện để là phương trình mặt cầu:

\[ A^2 + B^2 + C^2 – 4D > 0 \]

\[ (-2)^2 + 4^2 + (-6)^2 – 4m > 0 \]

\[ 4 + 16 + 36 – 4m > 0 \]

\[ 56 – 4m > 0 \Leftrightarrow m < 14 \]

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi \( m < 14 \).

Khi đó: tâm \( I(1, -2, 3) \), bán kính \( R = \frac{1}{2}\sqrt{56 – 4m} = \sqrt{14 – m} \). □

Ví dụ 4: Phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm

Đề bài: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm \( A(1, 0, 0) \), \( B(0, 1, 0) \), \( C(0, 0, 1) \), \( D(1, 1, 1) \).

Lời giải:

Gọi phương trình mặt cầu có dạng: \( x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0 \).

Thay tọa độ 4 điểm vào phương trình:

• \( A(1, 0, 0) \): \( 1 + A + D = 0 \quad (1) \)
• \( B(0, 1, 0) \): \( 1 + B + D = 0 \quad (2) \)
• \( C(0, 0, 1) \): \( 1 + C + D = 0 \quad (3) \)
• \( D(1, 1, 1) \): \( 3 + A + B + C + D = 0 \quad (4) \)

Từ (1), (2), (3): \( A = B = C = -(1 + D) \).

Thay vào (4): \( 3 + 3 \times [-(1+D)] + D = 0 \Leftrightarrow 3 – 3 – 3D + D = 0 \Leftrightarrow -2D = 0 \Leftrightarrow D = 0 \).

Suy ra: \( A = B = C = -1 \).

Phương trình mặt cầu:

\[ x^2 + y^2 + z^2 – x – y – z = 0 \]

Kiểm tra: \( A^2 + B^2 + C^2 – 4D = 1 + 1 + 1 – 0 = 3 > 0 \) ✓

Tâm \( I\left(\frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{2}\right) \), bán kính \( R = \frac{\sqrt{3}}{2} \). □

Ví dụ 5: Phương trình mặt cầu có đường kính AB

Đề bài: Viết phương trình mặt cầu đường kính \( AB \) với \( A(2, -1, 3) \) và \( B(4, 3, -1) \).

Lời giải:

Tâm mặt cầu là trung điểm \( I \) của \( AB \):

\[ I = \left(\frac{2+4}{2},\, \frac{-1+3}{2},\, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (3, 1, 1) \]

Bán kính:

\[ R = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{(4-2)^2 + (3+1)^2 + (-1-3)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 16} = \frac{1}{2}\sqrt{36} = 3 \]

Phương trình mặt cầu:

\[ (x – 3)^2 + (y – 1)^2 + (z – 1)^2 = 9 \]

Dạng tổng quát: \( x^2 + y^2 + z^2 – 6x – 2y – 2z + 2 = 0 \). □

Ví dụ 6: Phương trình có hệ số bậc hai khác 1

Đề bài: Phương trình \( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 – 4x + 8y – 12z + 10 = 0 \) có phải là phương trình mặt cầu không? Nếu có, tìm tâm và bán kính.

Lời giải:

Chia cả hai vế cho 2:

\[ x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y – 6z + 5 = 0 \]

Xác định: \( A = -2,\ B = 4,\ C = -6,\ D = 5 \).

Kiểm tra điều kiện pt mặt cầu:

\[ A^2 + B^2 + C^2 – 4D = 4 + 16 + 36 – 20 = 36 > 0 \quad \checkmark \]

Đây là phương trình mặt cầu có:

• Tâm: \( I(1, -2, 3) \)
• Bán kính: \( R = \frac{1}{2}\sqrt{36} = 3 \)

□

6. Bài tập tự luyện có đáp án

Hãy tự rèn luyện để nắm chắc điều kiện để có phương trình mặt cầu và cách tìm tâm, bán kính qua các bài tập sau.

Kết luận

Phương trình mặt cầu có dạng chính tắc \( (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2 \) hoặc dạng tổng quát \( x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0 \). Để nhận biết một phương trình bậc hai có phải là phương trình mặt cầu hay không, ta kiểm tra điều kiện để là phương trình mặt cầu: hệ số \( x^2, y^2, z^2 \) phải bằng nhau, không có tích chéo, và đặc biệt \( A^2 + B^2 + C^2 – 4D > 0 \). Nắm vững công thức phương trình mặt cầu cùng các điều kiện của phương trình mặt cầu sẽ giúp bạn tự tin giải quyết mọi dạng bài tập liên quan trong chương trình hình học không gian. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả cao trong các kỳ thi!