Công thức Bernoulli: Phép thử, phân phối và định lý Bernoulli

Công thức Bernoulli là công thức quan trọng trong xác suất, dùng để tính xác suất xảy ra đúng k lần của một biến cố trong n phép thử độc lập. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết định nghĩa, điều kiện áp dụng, cách tính cùng các bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức.

Công thức Bernoulli là gì?

Công thức Bernoulli (còn gọi là công thức nhị thức) được sử dụng để tính xác suất biến cố A xảy ra đúng k lần trong n phép thử độc lập, khi mỗi phép thử có xác suất thành công là p.

Công thức Bernoulli được phát biểu như sau:

\[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Trong đó:

• \( P_n(k) \): Xác suất biến cố A xảy ra đúng k lần trong n phép thử
• \( n \): Số phép thử (số lần thực hiện thí nghiệm)
• \( k \): Số lần biến cố A xảy ra (0 ≤ k ≤ n)
• \( p \): Xác suất biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử (0 < p < 1)
• \( q = 1 – p \): Xác suất biến cố A không xảy ra trong mỗi phép thử
• \( C_n^k \): Số tổ hợp chập k của n phần tử

Công thức tính tổ hợp:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Điều kiện áp dụng công thức Bernoulli

Để áp dụng công thức Bernoulli một cách chính xác, bài toán cần thỏa mãn các điều kiện sau:

Cách tính xác suất bằng công thức Bernoulli

Để giải bài toán sử dụng công thức Bernoulli, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định các đại lượng

• Xác định biến cố A cần xét
• Tìm số phép thử n
• Tìm xác suất thành công p trong mỗi phép thử
• Tính q = 1 – p
• Xác định số lần k cần tính

Bước 2: Áp dụng công thức

Thay các giá trị vào công thức:

\[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Bước 3: Tính toán và kết luận

Tính tổ hợp \( C_n^k \), sau đó tính kết quả cuối cùng.

Các trường hợp đặc biệt

Các dạng bài tập công thức Bernoulli thường gặp

Dưới đây là các dạng bài tập phổ biến khi áp dụng công thức Bernoulli:

Dạng 1: Tính xác suất xảy ra đúng k lần

Đặc điểm: Đề bài yêu cầu tính xác suất biến cố xảy ra chính xác k lần.

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức \( P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \)

Dạng 2: Tính xác suất xảy ra ít nhất k lần

Đặc điểm: Đề bài yêu cầu tính xác suất biến cố xảy ra từ k lần trở lên.

Phương pháp:

\[ P(X \geq k) = P_n(k) + P_n(k+1) + … + P_n(n) \]

Hoặc dùng biến cố đối: \( P(X \geq k) = 1 – P(X < k) \)

Dạng 3: Tính xác suất xảy ra nhiều nhất k lần

Đặc điểm: Đề bài yêu cầu tính xác suất biến cố xảy ra từ 0 đến k lần.

Phương pháp:

\[ P(X \leq k) = P_n(0) + P_n(1) + … + P_n(k) \]

Dạng 4: Bài toán tìm n hoặc p

Đặc điểm: Đề bài cho xác suất, yêu cầu tìm số phép thử n hoặc xác suất p.

Phương pháp: Lập phương trình từ công thức Bernoulli, giải tìm ẩn.

Bài tập công thức Bernoulli có lời giải chi tiết

Dưới đây là các bài tập vận dụng công thức Bernoulli với lời giải chi tiết.

Bài tập 1: Tính xác suất đúng k lần

Đề bài: Một xạ thủ bắn 5 phát đạn vào bia, xác suất bắn trúng mỗi lần là 0,8. Tính xác suất xạ thủ bắn trúng đúng 3 phát.

Lời giải:

Xác định các đại lượng:

• Số phép thử: n = 5
• Số lần trúng cần tính: k = 3
• Xác suất trúng mỗi lần: p = 0,8
• Xác suất trượt mỗi lần: q = 1 – 0,8 = 0,2

Áp dụng công thức Bernoulli:

\[ P_5(3) = C_5^3 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^{5-3} \]

Tính tổ hợp:

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Thay vào:

\[ P_5(3) = 10 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^2 \]

\[ P_5(3) = 10 \cdot 0,512 \cdot 0,04 = 0,2048 \]

Đáp số: Xác suất bắn trúng đúng 3 phát là 0,2048 (hay 20,48%)

Bài tập 2: Tính xác suất ít nhất

Đề bài: Gieo một con xúc xắc cân đối 4 lần. Tính xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần.

Lời giải:

Xác định các đại lượng:

• Số phép thử: n = 4
• Xác suất mặt 6 chấm xuất hiện: \( p = \frac{1}{6} \)
• Xác suất mặt 6 chấm không xuất hiện: \( q = \frac{5}{6} \)

Tính xác suất ít nhất 1 lần bằng biến cố đối:

\[ P(k \geq 1) = 1 – P_4(0) \]

Tính xác suất không xuất hiện lần nào:

\[ P_4(0) = C_4^0 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{625}{1296} = \frac{625}{1296} \]

Vậy:

\[ P(k \geq 1) = 1 – \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0,5177 \]

Đáp số: Xác suất mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần là \( \frac{671}{1296} \approx 0,5177 \)

Bài tập 3: Tính xác suất nhiều nhất

Đề bài: Xác suất một sản phẩm bị lỗi là 0,1. Kiểm tra ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất có nhiều nhất 1 sản phẩm lỗi.

Lời giải:

Xác định các đại lượng:

• Số phép thử: n = 3
• Xác suất sản phẩm lỗi: p = 0,1
• Xác suất sản phẩm không lỗi: q = 0,9

Xác suất có nhiều nhất 1 sản phẩm lỗi:

\[ P(k \leq 1) = P_3(0) + P_3(1) \]

Tính \( P_3(0) \):

\[ P_3(0) = C_3^0 \cdot (0,1)^0 \cdot (0,9)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,729 = 0,729 \]

Tính \( P_3(1) \):

\[ P_3(1) = C_3^1 \cdot (0,1)^1 \cdot (0,9)^2 = 3 \cdot 0,1 \cdot 0,81 = 0,243 \]

Vậy:

\[ P(k \leq 1) = 0,729 + 0,243 = 0,972 \]

Đáp số: Xác suất có nhiều nhất 1 sản phẩm lỗi là 0,972

Bài tập 4: Bài toán tìm số phép thử n

Đề bài: Một máy bay ném bom vào mục tiêu, xác suất trúng mỗi lần là 0,5. Hỏi cần ném ít nhất bao nhiêu quả bom để xác suất trúng mục tiêu ít nhất 1 lần không nhỏ hơn 0,95?

Lời giải:

Gọi n là số quả bom cần ném.

Xác suất trúng ít nhất 1 lần:

\[ P(k \geq 1) = 1 – P_n(0) = 1 – (0,5)^n \geq 0,95 \]

Giải bất phương trình:

\[ 1 – (0,5)^n \geq 0,95 \]

\[ (0,5)^n \leq 0,05 \]

Lấy logarit hai vế:

\[ n \cdot \ln(0,5) \leq \ln(0,05) \]

\[ n \geq \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,5)} = \frac{-2,996}{-0,693} \approx 4,32 \]

Vì n là số nguyên dương nên n ≥ 5.

Đáp số: Cần ném ít nhất 5 quả bom

Bài tập 5: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Một học sinh làm bài trắc nghiệm gồm 10 câu, mỗi câu có 4 phương án và chỉ có 1 phương án đúng. Học sinh đó chọn ngẫu nhiên đáp án cho mỗi câu. Tính xác suất để học sinh đó trả lời đúng từ 7 câu trở lên.

Lời giải:

Xác định các đại lượng:

• Số phép thử: n = 10
• Xác suất đúng mỗi câu: \( p = \frac{1}{4} = 0,25 \)
• Xác suất sai mỗi câu: \( q = \frac{3}{4} = 0,75 \)

Xác suất đúng từ 7 câu trở lên:

\[ P(k \geq 7) = P_{10}(7) + P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10) \]

Tính từng giá trị:

\[ P_{10}(7) = C_{10}^7 \cdot (0,25)^7 \cdot (0,75)^3 = 120 \cdot \frac{1}{16384} \cdot \frac{27}{64} \approx 0,0031 \]

\[ P_{10}(8) = C_{10}^8 \cdot (0,25)^8 \cdot (0,75)^2 = 45 \cdot \frac{1}{65536} \cdot \frac{9}{16} \approx 0,000386 \]

\[ P_{10}(9) = C_{10}^9 \cdot (0,25)^9 \cdot (0,75)^1 = 10 \cdot \frac{1}{262144} \cdot 0,75 \approx 0,0000286 \]

\[ P_{10}(10) = C_{10}^{10} \cdot (0,25)^{10} \cdot (0,75)^0 = 1 \cdot \frac{1}{1048576} \approx 0,00000095 \]

Tổng:

\[ P(k \geq 7) \approx 0,0031 + 0,000386 + 0,0000286 + 0,00000095 \approx 0,00352 \]

Đáp số: Xác suất trả lời đúng từ 7 câu trở lên là khoảng 0,35%

Kết luận

Công thức Bernoulli là công cụ mạnh mẽ trong xác suất, giúp giải quyết các bài toán về phép thử độc lập lặp lại. Để vận dụng thành thạo công thức Bernoulli, các bạn cần nắm vững điều kiện áp dụng, phân biệt các dạng bài tập và luyện tập thường xuyên. Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn về công thức quan trọng này trong chương trình Toán THPT.