Điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số: Định nghĩa và cách tìm

Điểm cực đại và điểm cực tiểu là những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 12 về khảo sát hàm số. Nhiều học sinh thắc mắc “điểm cực đại là x hay y?” hay “cực đại là gì?”. Bài viết này giải đáp chi tiết các câu hỏi trên, cung cấp định nghĩa, công thức tìm điểm cực đại của hàm số, điểm cực tiểu của hàm số kèm ví dụ minh họa dễ hiểu.

1. Cực đại là gì? Cực tiểu là gì?

Trước tiên, cần hiểu rõ định nghĩa cực đại và cực tiểu:

1.1. Định nghĩa cực đại

Cực đại là gì? Hàm số \( y = f(x) \) đạt cực đại tại \( x = x_0 \) nếu tồn tại một khoảng \( (a; b) \) chứa \( x_0 \) sao cho:

\[ f(x) < f(x_0) \quad \forall x \in (a; b), x \neq x_0 \]

Giải thích: Tại điểm cực đại, giá trị hàm số lớn hơn tất cả các giá trị lân cận.

1.2. Định nghĩa cực tiểu

Cực tiểu là gì? Hàm số \( y = f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = x_0 \) nếu tồn tại một khoảng \( (a; b) \) chứa \( x_0 \) sao cho:

\[ f(x) > f(x_0) \quad \forall x \in (a; b), x \neq x_0 \]

Giải thích: Tại điểm cực tiểu, giá trị hàm số nhỏ hơn tất cả các giá trị lân cận.

1.3. Điểm cực trị và giá trị cực trị

Cần phân biệt rõ hai khái niệm:

2. Điểm cực đại là x hay y?

Đây là thắc mắc phổ biến của nhiều học sinh. Câu trả lời phụ thuộc vào cách hỏi:

2.1. Giải đáp chi tiết

Quy ước thông dụng:

• Điểm cực đại là x → chỉ hoành độ \( x_0 \)
• Giá trị cực đại là y → chỉ tung độ \( y_0 = f(x_0) \)

2.2. Điểm cực tiểu là x hay y?

Tương tự như trên:

• Điểm cực tiểu: thường chỉ giá trị \( x_0 \)
• Giá trị cực tiểu: chỉ giá trị \( y_0 = f(x_0) \)

Lưu ý quan trọng: Trong đề thi, cần đọc kỹ câu hỏi để xác định đề yêu cầu tìm x, y hay cả hai.

3. Điều kiện để hàm số đạt cực trị

Để tìm điểm cực đại của hàm số và điểm cực tiểu của hàm số, cần nắm các điều kiện sau:

3.1. Điều kiện cần

Định lý: Nếu hàm số \( f(x) \) đạt cực trị tại \( x_0 \) và có đạo hàm tại \( x_0 \), thì:

\[ f'(x_0) = 0 \]

Lưu ý: Điều ngược lại không đúng. Tức là \( f'(x_0) = 0 \) không đảm bảo \( x_0 \) là điểm cực trị.

3.2. Điều kiện đủ – Quy tắc 1 (Dựa vào sự đổi dấu của f’)

Giả sử hàm số \( f(x) \) liên tục trên khoảng \( (a; b) \) chứa \( x_0 \) và có đạo hàm trên \( (a; b) \) (trừ có thể tại \( x_0 \)).

3.3. Điều kiện đủ – Quy tắc 2 (Dựa vào đạo hàm cấp hai)

Giả sử \( f'(x_0) = 0 \) và \( f”(x_0) \neq 0 \).

Mẹo nhớ:

• \( f”(x_0) < 0 \) → đồ thị “lõm xuống” → cực đại (đỉnh núi)
• \( f”(x_0) > 0 \) → đồ thị “lõm lên” → cực tiểu (đáy thung lũng)

4. Cách tìm điểm cực đại của hàm số

Dưới đây là các bước tìm điểm cực đại của hàm số:

4.1. Phương pháp 1: Sử dụng quy tắc 1 (bảng biến thiên)

1. Bước 1: Tính đạo hàm \( f'(x) \)
2. Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \), tìm các nghiệm \( x_1, x_2, … \)
3. Bước 3: Lập bảng xét dấu \( f'(x) \)
4. Bước 4: Kết luận:
   • Nếu \( f'(x) \) đổi dấu từ + sang – tại \( x_0 \) → \( x_0 \) là điểm cực đại
   • Nếu \( f'(x) \) đổi dấu từ – sang + tại \( x_0 \) → \( x_0 \) là điểm cực tiểu
5. Bước 5: Tính giá trị cực trị \( y_0 = f(x_0) \) (nếu cần)

4.2. Phương pháp 2: Sử dụng quy tắc 2 (đạo hàm cấp hai)

1. Bước 1: Tính \( f'(x) \) và \( f”(x) \)
2. Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \), tìm các nghiệm \( x_1, x_2, … \)
3. Bước 3: Tính \( f”(x_i) \) tại mỗi nghiệm
4. Bước 4: Kết luận:
   • Nếu \( f”(x_i) < 0 \) → \( x_i \) là điểm cực đại
   • Nếu \( f”(x_i) > 0 \) → \( x_i \) là điểm cực tiểu

4.3. Bảng so sánh hai phương pháp

5. Điểm cực đại, cực tiểu của các hàm số thường gặp

Dưới đây là tổng hợp điểm cực đại và điểm cực tiểu của các hàm số phổ biến:

5.1. Hàm số bậc ba \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

Điều kiện có cực trị: \( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, tức \( b^2 – 3ac > 0 \)

5.2. Hàm số bậc bốn trùng phương \( y = ax^4 + bx^2 + c \)

Điều kiện có ba cực trị: \( ab < 0 \)

6. Nhận biết điểm cực đại, cực tiểu trên đồ thị

Cách nhận biết điểm cực đại và điểm cực tiểu trên đồ thị:

Mẹo nhớ:

• Cực ĐẠI = Đỉnh cao = “Đi lên ĐẠt đỉnh rồi đi xuống”
• Cực TIỂU = Điểm thấp = “Đi xuống TỚI đáy rồi đi lên”

7. Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các bài tập tìm điểm cực đại của hàm số và điểm cực tiểu của hàm số:

Bài tập 1: Hàm bậc ba – Quy tắc 1

Đề bài: Tìm điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số \( y = x^3 – 3x^2 + 4 \)

Lời giải:

Bước 1: Tính đạo hàm:

\[ y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2) \]

Bước 2: Giải \( y’ = 0 \):

\[ 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \]

Bước 3: Lập bảng xét dấu:

Bước 4: Kết luận:

• Tại \( x = 0 \): \( y’ \) đổi dấu từ + sang − → điểm cực đại là \( x = 0 \)
• Tại \( x = 2 \): \( y’ \) đổi dấu từ − sang + → điểm cực tiểu là \( x = 2 \)

Bước 5: Tính giá trị cực trị:

• Giá trị cực đại: \( y_{CĐ} = f(0) = 4 \)
• Giá trị cực tiểu: \( y_{CT} = f(2) = 8 – 12 + 4 = 0 \)

Kết luận:

• Điểm cực đại: \( x = 0 \), giá trị cực đại: \( y = 4 \)
• Điểm cực tiểu: \( x = 2 \), giá trị cực tiểu: \( y = 0 \)

Bài tập 2: Hàm bậc ba – Quy tắc 2

Đề bài: Dùng đạo hàm cấp hai, tìm cực trị của hàm số \( y = x^3 – 6x^2 + 9x + 1 \)

Lời giải:

Bước 1: Tính đạo hàm:

\[ y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x – 1)(x – 3) \]
\[ y” = 6x – 12 \]

Bước 2: Giải \( y’ = 0 \):

\[ x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \]

Bước 3: Xét dấu \( y” \) tại các nghiệm:

• \( y”(1) = 6(1) – 12 = -6 < 0 \) → \( x = 1 \) là điểm cực đại
• \( y”(3) = 6(3) – 12 = 6 > 0 \) → \( x = 3 \) là điểm cực tiểu

Bước 4: Tính giá trị cực trị:

• \( y_{CĐ} = f(1) = 1 – 6 + 9 + 1 = 5 \)
• \( y_{CT} = f(3) = 27 – 54 + 27 + 1 = 1 \)

Kết luận: Hàm số đạt cực đại bằng 5 tại \( x = 1 \), đạt cực tiểu bằng 1 tại \( x = 3 \).

Bài tập 3: Hàm bậc bốn

Đề bài: Tìm điểm cực đại của hàm số \( y = x^4 – 2x^2 + 3 \)

Lời giải:

Bước 1: Tính đạo hàm:

\[ y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 4x(x – 1)(x + 1) \]

Bước 2: Giải \( y’ = 0 \):

\[ x = -1, \quad x = 0, \quad x = 1 \]

Bước 3: Tính \( y” = 12x^2 – 4 \):

• \( y”(-1) = 12 – 4 = 8 > 0 \) → \( x = -1 \) là điểm cực tiểu
• \( y”(0) = -4 < 0 \) → \( x = 0 \) là điểm cực đại
• \( y”(1) = 12 – 4 = 8 > 0 \) → \( x = 1 \) là điểm cực tiểu

Bước 4: Tính giá trị:

• \( y_{CĐ} = f(0) = 3 \)
• \( y_{CT} = f(\pm 1) = 1 – 2 + 3 = 2 \)

Kết luận:

• Điểm cực đại: \( x = 0 \), giá trị cực đại: \( y = 3 \)
• Điểm cực tiểu: \( x = \pm 1 \), giá trị cực tiểu: \( y = 2 \)

Bài tập 4: Trắc nghiệm – Điểm cực đại là x hay y?

Đề bài: Hàm số \( y = -x^3 + 3x + 2 \) đạt cực đại tại điểm nào?

1. \( x = -1 \)
2. \( x = 1 \)
3. \( y = 0 \)
4. \( y = 4 \)

Lời giải:

\( y’ = -3x^2 + 3 = -3(x^2 – 1) = -3(x – 1)(x + 1) \)

Giải \( y’ = 0 \): \( x = \pm 1 \)

Vì \( a = -1 < 0 \), hàm bậc 3 có:

• Điểm cực tiểu ở nghiệm nhỏ: \( x = -1 \)
• Điểm cực đại ở nghiệm lớn: \( x = 1 \)

Đáp án: B. \( x = 1 \)

(Lưu ý: Đề hỏi “điểm cực đại” nên đáp án là x, không phải y)

Bài tập 5: Tìm giá trị cực đại

Đề bài: Tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 – 3x^2 – 9x + 5 \)

Lời giải:

\( y’ = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x^2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1) \)

Giải \( y’ = 0 \): \( x = -1 \) hoặc \( x = 3 \)

Vì \( a = 1 > 0 \):

• Điểm cực đại: \( x = -1 \) (nghiệm nhỏ)
• Điểm cực tiểu: \( x = 3 \) (nghiệm lớn)

Giá trị cực đại:

\[ y_{CĐ} = f(-1) = (-1)^3 – 3(-1)^2 – 9(-1) + 5 = -1 – 3 + 9 + 5 = 10 \]

Kết luận: Giá trị cực đại là \( y = 10 \)

8. Một số lưu ý quan trọng

Khi tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu, cần lưu ý:

9. Kết luận

Điểm cực đại và điểm cực tiểu là kiến thức quan trọng trong khảo sát hàm số. Để nắm vững chủ đề này, học sinh cần:

• Hiểu rõ định nghĩa cực đại là gì, cực tiểu là gì
• Phân biệt điểm cực đại là x hay y: điểm cực trị là x, giá trị cực trị là y
• Nắm vững hai quy tắc tìm cực trị: dựa vào bảng xét dấu hoặc đạo hàm cấp hai
• Luyện tập tìm điểm cực đại của hàm số và điểm cực tiểu của hàm số với nhiều dạng bài

Hy vọng bài viết này giúp bạn hiểu rõ điểm cực đại, điểm cực tiểu và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan!