Diện tích tam giác vecto: Công thức và bài tập có lời giải

Diện tích tam giác vecto là phương pháp tính diện tích tam giác sử dụng tích có hướng của hai vecto. Đây là công thức quan trọng giúp bạn dễ dàng tính diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 điểm hoặc tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh. Bài viết này sẽ trình bày đầy đủ lý thuyết, công thức và bài tập minh họa chi tiết.

1. Diện tích tam giác là gì?

DT tam giác là số đo phần mặt phẳng được giới hạn bởi ba cạnh của tam giác. Có nhiều cách tính diện tích tam giác, trong đó phương pháp sử dụng vecto và tọa độ là cách hiệu quả nhất khi làm việc với hình học giải tích.

Các công thức tính diện tích tam giác phổ biến bao gồm:

• Công thức cơ bản: \( S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} \)
• Công thức theo vecto (tích có hướng)
• Công thức Heron (khi biết 3 cạnh)
• Công thức theo tọa độ 3 đỉnh

2. Công thức tính diện tích tam giác theo vecto

Đây là công thức cốt lõi để tính diện tích tam giác theo vecto. Cho tam giác ABC với các vecto \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\), diện tích được tính như sau:

Trong đó:

• \(\vec{AB} = (x_1, y_1)\) và \(\vec{AC} = (x_2, y_2)\) là hai vecto cạnh của tam giác
• \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) là tích có hướng (cross product) của hai vecto

Công thức tích có hướng trong không gian

Nếu \(\vec{AB} = (a_1, a_2, a_3)\) và \(\vec{AC} = (b_1, b_2, b_3)\), thì:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \]

Khai triển:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = (a_2 b_3 – a_3 b_2, a_3 b_1 – a_1 b_3, a_1 b_2 – a_2 b_1) \]

Độ lớn tích có hướng:

\[ \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| = \sqrt{(a_2 b_3 – a_3 b_2)^2 + (a_3 b_1 – a_1 b_3)^2 + (a_1 b_2 – a_2 b_1)^2} \]

3. Công thức tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh (Heron)

Khi biết độ dài 3 cạnh a, b, c của tam giác, ta sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh:

Công thức này đặc biệt hữu ích khi bạn chỉ biết độ dài các cạnh mà không biết chiều cao hay góc của tam giác.

Liên hệ với vecto

Khi biết tọa độ 3 điểm A, B, C, ta tính được độ dài các cạnh:

• \( a = BC = \left| \vec{BC} \right| \)
• \( b = CA = \left| \vec{CA} \right| \)
• \( c = AB = \left| \vec{AB} \right| \)

Sau đó áp dụng công thức Heron để tính diện tích.

4. Diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 điểm

Cho tam giác ABC với A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃). Công thức tính diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 điểm trong mặt phẳng Oxy là:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| (x_2 – x_1)(y_3 – y_1) – (x_3 – x_1)(y_2 – y_1) \right| \]

Hoặc viết dưới dạng định thức:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_2 – x_1 & y_2 – y_1 \\ x_3 – x_1 & y_3 – y_1 \end{vmatrix} \right| \]

Công thức mở rộng theo tọa độ trực tiếp

Ta cũng có thể viết công thức theo tọa độ các đỉnh:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) \right| \]

Công thức này rất tiện lợi khi cho tọa độ 3 điểm tính diện tích tam giác.

5. Cách tính diện tích tam giác bằng tọa độ – Hướng dẫn chi tiết

Dưới đây là các bước chi tiết để tính diện tích tam giác bằng tọa độ:

Phương pháp 1: Sử dụng vecto

1. Bước 1: Xác định tọa độ 3 đỉnh A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)
2. Bước 2: Tính vecto \(\vec{AB} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1)\)
3. Bước 3: Tính vecto \(\vec{AC} = (x_3 – x_1, y_3 – y_1)\)
4. Bước 4: Áp dụng công thức \( S = \frac{1}{2} \left| x_{AB} \cdot y_{AC} – y_{AB} \cdot x_{AC} \right| \)

Phương pháp 2: Sử dụng công thức Heron

1. Bước 1: Tính độ dài cạnh AB: \( c = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
2. Bước 2: Tính độ dài cạnh BC: \( a = \sqrt{(x_3-x_2)^2 + (y_3-y_2)^2} \)
3. Bước 3: Tính độ dài cạnh CA: \( b = \sqrt{(x_1-x_3)^2 + (y_1-y_3)^2} \)
4. Bước 4: Tính nửa chu vi \( p = \frac{a+b+c}{2} \)
5. Bước 5: Áp dụng công thức Heron \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

6. Bảng tổng hợp các công thức tính diện tích tam giác

7. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính diện tích tam giác theo vecto

Đề bài: Cho tam giác ABC với A(1, 2), B(4, 6), C(5, 2). Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Ta có:

• \(\vec{AB} = (4-1, 6-2) = (3, 4)\)
• \(\vec{AC} = (5-1, 2-2) = (4, 0)\)

Áp dụng công thức diện tích tam giác theo vecto:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |x_{AB} \cdot y_{AC} – y_{AB} \cdot x_{AC}| \]

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |3 \cdot 0 – 4 \cdot 4| = \frac{1}{2} |0 – 16| = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \]

Vậy diện tích tam giác ABC = 8 (đvdt)

Bài tập 2: Tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh

Đề bài: Tam giác ABC có các cạnh a = 5, b = 6, c = 7. Tính diện tích tam giác.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh (Heron):

Tính nửa chu vi:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \]

Tính diện tích:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

\[ S = \sqrt{9 \cdot (9-5) \cdot (9-6) \cdot (9-7)} \]

\[ S = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \]

Vậy diện tích tam giác ABC = \(6\sqrt{6}\) (đvdt)

Bài tập 3: Cho tọa độ 3 điểm tính diện tích tam giác

Đề bài: Cho tam giác ABC với A(0, 0), B(6, 0), C(3, 4). Tính diện tích tam giác ABC bằng hai phương pháp.

Lời giải:

Phương pháp 1: Tính diện tích tam giác bằng tọa độ (vecto)

\(\vec{AB} = (6, 0)\), \(\vec{AC} = (3, 4)\)

\[ S = \frac{1}{2} |6 \cdot 4 – 0 \cdot 3| = \frac{1}{2} |24| = 12 \]

Phương pháp 2: Công thức Heron

Tính độ dài các cạnh:

• \( AB = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = 6 \)
• \( BC = \sqrt{(3-6)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \)
• \( CA = \sqrt{(0-3)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \)

Nửa chu vi: \( p = \frac{6+5+5}{2} = 8 \)

\[ S = \sqrt{8 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12 \]

Vậy diện tích tam giác ABC = 12 (đvdt)

Bài tập 4: Bài toán nâng cao

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1, 0, 2), B(3, 1, 1), C(2, 3, 0). Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Tính các vecto:

• \(\vec{AB} = (3-1, 1-0, 1-2) = (2, 1, -1)\)
• \(\vec{AC} = (2-1, 3-0, 0-2) = (1, 3, -2)\)

Tính tích có hướng \(\vec{AB} \times \vec{AC}\):

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} \]

Khai triển:

• Thành phần \(\vec{i}\): \(1 \cdot (-2) – (-1) \cdot 3 = -2 + 3 = 1\)
• Thành phần \(\vec{j}\): \(-(2 \cdot (-2) – (-1) \cdot 1) = -(-4 + 1) = 3\)
• Thành phần \(\vec{k}\): \(2 \cdot 3 – 1 \cdot 1 = 6 – 1 = 5\)

\(\vec{AB} \times \vec{AC} = (1, 3, 5)\)

Độ lớn:

\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35} \]

Diện tích:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{35}}{2} \]

Vậy diện tích tam giác ABC = \(\frac{\sqrt{35}}{2}\) (đvdt)

Bài tập 5: Bài tập tự luyện

Hãy tính diện tích các tam giác sau:

1. Tam giác ABC với A(2, 3), B(5, 7), C(8, 1)
2. Tam giác có 3 cạnh: a = 13, b = 14, c = 15
3. Tam giác DEF với D(0, 1), E(4, 5), F(6, -1)

Đáp số:

1. S = 15 (đvdt)
2. S = 84 (đvdt)
3. S = 20 (đvdt)

8. Kết luận

Diện tích tam giác vecto là công cụ mạnh mẽ trong hình học giải tích, cho phép tính toán nhanh chóng và chính xác. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:

• Công thức tính diện tích tam giác theo vecto sử dụng tích có hướng
• Công thức tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh (Heron)
• Cách tính diện tích tam giác khi biết tọa độ 3 điểm
• Phương pháp tính diện tích tam giác bằng tọa độ chi tiết từng bước

Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập để thành thạo các công thức trên. Chúc bạn học tốt!