Tính giai thừa: Công thức, cách tính n giai thừa và bài tập chi tiết

Tính giai thừa là một trong những phép toán cơ bản và quan trọng trong Toán học, đặc biệt trong lĩnh vực Tổ hợp, Xác suất và Giải tích. Giai thừa của số nguyên dương n, ký hiệu n!, là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến n, với quy ước 0! = 1. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, công thức, tính chất và cách tính giai thừa hiệu quả.

1. Giai thừa là gì?

Trước khi tìm hiểu cách tính giai thừa, cần nắm vững khái niệm:

1.1. Định nghĩa

Giai thừa (factorial) của một số nguyên không âm n, ký hiệu là n!, được định nghĩa:

\[ n! = 1 \times 2 \times 3 \times … \times (n-1) \times n = \prod_{k=1}^{n} k \]

Quy ước đặc biệt: \( 0! = 1 \)

1.2. Ký hiệu và cách đọc

Ký hiệu	Cách đọc	Ví dụ
n!	“n giai thừa”	5! đọc là “5 giai thừa”
n!	“giai thừa của n”	5! đọc là “giai thừa của 5”
n!	“n factorial” (tiếng Anh)	5! = “five factorial”

1.3. Ví dụ cơ bản

• \( 1! = 1 \)
• \( 2! = 1 \times 2 = 2 \)
• \( 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6 \)
• \( 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 \)
• \( 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120 \)

1.4. Lịch sử

Ký hiệu n! được nhà toán học người Pháp Christian Kramp đề xuất vào năm 1808. Trước đó, các nhà toán học sử dụng nhiều ký hiệu khác nhau.

2. Công thức tính giai thừa

Các công thức tính giai thừa cơ bản:

2.1. Công thức định nghĩa

\[ n! = 1 \times 2 \times 3 \times … \times n = \prod_{k=1}^{n} k \]

2.2. Công thức truy hồi

\[ n! = n \times (n-1)! \quad \text{với } n \geq 1 \]

Ví dụ:

• \( 5! = 5 \times 4! = 5 \times 24 = 120 \)
• \( 6! = 6 \times 5! = 6 \times 120 = 720 \)
• \( 10! = 10 \times 9! \)

2.3. Công thức tính ngược

\[ (n-1)! = \frac{n!}{n} \]

Ví dụ:

• \( 4! = \frac{5!}{5} = \frac{120}{5} = 24 \)
• \( 9! = \frac{10!}{10} = \frac{3628800}{10} = 362880 \)

2.4. Công thức tính tỉ số giai thừa

\[ \frac{n!}{k!} = (k+1)(k+2)…(n) \quad \text{với } n > k \]

Ví dụ:

\[ \frac{10!}{7!} = 8 \times 9 \times 10 = 720 \]

2.5. Bảng công thức tổng hợp

Công thức	Mô tả
\( n! = n \times (n-1)! \)	Công thức truy hồi
\( 0! = 1 \)	Quy ước
\( 1! = 1 \)	Giá trị cơ sở
\( \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)…(n-k+1) \)	Tích k số liên tiếp giảm dần
\( n! = \prod_{k=1}^{n} k \)	Dạng tích

3. Bảng giá trị giai thừa từ 0! đến 20!

Bảng giá trị giúp tính giai thừa nhanh chóng:

3.1. Bảng giá trị cần nhớ (0! đến 10!)

n	n!	Cách tính
0	1	Quy ước
1	1	1
2	2	1 × 2
3	6	2 × 3
4	24	6 × 4
5	120	24 × 5
6	720	120 × 6
7	5 040	720 × 7
8	40 320	5040 × 8
9	362 880	40320 × 9
10	3 628 800	362880 × 10

3.2. Bảng giá trị mở rộng (11! đến 20!)

n	n!
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000

3.3. Nhận xét về tốc độ tăng

Giai thừa tăng cực kỳ nhanh:

• 10! ≈ 3,6 triệu
• 15! ≈ 1,3 nghìn tỷ
• 20! ≈ 2,4 × 10¹⁸ (tỷ tỷ)
• 100! có 158 chữ số
• 1000! có 2568 chữ số

4. Tính chất của giai thừa

Các tính chất quan trọng khi tính giai thừa:

4.1. Tính chất cơ bản

Tính chất	Công thức	Ví dụ
Quy ước 0!	\( 0! = 1 \)	Theo định nghĩa
Truy hồi	\( n! = n \cdot (n-1)! \)	\( 5! = 5 \times 4! \)
Chia hết	\( n! \) chia hết cho mọi số từ 1 đến n	\( 6! \vdots 1, 2, 3, 4, 5, 6 \)
Tích liên tiếp	\( \frac{n!}{k!} = (k+1)(k+2)…n \)	\( \frac{7!}{4!} = 5 \times 6 \times 7 \)

4.2. Tại sao 0! = 1?

Lý do 1: Từ công thức truy hồi

Ta có: \( n! = n \times (n-1)! \)

Với n = 1: \( 1! = 1 \times 0! \)

Suy ra: \( 0! = \frac{1!}{1} = 1 \)

Lý do 2: Từ tổ hợp

Số cách chọn 0 phần tử từ n phần tử: \( C_n^0 = \frac{n!}{0! \cdot n!} = 1 \)

Điều này chỉ đúng khi 0! = 1

Lý do 3: Từ tích rỗng

Tích của dãy rỗng (không có phần tử) được quy ước bằng 1 (phần tử đơn vị của phép nhân)

4.3. Số chữ số 0 tận cùng của n!

Số chữ số 0 tận cùng của n! bằng số lần n! chia hết cho 10, tức là số cặp (2, 5) trong phân tích thừa số nguyên tố.

Vì số thừa số 2 luôn nhiều hơn số thừa số 5, nên:

\[ \text{Số chữ số 0 tận cùng} = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + … \]

Ví dụ: Số chữ số 0 tận cùng của 100!

\[ = \left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor = 20 + 4 + 0 = 24 \]

4.4. Số mũ của số nguyên tố p trong n!

Công thức Legendre:

\[ e_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + … \]

5. Các công thức liên quan đến giai thừa

Các công thức quan trọng liên quan đến tính giai thừa:

5.1. Giai thừa kép (Double Factorial)

Định nghĩa:

\[ n!! = n \times (n-2) \times (n-4) \times … \]

Với n lẻ:

\[ n!! = 1 \times 3 \times 5 \times … \times n \]

Với n chẵn:

\[ n!! = 2 \times 4 \times 6 \times … \times n \]

Ví dụ:

• \( 7!! = 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 105 \)
• \( 8!! = 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 384 \)

5.2. Công thức với giai thừa chẵn/lẻ

\[ (2n)!! = 2^n \times n! \]

\[ (2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n \times n!} \]

5.3. Công thức Stirling (xấp xỉ)

Khi n lớn:

\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]

Hay chính xác hơn:

\[ n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + O\left(\frac{1}{n}\right)\right) \]

5.4. Công thức logarit

\[ \ln(n!) = \sum_{k=1}^{n} \ln k \approx n\ln n – n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) \]

\[ \log_{10}(n!) \approx n\log_{10}(n) – \frac{n}{\ln 10} + \frac{1}{2}\log_{10}(2\pi n) \]

5.5. Số chữ số của n!

Số chữ số của n! (trong hệ thập phân):

\[ d(n!) = \lfloor \log_{10}(n!) \rfloor + 1 \]

6. Giai thừa trong tổ hợp và chỉnh hợp

Tính giai thừa là nền tảng của các công thức tổ hợp:

6.1. Chỉnh hợp không lặp

Số cách sắp xếp k phần tử từ n phần tử (có thứ tự):

\[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)…(n-k+1) \]

Ví dụ: \( A_5^3 = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \)

6.2. Hoán vị

Số cách sắp xếp n phần tử (hoán vị của n phần tử):

\[ P_n = n! \]

Ví dụ: Số cách xếp 5 người vào hàng: \( P_5 = 5! = 120 \) cách

6.3. Tổ hợp

Số cách chọn k phần tử từ n phần tử (không kể thứ tự):

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Ví dụ: \( C_5^3 = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10 \)

6.4. Hoán vị lặp

Số hoán vị của n phần tử trong đó có n₁ phần tử loại 1, n₂ phần tử loại 2, …:

\[ P_n^{(n_1, n_2, …, n_k)} = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times … \times n_k!} \]

Ví dụ: Số cách sắp xếp các chữ cái trong “MISSISSIPPI”:

\[ \frac{11!}{1! \times 4! \times 4! \times 2!} = \frac{39916800}{1 \times 24 \times 24 \times 2} = 34650 \]

6.5. Bảng công thức tổ hợp

Loại	Ký hiệu	Công thức
Hoán vị	\( P_n \)	\( n! \)
Chỉnh hợp	\( A_n^k \)	\( \frac{n!}{(n-k)!} \)
Tổ hợp	\( C_n^k \)	\( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Hoán vị lặp	\( P_n^{(n_1,…,n_k)} \)	\( \frac{n!}{n_1!…n_k!} \)

7. Cách tính giai thừa nhanh

Các phương pháp tính giai thừa hiệu quả:

7.1. Phương pháp nhân dần

Cách làm: Nhân lần lượt từ 1 đến n

Ví dụ: Tính 6!

• 1 × 2 = 2
• 2 × 3 = 6
• 6 × 4 = 24
• 24 × 5 = 120
• 120 × 6 = 720

7.2. Phương pháp dùng công thức truy hồi

Cách làm: Dựa vào giá trị đã biết

Ví dụ: Biết 5! = 120, tính 7!

\[ 7! = 7 \times 6 \times 5! = 7 \times 6 \times 120 = 5040 \]

7.3. Phương pháp rút gọn phân số

Ví dụ: Tính \( \frac{10!}{7! \times 3!} \)

\[ \frac{10!}{7! \times 3!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7! \times 3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120 \]

7.4. Mẹo tính nhanh

Mẹo	Áp dụng
Nhớ giá trị nhỏ	Thuộc lòng 1! đến 10!
Rút gọn trước	Đơn giản biểu thức trước khi tính
Dùng truy hồi	n! = n × (n−1)!
Phân tích thừa số	Tìm thừa số chung để rút gọn

7.5. Tính giai thừa bằng máy tính

Máy tính Casio fx-580VN X:

1. Nhập số n
2. Nhấn OPTN → chọn n!
3. Nhấn = để có kết quả

Lưu ý: Máy tính cầm tay thường chỉ tính được đến khoảng 69! (do giới hạn hiển thị)

8. Giai thừa mở rộng (Hàm Gamma)

Mở rộng tính giai thừa cho số thực và số phức:

8.1. Hàm Gamma

Định nghĩa:

\[ \Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \quad (\text{Re}(z) > 0) \]

8.2. Mối quan hệ với giai thừa

\[ \Gamma(n+1) = n! \quad \text{với n là số nguyên không âm} \]

Hay: \( n! = \Gamma(n+1) \)

8.3. Tính chất hàm Gamma

Tính chất	Công thức
Truy hồi	\( \Gamma(z+1) = z \cdot \Gamma(z) \)
Giá trị đặc biệt	\( \Gamma(1) = 1 \)
Nửa nguyên	\( \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} \)
Công thức phản xạ	\( \Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \)

8.4. Giai thừa của số không nguyên

\[ \left(\frac{1}{2}\right)! = \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0.886 \]

\[ \left(-\frac{1}{2}\right)! = \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} \approx 1.772 \]

9. Ứng dụng của giai thừa

Tính giai thừa có nhiều ứng dụng quan trọng:

9.1. Trong Tổ hợp

• Đếm số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
• Bài toán sắp xếp, phân phối
• Nguyên lý đếm

9.2. Trong Xác suất

• Phân phối nhị thức: \( P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \)
• Phân phối Poisson: \( P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \)
• Phân phối siêu bội

9.3. Trong Giải tích

• Khai triển Taylor: \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)
• Khai triển Maclaurin
• Hàm Gamma, hàm Beta

9.4. Trong Tin học

• Phân tích độ phức tạp thuật toán
• Bài toán người du lịch (n! hoán vị)
• Thuật toán sinh hoán vị

9.5. Trong Vật lý

• Cơ học thống kê
• Cơ học lượng tử
• Entropy Boltzmann

9.6. Bảng ứng dụng

Lĩnh vực	Ứng dụng	Công thức
Tổ hợp	Số cách chọn k từ n	\( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Xác suất	Phân phối Poisson	\( \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \)
Giải tích	Chuỗi Taylor của eˣ	\( \sum \frac{x^n}{n!} \)
Vật lý	Số vi trạng thái	\( W = \frac{N!}{\prod n_i!} \)

10. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững cách tính giai thừa, hãy làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Tính giai thừa cơ bản

Đề bài: Tính 8!

Lời giải:

\[ 8! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \]

\[ = 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \]

\[ = 6 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \]

\[ = 24 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \]

\[ = 120 \times 6 \times 7 \times 8 \]

\[ = 720 \times 7 \times 8 \]

\[ = 5040 \times 8 = 40320 \]

Kết quả: 8! = 40 320

Bài tập 2: Dùng công thức truy hồi

Đề bài: Biết 6! = 720, tính 9!

Lời giải:

\[ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6! = 9 \times 8 \times 7 \times 720 \]

\[ = 72 \times 7 \times 720 = 504 \times 720 = 362880 \]

Kết quả: 9! = 362 880

Bài tập 3: Tính biểu thức chứa giai thừa

Đề bài: Tính \( \frac{10!}{8!} \)

Lời giải:

\[ \frac{10!}{8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8!} = 10 \times 9 = 90 \]

Kết quả: 90

Bài tập 4: Tính tổ hợp

Đề bài: Tính \( C_8^3 \)

Lời giải:

\[ C_8^3 = \frac{8!}{3! \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3! \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} \]

\[ = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 8 \times 7 = 56 \]

Kết quả: \( C_8^3 = 56 \)

Bài tập 5: Tính chỉnh hợp

Đề bài: Tính \( A_7^4 \)

Lời giải:

\[ A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} \]

\[ = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840 \]

Kết quả: \( A_7^4 = 840 \)

Bài tập 6: Rút gọn biểu thức

Đề bài: Rút gọn \( \frac{(n+2)!}{n!} \)

Lời giải:

\[ \frac{(n+2)!}{n!} = \frac{(n+2)(n+1) \times n!}{n!} = (n+2)(n+1) = n^2 + 3n + 2 \]

Kết quả: \( (n+2)(n+1) = n^2 + 3n + 2 \)

Bài tập 7: Giải phương trình

Đề bài: Giải phương trình \( \frac{n!}{(n-2)!} = 56 \)

Lời giải:

\[ \frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1) = 56 \]

\[ n^2 – n – 56 = 0 \]

\[ (n-8)(n+7) = 0 \]

n = 8 (nhận) hoặc n = −7 (loại vì n phải nguyên dương)

Kết quả: n = 8

Bài tập 8: Số chữ số 0 tận cùng

Đề bài: Tìm số chữ số 0 tận cùng của 50!

Lời giải:

\[ \left\lfloor \frac{50}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{125} \right\rfloor + … \]

\[ = 10 + 2 + 0 + … = 12 \]

Kết quả: 50! có 12 chữ số 0 tận cùng

Bài tập 9: Hoán vị có lặp

Đề bài: Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái trong từ “BANANA”?

Lời giải:

BANANA có 6 chữ cái: B (1), A (3), N (2)

\[ \text{Số cách} = \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!} = \frac{720}{1 \times 6 \times 2} = \frac{720}{12} = 60 \]

Kết quả: 60 cách

Bài tập 10: Chứng minh đẳng thức

Đề bài: Chứng minh \( C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} \)

Lời giải:

\[ C_n^k + C_n^{k+1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \]

\[ = \frac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!} + \frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!} \]

\[ = \frac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)!(n-k)!} = \frac{n!(n+1)}{(k+1)!(n-k)!} \]

\[ = \frac{(n+1)!}{(k+1)!((n+1)-(k+1))!} = C_{n+1}^{k+1} \]

(đpcm)

Bài tập 11: Tính tổng

Đề bài: Tính \( S = 1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + … + n \times n! \)

Lời giải:

Nhận xét: \( k \times k! = (k+1-1) \times k! = (k+1)! – k! \)

\[ S = (2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + … + ((n+1)! – n!) \]

\[ S = (n+1)! – 1! = (n+1)! – 1 \]

Kết quả: \( S = (n+1)! – 1 \)

Bài tập 12: Ứng dụng thực tế

Đề bài: Có 10 học sinh xếp thành một hàng. Có bao nhiêu cách xếp nếu hai bạn A và B phải đứng cạnh nhau?

Lời giải:

Coi A và B như một “khối”, có 9 vị trí để xếp 9 đơn vị (8 người + 1 khối).

Số cách xếp 9 đơn vị: 9!

Trong khối AB, A và B có thể đổi chỗ: 2! cách

\[ \text{Tổng số cách} = 9! \times 2! = 362880 \times 2 = 725760 \]

Kết quả: 725 760 cách

11. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ cách tính giai thừa cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

• Định nghĩa: \( n! = 1 \times 2 \times 3 \times … \times n \)
• Quy ước: 0! = 1
• Công thức truy hồi: n! = n × (n−1)!
• Hoán vị: \( P_n = n! \)
• Chỉnh hợp: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
• Tổ hợp: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• Số chữ số 0 tận cùng của n!: \( \sum \lfloor \frac{n}{5^i} \rfloor \)
• Xấp xỉ Stirling: \( n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \)
• Hàm Gamma: \( \Gamma(n+1) = n! \)
• Giá trị cần nhớ: 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, 10! = 3 628 800

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững cách tính giai thừa và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!