Đạo hàm arctan: Công thức, chứng minh và ví dụ chi tiết

Đạo hàm arctan là một trong những công thức đạo hàm quan trọng của hàm lượng giác ngược, được sử dụng phổ biến trong giải tích và các bài toán tích phân. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức đạo hàm arctan, cách chứng minh, phương pháp áp dụng cùng các ví dụ và bài tập minh họa dễ hiểu.

Hàm arctan là gì?

Trước khi tìm hiểu về đạo hàm của arctan, chúng ta cần nắm vững khái niệm và tính chất của hàm arctan.

Định nghĩa hàm arctan

Hàm arctan (hay arctangent, ký hiệu \( \arctan x \) hoặc \( \tan^{-1}x \)) là hàm ngược của hàm tang. Nói cách khác:

\[ y = \arctan x \Leftrightarrow x = \tan y \]

Với điều kiện \( y \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \)

Miền xác định và miền giá trị

Các tính chất cơ bản của hàm \( y = \arctan x \):

Một số giá trị đặc biệt

• \( \arctan 0 = 0 \)
• \( \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \)
• \( \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \)
• \( \lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2} \)
• \( \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2} \)

Công thức đạo hàm arctan

Phần này trình bày chi tiết công thức đạo hàm arctan cho các dạng khác nhau.

Công thức đạo hàm arctan x

Đạo hàm arctan x được xác định bởi công thức:

\[ (\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2} \]

Đây là công thức cơ bản cần ghi nhớ khi tính đạo hàm của arctan.

Công thức đạo hàm arctan u (dạng hàm hợp)

Khi \( u = u(x) \) là một hàm số theo \( x \), ta áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp:

Đạo hàm arctan u:

\[ (\arctan u)’ = \frac{u’}{1 + u^2} \]

Trong đó:

• \( u = u(x) \): hàm số theo biến \( x \)
• \( u’ = \frac{du}{dx} \): đạo hàm của \( u \) theo \( x \)

Bảng tóm tắt công thức

Dưới đây là bảng tổng hợp công thức đạo hàm arctan:

Chứng minh công thức đạo hàm arctan

Có nhiều cách để chứng minh công thức đạo hàm arctan. Dưới đây là hai phương pháp phổ biến nhất.

Phương pháp 1: Dùng đạo hàm hàm ngược

Đặt \( y = \arctan x \), suy ra \( x = \tan y \).

Áp dụng công thức đạo hàm hàm ngược:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} \]

Ta có:

\[ \frac{dx}{dy} = (\tan y)’ = \frac{1}{\cos^2 y} = 1 + \tan^2 y \]

Do \( \tan y = x \), nên:

\[ \frac{dx}{dy} = 1 + x^2 \]

Vậy:

\[ (\arctan x)’ = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} \]

Phương pháp 2: Dùng vi phân ẩn

Từ \( y = \arctan x \), ta có \( \tan y = x \).

Lấy đạo hàm hai vế theo \( x \):

\[ \frac{1}{\cos^2 y} \cdot y’ = 1 \]

Suy ra:

\[ y’ = \cos^2 y \]

Sử dụng đẳng thức \( \cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2} \):

\[ (\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2} \]

Kết luận: Cả hai phương pháp đều cho kết quả: \( (\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2} \)

Cách tính đạo hàm arctan chi tiết

Để tính đạo hàm arctan chính xác, hãy thực hiện theo các bước sau:

Các bước thực hiện

1. Bước 1: Xác định dạng hàm số (arctan x hay arctan u)
2. Bước 2: Nếu là dạng hàm hợp, xác định \( u \) và tính \( u’ \)
3. Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm arctan phù hợp
4. Bước 4: Rút gọn kết quả (nếu cần)

Lưu ý quan trọng

• Đạo hàm arctan x luôn dương vì \( 1 + x^2 > 0 \) với mọi \( x \)
• Khi tính đạo hàm arctan u, không được quên nhân với \( u’ \)
• Kết quả \( \frac{1}{1 + x^2} \) tiến về 0 khi \( x \to \pm\infty \)
• Giá trị lớn nhất của đạo hàm là 1, đạt được tại \( x = 0 \)

Ví dụ minh họa đạo hàm arctan

Dưới đây là các ví dụ chi tiết giúp bạn nắm vững cách tính đạo hàm của arctan.

Ví dụ 1: Dạng cơ bản

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \arctan x \)

Lời giải:

Áp dụng trực tiếp công thức đạo hàm arctan x:

\[ y’ = (\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2} \]

Kết quả: \( y’ = \frac{1}{1 + x^2} \)

Ví dụ 2: Đạo hàm arctan u – Dạng hàm hợp đơn giản

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \arctan(2x) \)

Lời giải:

Đặt \( u = 2x \), suy ra \( u’ = 2 \).

Áp dụng công thức đạo hàm arctan u:

\[ y’ = \frac{u’}{1 + u^2} = \frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2} \]

Kết quả: \( y’ = \frac{2}{1 + 4x^2} \)

Ví dụ 3: Dạng hàm hợp phức tạp hơn

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \arctan(x^2 + 1) \)

Lời giải:

Đặt \( u = x^2 + 1 \), suy ra \( u’ = 2x \).

Áp dụng đạo hàm arctanu:

\[ y’ = \frac{u’}{1 + u^2} = \frac{2x}{1 + (x^2 + 1)^2} \]

Khai triển mẫu số:

\[ 1 + (x^2 + 1)^2 = 1 + x^4 + 2x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 2 \]

Kết quả: \( y’ = \frac{2x}{x^4 + 2x^2 + 2} \)

Ví dụ 4: Kết hợp với các hàm khác

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = x \cdot \arctan x \)

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm tích: \( (uv)’ = u’v + uv’ \)

Với \( u = x \) và \( v = \arctan x \):

• \( u’ = 1 \)
• \( v’ = \frac{1}{1 + x^2} \)

Suy ra:

\[ y’ = 1 \cdot \arctan x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2} \]

Kết quả: \( y’ = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2} \)

Ví dụ 5: Đạo hàm arctan với hàm phân thức

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \)

Lời giải:

Đặt \( u = \frac{1}{x} = x^{-1} \), suy ra \( u’ = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \).

Áp dụng công thức đạo hàm arctan u:

\[ y’ = \frac{u’}{1 + u^2} = \frac{-\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2 + 1}{x^2}} = -\frac{1}{x^2} \cdot \frac{x^2}{x^2 + 1} = -\frac{1}{x^2 + 1} \]

Kết quả: \( y’ = -\frac{1}{x^2 + 1} \)

Ví dụ 6: Dạng lượng giác

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \arctan(\sin x) \)

Lời giải:

Đặt \( u = \sin x \), suy ra \( u’ = \cos x \).

Áp dụng arctan u đạo hàm:

\[ y’ = \frac{u’}{1 + u^2} = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x} \]

Kết quả: \( y’ = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x} \)

Bài tập tự luyện có đáp án

Hãy vận dụng công thức đạo hàm arctan để giải các bài tập sau:

Bài tập

Bài 1: Tính đạo hàm của \( y = \arctan(3x) \)

Bài 2: Tính đạo hàm của \( y = \arctan(x^3) \)

Bài 3: Tính đạo hàm của \( y = \arctan(\sqrt{x}) \)

Bài 4: Tính đạo hàm của \( y = \arctan(e^x) \)

Bài 5: Tính đạo hàm của \( y = \ln(\arctan x) \)

Đáp án chi tiết

Bài 1:

• Đặt \( u = 3x \), \( u’ = 3 \)
• \( y’ = \frac{3}{1 + 9x^2} \)

Bài 2:

• Đặt \( u = x^3 \), \( u’ = 3x^2 \)
• \( y’ = \frac{3x^2}{1 + x^6} \)

Bài 3:

• Đặt \( u = \sqrt{x} \), \( u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
• \( y’ = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1 + x} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)} \)

Bài 4:

• Đặt \( u = e^x \), \( u’ = e^x \)
• \( y’ = \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \)

Bài 5:

• Áp dụng đạo hàm hàm hợp: \( (\ln v)’ = \frac{v’}{v} \)
• Với \( v = \arctan x \), \( v’ = \frac{1}{1 + x^2} \)
• \( y’ = \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{\arctan x} = \frac{1}{(1 + x^2)\arctan x} \)

Kết luận

Đạo hàm arctan là một công thức quan trọng trong giải tích với công thức cốt lõi \( (\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2} \) và dạng hàm hợp \( (\arctan u)’ = \frac{u’}{1 + u^2} \). Công thức này không chỉ xuất hiện thường xuyên trong các bài toán đạo hàm mà còn đóng vai trò quan trọng trong tích phân, đặc biệt là các dạng tích phân chứa \( \frac{1}{1 + x^2} \). Hãy ghi nhớ công thức đạo hàm arctan và luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng tính toán.