Căn bậc 2 là gì? Công thức tính, căn 2 bằng mấy và ký hiệu

Căn bậc 2 (hay căn bậc hai) là một trong những khái niệm toán học cơ bản và quan trọng nhất, được học từ chương trình Toán lớp 9 và ứng dụng xuyên suốt đến bậc Đại học. Căn bậc 2 của một số a không âm là số x không âm sao cho x² = a, được ký hiệu là \( \sqrt{a} \). Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững định nghĩa, công thức, tính chất và các phương pháp biến đổi căn bậc 2.

1. Căn bậc 2 là gì?

Căn bậc 2 là phép toán ngược của phép bình phương, giúp tìm số mà khi bình phương lên sẽ cho kết quả ban đầu.

1.1. Định nghĩa căn bậc 2 số học

Định nghĩa: Căn bậc 2 số học của số a không âm (a ≥ 0) là số x không âm sao cho \( x^2 = a \).

Ký hiệu: \( x = \sqrt{a} \)

\[ \sqrt{a} = x \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ x^2 = a \end{cases} \]

1.2. Các thành phần của căn bậc 2

Thành phần	Tên gọi	Ví dụ với \( \sqrt{9} \)
\( \sqrt{} \)	Dấu căn (radical sign)	Dấu căn
a	Số dưới dấu căn (radicand)	9
\( \sqrt{a} \)	Căn bậc 2 số học của a	\( \sqrt{9} = 3 \)

1.3. Ví dụ cơ bản

Biểu thức	Giá trị	Giải thích
\( \sqrt{4} \)	2	Vì \( 2^2 = 4 \) và 2 ≥ 0
\( \sqrt{9} \)	3	Vì \( 3^2 = 9 \) và 3 ≥ 0
\( \sqrt{25} \)	5	Vì \( 5^2 = 25 \) và 5 ≥ 0
\( \sqrt{0} \)	0	Vì \( 0^2 = 0 \)
\( \sqrt{1} \)	1	Vì \( 1^2 = 1 \)
\( \sqrt{2} \)	≈ 1.414	Số vô tỉ

1.4. Căn bậc 2 và căn bậc 2 số học

Phân biệt:

• Căn bậc 2 số học của a (a ≥ 0): Là số \( \sqrt{a} \geq 0 \)
• Căn bậc 2 của a (a > 0): Gồm hai giá trị \( \pm\sqrt{a} \)

Ví dụ: Số 9 có:

• Căn bậc 2 số học: \( \sqrt{9} = 3 \)
• Hai căn bậc 2: 3 và -3 (vì \( 3^2 = 9 \) và \( (-3)^2 = 9 \))

2. Điều kiện tồn tại căn bậc 2

Căn bậc 2 chỉ tồn tại (có nghĩa) trong tập số thực khi thỏa mãn điều kiện sau:

2.1. Điều kiện xác định

Điều kiện: \( \sqrt{a} \) có nghĩa khi và chỉ khi:

\[ a \geq 0 \]

2.2. Các trường hợp

Giá trị a	\( \sqrt{a} \) có nghĩa?	Kết quả
a > 0	✓ Có	\( \sqrt{a} > 0 \)
a = 0	✓ Có	\( \sqrt{0} = 0 \)
a < 0	✗ Không	Không xác định trong ℝ

2.3. Ví dụ về điều kiện xác định

Ví dụ 1: Tìm điều kiện để \( \sqrt{x – 3} \) có nghĩa.

Giải: \( x – 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3 \)

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để \( \sqrt{5 – 2x} \) có nghĩa.

Giải: \( 5 – 2x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{5}{2} \)

Ví dụ 3: Tìm điều kiện để \( \sqrt{x^2 + 1} \) có nghĩa.

Giải: \( x^2 + 1 > 0 \) với mọi x ∈ ℝ → Luôn có nghĩa

3. Các công thức căn bậc 2 cơ bản

Dưới đây là các công thức quan trọng về căn bậc 2 cần ghi nhớ:

3.1. Công thức cơ bản

STT	Công thức	Điều kiện
1	\( (\sqrt{a})^2 = a \)	a ≥ 0
2	\( \sqrt{a^2} = |a| \)	Mọi a
3	\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)	a ≥ 0, b ≥ 0
4	\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)	a ≥ 0, b > 0
5	\( \sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b} \)	b ≥ 0

3.2. Công thức quan trọng: \( \sqrt{a^2} = |a| \)

Công thức:

\[ \sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a & \text{nếu } a \geq 0 \\ -a & \text{nếu } a < 0 \end{cases} \]

Ví dụ:

• \( \sqrt{5^2} = |5| = 5 \)
• \( \sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3 \)
• \( \sqrt{x^2} = |x| \)
• \( \sqrt{(x-2)^2} = |x – 2| \)

3.3. Khai triển \( \sqrt{a^2} = |a| \)

Biểu thức	Kết quả	Giải thích
\( \sqrt{x^2} \) với x ≥ 0	x	|x| = x khi x ≥ 0
\( \sqrt{x^2} \) với x < 0	-x	|x| = -x khi x < 0
\( \sqrt{(x-1)^2} \) với x ≥ 1	x – 1	|x-1| = x-1 khi x ≥ 1
\( \sqrt{(x-1)^2} \) với x < 1	1 – x	|x-1| = 1-x khi x < 1

4. Tính chất của căn bậc 2

Căn bậc 2 có các tính chất quan trọng sau:

4.1. Tính chất so sánh

Với a ≥ 0 và b ≥ 0:

\[ a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b} \]

Ví dụ: \( 4 < 9 \Leftrightarrow \sqrt{4} < \sqrt{9} \Leftrightarrow 2 < 3 \)

4.2. Căn bậc 2 của tích

Công thức:

\[ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a \geq 0, b \geq 0) \]

Ví dụ:

• \( \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6 \)
• \( \sqrt{36} = \sqrt{4 \times 9} = 2 \times 3 = 6 \)
• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)

4.3. Căn bậc 2 của thương

Công thức:

\[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \geq 0, b > 0) \]

Ví dụ:

• \( \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} \)
• \( \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

4.4. Bảng giá trị căn bậc 2 thường gặp

n	\( n^2 \)	\( \sqrt{n^2} \)
1	1	1
2	4	2
3	9	3
4	16	4
5	25	5
6	36	6
7	49	7
8	64	8
9	81	9
10	100	10

5. Các phép biến đổi căn bậc 2

Khi làm việc với căn bậc 2, ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:

5.1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Công thức:

\[ \sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b} = a\sqrt{b} \quad \text{(nếu } a \geq 0, b \geq 0\text{)} \]

Các bước thực hiện:

1. Phân tích số dưới dấu căn thành tích có chứa bình phương
2. Đưa căn bậc 2 của số chính phương ra ngoài

Ví dụ:

• \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{18x^2} = \sqrt{9 \times 2 \times x^2} = 3|x|\sqrt{2} \)

5.2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Công thức:

\[ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b} \quad (a \geq 0, b \geq 0) \]

\[ -a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b} \quad (a \geq 0, b \geq 0) \]

Ví dụ:

• \( 3\sqrt{2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18} \)
• \( 2\sqrt{5} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{20} \)
• \( -3\sqrt{2} = -\sqrt{18} \)
• \( 5\sqrt{3} = \sqrt{75} \)

5.3. So sánh các căn bậc 2

Phương pháp: Đưa các thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh.

Ví dụ: So sánh \( 3\sqrt{5} \) và \( 2\sqrt{11} \)

\[ 3\sqrt{5} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45} \]

\[ 2\sqrt{11} = \sqrt{4 \times 11} = \sqrt{44} \]

Vì \( 45 > 44 \) nên \( \sqrt{45} > \sqrt{44} \), tức là \( 3\sqrt{5} > 2\sqrt{11} \)

5.4. Bảng phân tích số dưới dấu căn

Số	Phân tích	Kết quả
\( \sqrt{8} \)	\( \sqrt{4 \times 2} \)	\( 2\sqrt{2} \)
\( \sqrt{12} \)	\( \sqrt{4 \times 3} \)	\( 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt{18} \)	\( \sqrt{9 \times 2} \)	\( 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{20} \)	\( \sqrt{4 \times 5} \)	\( 2\sqrt{5} \)
\( \sqrt{27} \)	\( \sqrt{9 \times 3} \)	\( 3\sqrt{3} \)
\( \sqrt{32} \)	\( \sqrt{16 \times 2} \)	\( 4\sqrt{2} \)
\( \sqrt{45} \)	\( \sqrt{9 \times 5} \)	\( 3\sqrt{5} \)
\( \sqrt{48} \)	\( \sqrt{16 \times 3} \)	\( 4\sqrt{3} \)
\( \sqrt{50} \)	\( \sqrt{25 \times 2} \)	\( 5\sqrt{2} \)
\( \sqrt{75} \)	\( \sqrt{25 \times 3} \)	\( 5\sqrt{3} \)

6. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc 2

Rút gọn là kỹ năng quan trọng khi làm việc với căn bậc 2:

6.1. Cộng trừ các căn thức đồng dạng

Định nghĩa: Hai căn thức đồng dạng là hai căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn.

Công thức:

\[ a\sqrt{c} \pm b\sqrt{c} = (a \pm b)\sqrt{c} \]

Ví dụ:

• \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
• \( 7\sqrt{3} – 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{2} + 3\sqrt{2} – 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)

6.2. Quy đồng căn thức

Phương pháp: Đưa các căn thức về dạng đồng dạng rồi cộng trừ.

Ví dụ: Rút gọn \( \sqrt{8} + \sqrt{18} – \sqrt{32} \)

\[ = \sqrt{4 \times 2} + \sqrt{9 \times 2} – \sqrt{16 \times 2} \]

\[ = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} – 4\sqrt{2} \]

\[ = (2 + 3 – 4)\sqrt{2} = \sqrt{2} \]

6.3. Nhân các căn thức

Công thức:

\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \]

\[ (m\sqrt{a})(n\sqrt{b}) = mn\sqrt{ab} \]

Ví dụ:

• \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \)
• \( 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{15} \)
• \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = \sqrt{144} = 12 \)

6.4. Khai triển hằng đẳng thức với căn

Hằng đẳng thức	Công thức
\( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \)	\( a + 2\sqrt{ab} + b \)
\( (\sqrt{a} – \sqrt{b})^2 \)	\( a – 2\sqrt{ab} + b \)
\( (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} – \sqrt{b}) \)	\( a – b \)

7. Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức là kỹ thuật quan trọng để loại bỏ căn bậc 2 ở mẫu số:

7.1. Mẫu là căn đơn giản

Công thức:

\[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \quad (b > 0) \]

Ví dụ:

• \( \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)
• \( \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \)
• \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

7.2. Mẫu có dạng \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \)

Công thức: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp \( \sqrt{a} – \sqrt{b} \)

\[ \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} – \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} – \sqrt{b})} = \frac{c(\sqrt{a} – \sqrt{b})}{a – b} \]

Ví dụ:

\[ \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} – 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} = \frac{2(\sqrt{3} – 1)}{3 – 1} = \frac{2(\sqrt{3} – 1)}{2} = \sqrt{3} – 1 \]

7.3. Mẫu có dạng \( \sqrt{a} – \sqrt{b} \)

Công thức: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \)

\[ \frac{c}{\sqrt{a} – \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a – b} \]

Ví dụ:

\[ \frac{4}{\sqrt{5} – 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} – 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{5 – 1} = \sqrt{5} + 1 \]

7.4. Bảng tổng hợp trục căn thức

Dạng mẫu	Nhân với	Kết quả mẫu
\( \sqrt{a} \)	\( \sqrt{a} \)	a
\( \sqrt{a} + \sqrt{b} \)	\( \sqrt{a} – \sqrt{b} \)	a – b
\( \sqrt{a} – \sqrt{b} \)	\( \sqrt{a} + \sqrt{b} \)	a – b
\( a + \sqrt{b} \)	\( a – \sqrt{b} \)	\( a^2 – b \)
\( a – \sqrt{b} \)	\( a + \sqrt{b} \)	\( a^2 – b \)

8. Phương trình chứa căn bậc 2

Phương trình chứa căn bậc 2 là dạng bài tập quan trọng:

8.1. Phương trình cơ bản \( \sqrt{f(x)} = g(x) \)

Cách giải:

\[ \sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = [g(x)]^2 \\ g(x) \geq 0 \end{cases} \]

Hoặc:

\[ \sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{cases} \]

8.2. Phương trình \( \sqrt{f(x)} = a \) (a ≥ 0)

\[ \sqrt{f(x)} = a \Leftrightarrow f(x) = a^2 \]

Ví dụ: Giải \( \sqrt{2x – 1} = 3 \)

\[ 2x – 1 = 9 \]

\[ x = 5 \]

Thử lại: \( \sqrt{2(5) – 1} = \sqrt{9} = 3 \) ✓

8.3. Phương trình \( \sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \)

\[ \sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \geq 0 \text{ (hoặc } g(x) \geq 0\text{)} \end{cases} \]

8.4. Các bước giải phương trình căn

1. Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)
2. Bước 2: Bình phương hai vế (khi cần)
3. Bước 3: Giải phương trình sau khi bình phương
4. Bước 4: Kiểm tra nghiệm với ĐKXĐ và phương trình ban đầu

8.5. Lưu ý quan trọng

Khi bình phương hai vế: Có thể xuất hiện nghiệm ngoại lai, cần kiểm tra lại!

9. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững kiến thức về căn bậc 2, hãy cùng làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Tính giá trị căn bậc 2

Đề bài: Tính:

a) \( \sqrt{81} \)

b) \( \sqrt{0.49} \)

c) \( \sqrt{\frac{16}{25}} \)

Lời giải:

a) \( \sqrt{81} = \sqrt{9^2} = 9 \)

b) \( \sqrt{0.49} = \sqrt{0.7^2} = 0.7 \)

c) \( \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} \)

Bài tập 2: Rút gọn \( \sqrt{a^2} \)

Đề bài: Rút gọn:

a) \( \sqrt{(-5)^2} \)

b) \( \sqrt{(x-3)^2} \) với x < 3

c) \( \sqrt{x^2 – 6x + 9} \) với x ≥ 3

Lời giải:

a) \( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \)

b) \( \sqrt{(x-3)^2} = |x – 3| \)

Vì x < 3 nên x – 3 < 0, do đó |x – 3| = -(x – 3) = 3 – x

Kết quả: 3 – x

c) \( \sqrt{x^2 – 6x + 9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x – 3| \)

Vì x ≥ 3 nên x – 3 ≥ 0, do đó |x – 3| = x – 3

Kết quả: x – 3

Bài tập 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Đề bài: Rút gọn:

a) \( \sqrt{48} \)

b) \( \sqrt{125} \)

c) \( \sqrt{72a^2} \) với a ≥ 0

Lời giải:

a) \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \)

b) \( \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5} \)

c) \( \sqrt{72a^2} = \sqrt{36 \times 2 \times a^2} = 6a\sqrt{2} \) (vì a ≥ 0)

Bài tập 4: Rút gọn biểu thức

Đề bài: Rút gọn: \( \sqrt{12} – \sqrt{27} + \sqrt{48} \)

Lời giải:

\[ \sqrt{12} – \sqrt{27} + \sqrt{48} \]

\[ = \sqrt{4 \times 3} – \sqrt{9 \times 3} + \sqrt{16 \times 3} \]

\[ = 2\sqrt{3} – 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \]

\[ = (2 – 3 + 4)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \]

Bài tập 5: Trục căn thức ở mẫu

Đề bài: Trục căn thức ở mẫu:

a) \( \frac{5}{\sqrt{5}} \)

b) \( \frac{6}{3 – \sqrt{3}} \)

Lời giải:

a)

\[ \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5} \]

b)

\[ \frac{6}{3 – \sqrt{3}} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{(3 – \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{9 – 3} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{6} = 3 + \sqrt{3} \]

Bài tập 6: Trục căn thức phức tạp

Đề bài: Rút gọn: \( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{2} – 1} \)

Lời giải:

\[ \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} – 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} – 1)} = \frac{\sqrt{2} – 1}{2 – 1} = \sqrt{2} – 1 \]

\[ \frac{1}{\sqrt{2} – 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} – 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{1} = \sqrt{2} + 1 \]

\[ \frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{2} – 1} = (\sqrt{2} – 1) + (\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2} \]

Bài tập 7: Giải phương trình căn

Đề bài: Giải phương trình: \( \sqrt{3x + 1} = 4 \)

Lời giải:

ĐKXĐ: \( 3x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\frac{1}{3} \)

Bình phương hai vế:

\[ 3x + 1 = 16 \]

\[ 3x = 15 \]

\[ x = 5 \]

Kiểm tra: x = 5 > -1/3 (thỏa mãn ĐKXĐ)

\( \sqrt{3(5) + 1} = \sqrt{16} = 4 \) ✓

Kết quả: x = 5

Bài tập 8: Giải phương trình căn phức tạp

Đề bài: Giải phương trình: \( \sqrt{x + 3} = x + 1 \)

Lời giải:

ĐKXĐ: \( x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -3 \)

Điều kiện vế phải: \( x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1 \)

Kết hợp: x ≥ -1

Bình phương hai vế:

\[ x + 3 = (x + 1)^2 \]

\[ x + 3 = x^2 + 2x + 1 \]

\[ x^2 + x – 2 = 0 \]

\[ (x + 2)(x – 1) = 0 \]

\[ x = -2 \text{ hoặc } x = 1 \]

Kiểm tra với điều kiện x ≥ -1:

• x = -2 < -1: Loại
• x = 1 ≥ -1: Nhận

Thử lại: \( \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 = 1 + 1 \) ✓

Kết quả: x = 1

Bài tập 9: So sánh căn bậc 2

Đề bài: So sánh: \( 5\sqrt{2} \) và \( 3\sqrt{5} \)

Lời giải:

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

\[ 5\sqrt{2} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{50} \]

\[ 3\sqrt{5} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45} \]

Vì 50 > 45 nên \( \sqrt{50} > \sqrt{45} \)

Kết luận: \( 5\sqrt{2} > 3\sqrt{5} \)

Bài tập 10: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Rút gọn biểu thức:

\[ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1} – \frac{\sqrt{x} – 1}{\sqrt{x} + 1} \quad (x > 0, x \neq 1) \]

Lời giải:

Quy đồng mẫu số:

\[ A = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2 – (\sqrt{x} – 1)^2}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} \]

Tử số:

\[ (\sqrt{x} + 1)^2 – (\sqrt{x} – 1)^2 = (x + 2\sqrt{x} + 1) – (x – 2\sqrt{x} + 1) = 4\sqrt{x} \]

Mẫu số:

\[ (\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1) = x – 1 \]

\[ A = \frac{4\sqrt{x}}{x – 1} \]

Kết quả: \( A = \frac{4\sqrt{x}}{x – 1} \)

10. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ về căn bậc 2 cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

• Căn bậc 2 của a (a ≥ 0): \( \sqrt{a} = x \Leftrightarrow x \geq 0 \) và \( x^2 = a \)
• Điều kiện tồn tại: \( \sqrt{a} \) có nghĩa khi a ≥ 0
• Công thức quan trọng: \( \sqrt{a^2} = |a| \), \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \), \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)
• Đưa thừa số ra ngoài căn: \( \sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b} \)
• Trục căn thức: Nhân với biểu thức liên hợp
• Giải phương trình căn: Tìm ĐKXĐ → Bình phương → Kiểm tra nghiệm

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững kiến thức về căn bậc 2 và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!