Đồ thị bậc 3, bậc 4: Các dạng đồ thị hàm số chi tiết nhất
Đồ thị bậc 3 và đồ thị bậc 4 là hai dạng đồ thị quan trọng nhất trong chương trình Toán THPT. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các dạng đồ thị hàm số bậc 3, bậc 4, đặc điểm nhận dạng và cách vẽ đồ thị hàm số bậc 4 cùng các ví dụ minh họa dễ hiểu.
1. Hàm số bậc 3 và Đồ thị bậc 3
Hàm số bậc 3 là một trong những hàm số đa thức quan trọng nhất. Dưới đây là kiến thức chi tiết về đồ thị bậc 3:
1.1. Dạng tổng quát hàm số bậc 3
Hàm số bậc 3 có dạng tổng quát:
\( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) với \( a \neq 0 \)
Trong đó:
- \( a \): hệ số bậc cao nhất, quyết định hướng của đồ thị
- \( b, c, d \): các hệ số còn lại
1.2. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3
Đồ thị bậc 3 có 4 dạng chính tùy thuộc vào dấu của \( a \) và số cực trị:
| Dạng | Điều kiện | Đặc điểm đồ thị | Hình dạng |
|---|---|---|---|
| Dạng 1 | \( a > 0 \), có 2 cực trị | Đi lên từ trái, có 1 cực đại rồi 1 cực tiểu, đi lên phải | Hình chữ N nghiêng |
| Dạng 2 | \( a < 0 \), có 2 cực trị | Đi xuống từ trái, có 1 cực tiểu rồi 1 cực đại, đi xuống phải | Hình chữ N ngược nghiêng |
| Dạng 3 | \( a > 0 \), không có cực trị | Đồng biến trên \( \mathbb{R} \), có điểm uốn | Đường cong đi lên liên tục |
| Dạng 4 | \( a < 0 \), không có cực trị | Nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), có điểm uốn | Đường cong đi xuống liên tục |
1.3. Điều kiện để hàm số bậc 3 có cực trị
Cho hàm số bậc 3: \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
Đạo hàm: \( y’ = 3ax^2 + 2bx + c \)
Điều kiện có 2 cực trị:
\( \Delta’ = b^2 – 3ac > 0 \)
Điều kiện không có cực trị:
\( \Delta’ = b^2 – 3ac \leq 0 \)
1.4. Đặc điểm nhận dạng đồ thị bậc 3
Các dạng đồ thị hàm số bậc 3 có những đặc điểm sau:
- Điểm uốn: Mọi đồ thị bậc 3 đều có đúng 1 điểm uốn, là tâm đối xứng của đồ thị
- Tiệm cận: Không có tiệm cận
- Giao với trục Oy: Tại điểm \( (0, d) \)
- Hướng đi:
- \( a > 0 \): Từ \( -\infty \) đi lên \( +\infty \)
- \( a < 0 \): Từ \( +\infty \) đi xuống \( -\infty \)
1.5. Công thức tọa độ điểm uốn
Điểm uốn của đồ thị hàm số bậc 3:
\( I\left( -\frac{b}{3a}, f\left(-\frac{b}{3a}\right) \right) \)
2. Hàm bậc 4 và Đồ thị bậc 4
Hàm bậc 4 thường gặp trong chương trình là dạng trùng phương. Dưới đây là kiến thức về đồ thị hàm số bậc 4:
2.1. Dạng tổng quát hàm bậc 4 trùng phương
Hàm bậc 4 trùng phương có dạng:
\( y = ax^4 + bx^2 + c \) với \( a \neq 0 \)
Đặc điểm:
- Chỉ chứa các lũy thừa chẵn của \( x \)
- Đồ thị nhận trục \( Oy \) làm trục đối xứng
2.2. Các dạng đồ thị hàm số bậc 4
Đồ thị bậc 4 trùng phương có 4 dạng chính:
| Dạng | Điều kiện | Số cực trị | Hình dạng |
|---|---|---|---|
| Dạng 1 | \( a > 0 \), \( b < 0 \) | 3 cực trị (1 CĐ, 2 CT) | Hình chữ W |
| Dạng 2 | \( a > 0 \), \( b \geq 0 \) | 1 cực trị (1 CT) | Hình chữ U (parabol) |
| Dạng 3 | \( a < 0 \), \( b > 0 \) | 3 cực trị (2 CĐ, 1 CT) | Hình chữ M |
| Dạng 4 | \( a < 0 \), \( b \leq 0 \) | 1 cực trị (1 CĐ) | Hình chữ U ngược |
2.3. Điều kiện để đồ thị bậc 4 có 3 cực trị
Cho hàm bậc 4: \( y = ax^4 + bx^2 + c \)
Đạo hàm: \( y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b) \)
Điều kiện có 3 cực trị:
\( ab < 0 \) (a và b trái dấu)
Điều kiện có 1 cực trị:
\( ab \geq 0 \) (a và b cùng dấu hoặc \( b = 0 \))
2.4. Tọa độ các cực trị của đồ thị bậc 4
Khi đồ thị hàm bậc 4 có 3 cực trị (\( ab < 0 \)):
| Điểm cực trị | Tọa độ |
|---|---|
| Cực trị tại \( x = 0 \) | \( (0, c) \) |
| Cực trị tại \( x = \pm\sqrt{-\frac{b}{2a}} \) | \( \left( \pm\sqrt{-\frac{b}{2a}}, c – \frac{b^2}{4a} \right) \) |
2.5. Đặc điểm nhận dạng đồ thị bậc 4
Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương có những đặc điểm:
- Đối xứng: Nhận trục \( Oy \) làm trục đối xứng
- Tiệm cận: Không có tiệm cận
- Giao với trục Oy: Tại điểm \( (0, c) \)
- Hướng đi:
- \( a > 0 \): Hai nhánh đi lên \( +\infty \)
- \( a < 0 \): Hai nhánh đi xuống \( -\infty \)
3. So sánh các dạng đồ thị hàm số
Dưới đây là bảng so sánh các dạng đồ thị để dễ nhận biết:
3.1. Bảng so sánh đồ thị bậc 3 và bậc 4
| Đặc điểm | Đồ thị bậc 3 | Đồ thị bậc 4 (trùng phương) |
|---|---|---|
| Dạng hàm số | \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) | \( y = ax^4 + bx^2 + c \) |
| Số cực trị tối đa | 2 (1 CĐ, 1 CT) | 3 (có thể 1 hoặc 3) |
| Tính đối xứng | Đối xứng tâm (điểm uốn) | Đối xứng trục Oy |
| Tiệm cận | Không có | Không có |
| Điểm uốn | Có 1 điểm uốn | Có thể có 2 điểm uốn |
| Hình dạng đặc trưng | Chữ N hoặc đường cong liên tục | Chữ W, M, U hoặc U ngược |
3.2. Cách nhận dạng nhanh các dạng đồ thị hàm số
Nhận dạng đồ thị bậc 3:
- Nhìn hướng đi: Từ dưới lên (\( a > 0 \)) hoặc từ trên xuống (\( a < 0 \))
- Đếm số cực trị: 2 hoặc 0
- Tìm điểm uốn: Là tâm đối xứng
Nhận dạng đồ thị bậc 4:
- Kiểm tra đối xứng qua trục Oy
- Đếm số cực trị: 1 hoặc 3
- Nhìn hình dạng: W, M, U, hoặc U ngược
4. Cách vẽ đồ thị hàm số bậc 3 và bậc 4
Dưới đây là các bước khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm số:
4.1. Các bước khảo sát hàm số bậc 3
- Bước 1: Tìm tập xác định (TXĐ: \( D = \mathbb{R} \))
- Bước 2: Tính đạo hàm \( y’ \), giải \( y’ = 0 \)
- Bước 3: Lập bảng biến thiên
- Bước 4: Tìm điểm uốn \( I\left( -\frac{b}{3a}, f\left(-\frac{b}{3a}\right) \right) \)
- Bước 5: Tìm giao điểm với trục Oy: \( (0, d) \)
- Bước 6: Vẽ đồ thị
4.2. Các bước khảo sát hàm bậc 4
- Bước 1: Tìm tập xác định (TXĐ: \( D = \mathbb{R} \))
- Bước 2: Tính đạo hàm \( y’ = 4ax^3 + 2bx \), giải \( y’ = 0 \)
- Bước 3: Lập bảng biến thiên
- Bước 4: Xác định trục đối xứng (trục Oy)
- Bước 5: Tìm giao điểm với trục Oy: \( (0, c) \)
- Bước 6: Vẽ đồ thị
4.3. Bảng biến thiên mẫu
Bảng biến thiên đồ thị bậc 3 (trường hợp \( a > 0 \), có 2 cực trị):
| \( x \) | \( -\infty \) | \( x_1 \) | \( x_2 \) | \( +\infty \) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( y’ \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) | ||
| \( y \) | \( -\infty \) | ↗ | CĐ | ↘ | CT | ↗ | \( +\infty \) |
Bảng biến thiên đồ thị bậc 4 (trường hợp \( a > 0 \), \( b < 0 \), có 3 cực trị):
| \( x \) | \( -\infty \) | \( -x_0 \) | \( 0 \) | \( x_0 \) | \( +\infty \) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( y’ \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) | ||
| \( y \) | \( +\infty \) | ↘ | CT | ↗ | CĐ | ↘ | CT | ↗ | \( +\infty \) |
5. Ví dụ và bài tập minh họa
Dưới đây là các ví dụ minh họa về các dạng đồ thị hàm số bậc 3 và đồ thị hàm bậc 4:
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị bậc 3 có 2 cực trị
Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị bậc 3: \( y = x^3 – 3x^2 + 2 \)
Lời giải:
Bước 1: Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \)
Bước 2: Tính đạo hàm
\( y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2) \)
\( y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0 \) hoặc \( x = 2 \)
Bước 3: Tính giá trị cực trị
- \( y(0) = 0 – 0 + 2 = 2 \) → Cực đại
- \( y(2) = 8 – 12 + 2 = -2 \) → Cực tiểu
Bước 4: Tìm điểm uốn
\( x_I = -\frac{b}{3a} = -\frac{-3}{3 \cdot 1} = 1 \)
\( y_I = 1 – 3 + 2 = 0 \)
Điểm uốn: \( I(1, 0) \)
Bước 5: Bảng biến thiên
| \( x \) | \( -\infty \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( y’ \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) | ||
| \( y \) | \( -\infty \) | ↗ | \( 2 \) (CĐ) | ↘ | \( -2 \) (CT) | ↗ | \( +\infty \) |
Nhận xét: Đồ thị có dạng chữ N nghiêng (vì \( a = 1 > 0 \) và có 2 cực trị).
Ví dụ 2: Khảo sát đồ thị bậc 3 không có cực trị
Đề bài: Khảo sát hàm số bậc 3: \( y = x^3 + 3x – 1 \)
Lời giải:
\( y’ = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1) > 0, \forall x \in \mathbb{R} \)
Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \), không có cực trị.
Kiểm tra: \( \Delta’ = b^2 – 3ac = 0 – 3 \cdot 1 \cdot 3 = -9 < 0 \) → Không có cực trị ✓
Điểm uốn: \( I(0, -1) \)
Nhận xét: Đồ thị là đường cong đi lên liên tục, có điểm uốn tại \( I(0, -1) \).
Ví dụ 3: Khảo sát đồ thị bậc 4 có 3 cực trị
Đề bài: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4: \( y = x^4 – 2x^2 + 1 \)
Lời giải:
Bước 1: Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \)
Bước 2: Tính đạo hàm
\( y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 4x(x-1)(x+1) \)
\( y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1, x = 0, x = 1 \)
Bước 3: Kiểm tra điều kiện 3 cực trị
\( a = 1 > 0 \), \( b = -2 < 0 \) → \( ab < 0 \) → Có 3 cực trị ✓
Bước 4: Tính giá trị cực trị
- \( y(-1) = 1 – 2 + 1 = 0 \) → Cực tiểu
- \( y(0) = 0 – 0 + 1 = 1 \) → Cực đại
- \( y(1) = 1 – 2 + 1 = 0 \) → Cực tiểu
Bước 5: Bảng biến thiên
| \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( +\infty \) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( y’ \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) | ||
| \( y \) | \( +\infty \) | ↘ | \( 0 \) (CT) | ↗ | \( 1 \) (CĐ) | ↘ | \( 0 \) (CT) | ↗ | \( +\infty \) |
Nhận xét: Đồ thị bậc 4 có dạng chữ W (vì \( a > 0 \), \( b < 0 \)).
Ví dụ 4: Khảo sát đồ thị bậc 4 có 1 cực trị
Đề bài: Khảo sát hàm bậc 4: \( y = x^4 + 2x^2 – 3 \)
Lời giải:
\( y’ = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1) \)
\( y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0 \) (vì \( x^2 + 1 > 0 \))
Kiểm tra: \( a = 1 > 0 \), \( b = 2 > 0 \) → \( ab > 0 \) → Có 1 cực trị ✓
\( y(0) = -3 \) → Cực tiểu
Nhận xét: Đồ thị có dạng chữ U (parabol bẹt).
Ví dụ 5: Nhận dạng đồ thị từ hình vẽ
Đề bài: Một đồ thị hàm số có dạng chữ M, đi qua điểm \( (0, 2) \). Hỏi đồ thị này thuộc dạng hàm số nào?
Lời giải:
Phân tích:
- Dạng chữ M → Đồ thị bậc 4 có 3 cực trị
- Dạng M (hai đỉnh nhô lên) → \( a < 0 \), \( b > 0 \)
- Đi qua \( (0, 2) \) → \( c = 2 \)
Đáp số: Hàm số có dạng \( y = ax^4 + bx^2 + 2 \) với \( a < 0 \), \( b > 0 \)
Ví dụ 6: Tìm tham số để đồ thị có dạng cho trước
Đề bài: Tìm \( m \) để đồ thị hàm số bậc 3 \( y = x^3 – 3mx^2 + 3(m^2 – 1)x + 1 \) có 2 cực trị.
Lời giải:
\( y’ = 3x^2 – 6mx + 3(m^2 – 1) \)
Điều kiện có 2 cực trị: \( \Delta’ > 0 \)
\( \Delta’ = 9m^2 – 9(m^2 – 1) = 9m^2 – 9m^2 + 9 = 9 > 0 \) (luôn đúng)
Đáp số: Với mọi \( m \in \mathbb{R} \), đồ thị luôn có 2 cực trị.
Bài tập tự luyện
Hãy thử sức với các bài tập sau về các dạng đồ thị hàm số:
| Bài | Đề bài | Đáp án |
|---|---|---|
| 1 | Tìm điểm uốn của đồ thị bậc 3: \( y = x^3 – 6x^2 + 9x – 4 \) | \( I(2, 0) \) |
| 2 | Xác định dạng đồ thị: \( y = -x^4 + 2x^2 + 1 \) | Dạng chữ M (3 cực trị) |
| 3 | Tìm \( m \) để \( y = x^4 + mx^2 + 1 \) có 3 cực trị | \( m < 0 \) |
| 4 | Hàm số \( y = x^3 + 3x + 2 \) có bao nhiêu cực trị? | 0 cực trị |
| 5 | Tìm GTLN của \( y = -x^4 + 2x^2 \) | \( y_{max} = 1 \) khi \( x = \pm 1 \) |
6. Mẹo nhận dạng nhanh các dạng đồ thị
Để nhận dạng nhanh các dạng đồ thị hàm số, hãy ghi nhớ:
| Dạng đồ thị | Cách nhận dạng nhanh |
|---|---|
| Đồ thị bậc 3 có 2 cực trị | Hình chữ N (a > 0) hoặc N ngược (a < 0) |
| Đồ thị bậc 3 không cực trị | Đường cong liên tục đi lên/xuống |
| Đồ thị bậc 4 dạng W | \( a > 0 \), \( b < 0 \), 3 cực trị |
| Đồ thị bậc 4 dạng M | \( a < 0 \), \( b > 0 \), 3 cực trị |
| Đồ thị bậc 4 dạng U | \( a > 0 \), \( ab \geq 0 \), 1 cực trị |
7. Kết luận
Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về đồ thị bậc 3 và đồ thị bậc 4 – hai dạng đồ thị quan trọng nhất trong chương trình Toán THPT. Việc nắm vững các dạng đồ thị hàm số giúp học sinh giải quyết nhanh các bài toán khảo sát và nhận dạng đồ thị.
Để làm tốt các bài tập về các dạng đồ thị hàm số bậc 3 và đồ thị hàm số bậc 4, học sinh cần nhớ:
- Hàm số bậc 3: Có 2 cực trị khi \( \Delta’ = b^2 – 3ac > 0 \), điểm uốn là tâm đối xứng
- Hàm bậc 4: Có 3 cực trị khi \( ab < 0 \), đối xứng qua trục Oy
- Dựa vào dấu của \( a \) để xác định hướng đi của đồ thị
- Nhận dạng hình dạng: N, W, M, U để xác định nhanh loại đồ thị
Nắm vững kiến thức về đồ thị bậc 3 và đồ thị hàm bậc 4 sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán trong kỳ thi THPT Quốc gia.
Có thể bạn quan tâm
