Ln đọc là gì? Ln là gì? Logarit tự nhiên và công thức lnx đầy đủ

Ln đọc là gì? Ln là gì? Đây là câu hỏi thường gặp của học sinh khi học chương Logarit. Ln hay lnx là ký hiệu của logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nepe, log Nepe). Bài viết này giải thích chi tiết định nghĩa, nguồn gốc, công thức và bài tập về ln.

1. Ln là gì? Ln đọc là gì?

Ln là gì? Ln là ký hiệu của logarit tự nhiên, tức là logarit cơ số e (số Euler). Đây là một trong những hàm số quan trọng nhất trong toán học và khoa học.

1.1. Định nghĩa ln

Định nghĩa: Lnx (logarit tự nhiên của x) là logarit cơ số e của x:

\[ \ln x = \log_e x \]

Trong đó:

• \(e \approx 2,71828…\) là số Euler (hằng số toán học)
• \(x > 0\) (điều kiện xác định)

Ý nghĩa: \(\ln x = a\) có nghĩa là \(e^a = x\)

1.2. Ln đọc là gì?

Ln đọc là gì? Có nhiều cách đọc ln trong tiếng Việt và tiếng Anh:

Ví dụ cách đọc:

• \(\ln 2\): đọc là “en-en hai” hoặc “logarit tự nhiên của 2”
• \(\ln x\): đọc là “en-en x” hoặc “logarit Nepe của x”

2. Ln là viết tắt của từ gì?

Ln là viết tắt của từ gì? Đây là câu hỏi nhiều học sinh thắc mắc.

2.1. Nguồn gốc ký hiệu ln

Ln là viết tắt của cụm từ tiếng Latin:

“Logarithmus Naturalis” = Logarit tự nhiên

Trong đó:

• L = Logarithmus (Logarit)
• N = Naturalis (Tự nhiên)

2.2. Tại sao gọi là logarit Nepe?

Logarit Nepe (hay loga Nepe, loganepe) được đặt theo tên nhà toán học John Napier (1550-1617), người Scotland. Ông là người phát minh ra khái niệm logarit vào năm 1614.

Tên gọi khác của ln:

• Logarit tự nhiên (Natural logarithm)
• Logarit Nepe (Napierian logarithm)
• Log Nepe
• Loga Nepe

2.3. Số e là gì?

Số e (số Euler) là cơ số của logarit tự nhiên:

\[ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2,71828182845… \]

Số e là số vô tỉ, xuất hiện tự nhiên trong nhiều lĩnh vực như tăng trưởng, phân rã phóng xạ, lãi kép liên tục.

3. Công thức và tính chất của lnx

Dưới đây là các công thức quan trọng của lnx mà bạn cần nắm vững.

3.1. Các giá trị đặc biệt

3.2. Tính chất của logarit tự nhiên

Logarit tự nhiên có các tính chất tương tự logarit cơ số bất kỳ:

3.3. Đạo hàm và nguyên hàm của lnx

3.4. Giới hạn quan trọng

Các giới hạn liên quan đến ln:

• \(\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\)
• \(\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\)
• \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\)
• \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\)

4. Đồ thị hàm số y = lnx

Đồ thị hàm số y = lnx có các đặc điểm quan trọng sau.

4.1. Tập xác định và tập giá trị

4.2. Sự biến thiên

• Đạo hàm: \(y’ = \frac{1}{x} > 0\) với mọi \(x > 0\)
• Kết luận: Hàm số đồng biến trên \((0; +\infty)\)
• Không có cực trị

4.3. Bảng biến thiên

4.4. Hình dạng đồ thị

Đồ thị hàm số \(y = \ln x\):

• Nằm bên phải trục Oy (vì \(x > 0\))
• Cắt trục Ox tại điểm \((1; 0)\)
• Đi qua điểm \((e; 1) \approx (2,718; 1)\)
• Tiệm cận đứng là trục Oy (đường thẳng \(x = 0\))
• Luôn tăng nhưng tốc độ tăng chậm dần

5. Bảng giá trị ln thường gặp

Dưới đây là bảng các giá trị lnx thường gặp trong bài tập.

5.1. Giá trị ln của số nguyên

5.2. Giá trị ln của lũy thừa e

5.3. Mối quan hệ giữa ln và log

6. So sánh ln với các loại logarit khác

7. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính giá trị biểu thức ln

Đề bài: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(\ln e^5\)  b) \(\ln \sqrt{e}\)  c) \(\ln\frac{1}{e^3}\)

Lời giải:

a) \(\ln e^5 = 5\ln e = 5 \cdot 1 = \boxed{5}\)

b) \(\ln \sqrt{e} = \ln e^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\ln e = \boxed{\frac{1}{2}}\)

c) \(\ln\frac{1}{e^3} = \ln e^{-3} = -3\ln e = \boxed{-3}\)

Bài tập 2: Rút gọn biểu thức

Đề bài: Rút gọn: \(A = \ln 12 – \ln 3 + \ln 5 – \ln 20\)

Lời giải:

Áp dụng tính chất logarit tự nhiên:

\[ A = \ln 12 – \ln 3 + \ln 5 – \ln 20 \]

\[ = \ln\frac{12}{3} + \ln\frac{5}{20} = \ln 4 + \ln\frac{1}{4} \]

\[ = \ln\left(4 \cdot \frac{1}{4}\right) = \ln 1 = \boxed{0} \]

Bài tập 3: Giải phương trình logarit

Đề bài: Giải phương trình \(\ln(2x – 1) = 3\)

Lời giải:

Điều kiện: \(2x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\)

Ta có:

\[ \ln(2x – 1) = 3 \]

\[ \Leftrightarrow 2x – 1 = e^3 \]

\[ \Leftrightarrow 2x = e^3 + 1 \]

\[ \Leftrightarrow x = \frac{e^3 + 1}{2} \]

Kiểm tra: \(\frac{e^3 + 1}{2} > \frac{1}{2}\) ✓ (thỏa mãn)

Vậy \(x = \frac{e^3 + 1}{2}\)

Bài tập 4: Tính đạo hàm

Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \ln(3x + 2)\)  b) \(y = \ln(\sin x)\)

Lời giải:

Áp dụng công thức \((\ln u)’ = \frac{u’}{u}\):

a) \(y = \ln(3x + 2)\)

\[ y’ = \frac{(3x + 2)’}{3x + 2} = \boxed{\frac{3}{3x + 2}} \]

b) \(y = \ln(\sin x)\)

\[ y’ = \frac{(\sin x)’}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \boxed{\cot x} \]

Bài tập 5: Tính nguyên hàm

Đề bài: Tính \(\int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 3} dx\)

Lời giải:

Nhận xét: \((x^2 + x + 3)’ = 2x + 1\)

Đây là dạng \(\int \frac{u’}{u} dx = \ln|u| + C\)

\[ \int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 3} dx = \ln|x^2 + x + 3| + C \]

Vì \(x^2 + x + 3 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{11}{4} > 0\) với mọi x, nên:

\(\int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 3} dx = \ln(x^2 + x + 3) + C\)

Bài tập 6: Giải bất phương trình

Đề bài: Giải bất phương trình \(\ln(x – 2) < 1\)

Lời giải:

Điều kiện: \(x – 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\)

Ta có:

\[ \ln(x – 2) < 1 = \ln e \]

Vì hàm số \(y = \ln t\) đồng biến trên \((0; +\infty)\), nên:

\[ x – 2 < e \]

\[ x < e + 2 \]

Kết hợp điều kiện \(x > 2\):

Vậy \(2 < x < e + 2\)

Bài tập 7: Bài tập tự luyện

Giải các bài tập sau:

1. Tính: \(\ln e^7 + \ln\frac{1}{\sqrt{e}}\)
2. Rút gọn: \(\ln 8 + \ln 9 – \ln 6\)
3. Giải phương trình: \(\ln x + \ln(x + 2) = \ln 3\)
4. Tính đạo hàm: \(y = x^2 \ln x\)
5. Tính nguyên hàm: \(\int \frac{dx}{x \ln x}\)
6. Giải bất phương trình: \(\ln(3x – 2) \geq 0\)

Đáp số:

1. \(\frac{13}{2}\)
2. \(\ln 12\)
3. \(x = 1\)
4. \(y’ = 2x\ln x + x\)
5. \(\ln|\ln x| + C\)
6. \(x \geq 1\)

8. Kết luận

Ln là gì? Ln là ký hiệu của logarit tự nhiên (logarit cơ số e), viết tắt từ “Logarithmus Naturalis” trong tiếng Latin. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:

• Ln đọc là gì: đọc là “en-en”, “logarit tự nhiên” hoặc “logarit Nepe“
• Ln là viết tắt của từ gì: Logarithmus Naturalis
• Công thức và tính chất của lnx
• Các dạng bài tập về log Nepe và cách giải

Hãy ghi nhớ các công thức và luyện tập thường xuyên để thành thạo kiến thức về logarit tự nhiên. Chúc bạn học tốt!