Bảng biến thiên là gì? Cách vẽ, lập bảng biến thiên hàm số bậc 2

Bảng biến thiên là công cụ quan trọng trong chương trình Toán THPT, giúp học sinh khảo sát và mô tả sự biến thiên của hàm số một cách trực quan. Nắm vững cách vẽ bảng biến thiên sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán khảo sát hàm số, tìm cực trị, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất. Bài viết dưới đây trình bày đầy đủ lý thuyết, quy tắc lập bảng biến thiên cho từng loại hàm số kèm theo các bài tập minh họa có lời giải chi tiết.

1. Bảng biến thiên là gì?

Bảng biến thiên là gì? Bảng biến thiên là một bảng tóm tắt các thông tin quan trọng về sự biến thiên của hàm số \(y = f(x)\) trên tập xác định của nó. Thông qua bảng biến thiên, ta có thể nhận biết nhanh chóng:

• Chiều biến thiên (hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảng nào).
• Cực trị (điểm cực đại, cực tiểu) của hàm số.
• Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có).
• Giới hạn của hàm số tại vô cực hoặc tại các điểm gián đoạn.

Bảng biến thiên hàm số thường được sử dụng trong bài toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị và các bài toán liên quan đến tìm số nghiệm của phương trình. Để hiểu rõ hơn, hãy cùng tìm hiểu cấu trúc chi tiết của bảng biến thiên ở phần tiếp theo.

2. Cấu trúc của bảng biến thiên

Một bảng biến thiên chuẩn gồm 3 dòng chính:

Dòng	Nội dung	Ý nghĩa
Dòng 1: \(x\)	Ghi các giá trị đặc biệt của \(x\): hai đầu mút của tập xác định, nghiệm của \(f'(x) = 0\), điểm gián đoạn	Xác định các mốc quan trọng trên trục hoành
Dòng 2: \(f'(x)\)	Ghi dấu của đạo hàm trên từng khoảng: dấu \(+\) hoặc dấu \(-\)	\(f'(x) > 0\): hàm đồng biến; \(f'(x) < 0\): hàm nghịch biến
Dòng 3: \(f(x)\)	Vẽ mũi tên chỉ chiều biến thiên, ghi giá trị cực trị và giới hạn	Mô tả trực quan sự tăng giảm và các giá trị đặc biệt của hàm số

Quy ước mũi tên trong bảng biến thiên:

• Mũi tên đi lên ↗: Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng đó, tương ứng \(f'(x) > 0\).
• Mũi tên đi xuống ↘: Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng đó, tương ứng \(f'(x) < 0\).

3. Cách vẽ bảng biến thiên – Quy trình tổng quát

Dưới đây là quy trình 5 bước để lập bảng biến thiên cho một hàm số \(y = f(x)\) bất kỳ:

1. Bước 1 – Tìm tập xác định: Xác định tập xác định \(D\) của hàm số.
2. Bước 2 – Tính đạo hàm: Tính \(f'(x)\).
3. Bước 3 – Tìm nghiệm của \(f'(x) = 0\): Giải phương trình \(f'(x) = 0\) để tìm các điểm tới hạn.
4. Bước 4 – Xét dấu \(f'(x)\): Lập bảng xét dấu đạo hàm trên từng khoảng.
5. Bước 5 – Vẽ bảng biến thiên: Điền dấu \(f'(x)\), vẽ mũi tên, ghi giá trị cực trị và giới hạn.

Lưu ý quan trọng khi vẽ bảng biến thiên:

• Tại điểm \(f'(x) = 0\) mà đạo hàm đổi dấu từ \(+\) sang \(-\): hàm số đạt cực đại.
• Tại điểm \(f'(x) = 0\) mà đạo hàm đổi dấu từ \(-\) sang \(+\): hàm số đạt cực tiểu.
• Tại điểm \(f'(x) = 0\) mà đạo hàm không đổi dấu: không phải cực trị.

Hãy cùng áp dụng quy trình này cho từng loại hàm số cụ thể, bắt đầu từ hàm số đơn giản nhất.

4. Bảng biến thiên hàm số bậc nhất \(y = ax + b\)

4.1. Đạo hàm và chiều biến thiên

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) có:

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
• Đạo hàm: \(y’ = a\) (hằng số)

Hai trường hợp:

• Nếu \(a > 0\): \(y’ > 0\) với mọi \(x\), hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
• Nếu \(a < 0\): \(y’ < 0\) với mọi \(x\), hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

4.2. Bảng biến thiên

Trường hợp \(a > 0\):

\(x\)	\(-\infty\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(+\)
\(y\)	\(-\infty\)	↗	\(+\infty\)

Trường hợp \(a < 0\):

\(x\)	\(-\infty\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(-\)
\(y\)	\(+\infty\)	↘	\(-\infty\)

Hàm bậc nhất là trường hợp đơn giản nhất. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu bảng biến thiên hàm số bậc 2 – dạng thường gặp nhất trong các đề thi.

5. Bảng biến thiên hàm số bậc 2 \(y = ax^2 + bx + c\)

5.1. Đạo hàm và điểm cực trị

Hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + c\) \((a \neq 0)\) có:

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
• Đạo hàm: \(y’ = 2ax + b\)
• Nghiệm: \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = \frac{-b}{2a}\)

Giá trị cực trị (đỉnh parabol):

\[y\left(\frac{-b}{2a}\right) = \frac{-(b^2 – 4ac)}{4a} = \frac{-\Delta}{4a}\]

5.2. Bảng biến thiên hàm số bậc 2 khi \(a > 0\)

Khi \(a > 0\), parabol quay bề lõm lên trên, hàm số có cực tiểu tại đỉnh.

\(x\)	\(-\infty\)		\(\frac{-b}{2a}\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(+\infty\)	↘	\(\frac{-\Delta}{4a}\)	↗	\(+\infty\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\; \frac{-b}{2a}\right)\) và đồng biến trên \(\left(\frac{-b}{2a};\; +\infty\right)\).

5.3. Bảng biến thiên hàm số bậc 2 khi \(a < 0\)

Khi \(a < 0\), parabol quay bề lõm xuống dưới, hàm số có cực đại tại đỉnh.

\(x\)	\(-\infty\)		\(\frac{-b}{2a}\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(y\)	\(-\infty\)	↗	\(\frac{-\Delta}{4a}\)	↘	\(-\infty\)

Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;\; \frac{-b}{2a}\right)\) và nghịch biến trên \(\left(\frac{-b}{2a};\; +\infty\right)\).

5.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Lập bảng biến thiên hàm số bậc 2: \(y = x^2 – 4x + 3\).

Lời giải:

Bước 1: Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Bước 2: Tính đạo hàm: \(y’ = 2x – 4\).

Bước 3: Giải \(y’ = 0\): \(2x – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Bước 4: Xét dấu: \(y’ < 0\) khi \(x < 2\); \(y’ > 0\) khi \(x > 2\).

Bước 5: Tính giá trị cực trị: \(y(2) = 4 – 8 + 3 = -1\).

Bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(+\infty\)	↘	\(-1\)	↗	\(+\infty\)

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên \((-\infty;\; 2)\), đồng biến trên \((2;\; +\infty)\). Giá trị cực tiểu bằng \(-1\) tại \(x = 2\).

6. Bảng biến thiên hàm số bậc 3 \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\)

6.1. Đạo hàm và xét dấu

Hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) \((a \neq 0)\) có:

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
• Đạo hàm: \(y’ = 3ax^2 + 2bx + c\) (tam thức bậc hai)

Gọi \(\Delta’ = b^2 – 3ac\) là biệt thức thu gọn của \(y’\). Ta có các trường hợp:

Trường hợp	Điều kiện	Số cực trị
\(y’\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1 < x_2\)	\(\Delta’ > 0\)	Có 1 cực đại và 1 cực tiểu
\(y’\) có nghiệm kép	\(\Delta’ = 0\)	Không có cực trị
\(y’\) vô nghiệm	\(\Delta’ < 0\)	Không có cực trị

6.2. Bảng biến thiên khi \(\Delta’ > 0\) và \(a > 0\)

Giả sử \(y’ = 0\) có hai nghiệm \(x_1 < x_2\):

\(x\)	\(-\infty\)		\(x_1\)		\(x_2\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(-\infty\)	↗	\(y(x_1)\) CĐ	↘	\(y(x_2)\) CT	↗	\(+\infty\)

6.3. Bảng biến thiên khi \(\Delta’ > 0\) và \(a < 0\)

\(x\)	\(-\infty\)		\(x_1\)		\(x_2\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(y\)	\(+\infty\)	↘	\(y(x_1)\) CT	↗	\(y(x_2)\) CĐ	↘	\(-\infty\)

6.4. Bảng biến thiên khi \(\Delta’ \leq 0\)

Khi \(\Delta’ \leq 0\), đạo hàm \(y’\) không đổi dấu, hàm số không có cực trị và đơn điệu trên \(\mathbb{R}\).

Với \(a > 0\): \(y’ \geq 0\) với mọi \(x\), hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(+\)
\(y\)	\(-\infty\)	↗	\(+\infty\)

6.5. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = x^3 – 3x + 2\).

Lời giải:

Bước 1: Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Bước 2: Tính đạo hàm: \(y’ = 3x^2 – 3\).

Bước 3: Giải \(y’ = 0\):

\[3x^2 – 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\]

Bước 4: Xét dấu \(y’\): \(y’ = 3(x-1)(x+1)\)

• \(y’ > 0\) khi \(x < -1\) hoặc \(x > 1\)
• \(y’ < 0\) khi \(-1 < x < 1\)

Bước 5: Tính giá trị cực trị:

• \(y(-1) = -1 + 3 + 2 = 4\)
• \(y(1) = 1 – 3 + 2 = 0\)

Bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(-\infty\)	↗	\(4\) CĐ	↘	\(0\) CT	↗	\(+\infty\)

Kết luận: Hàm số đạt cực đại bằng \(4\) tại \(x = -1\), cực tiểu bằng \(0\) tại \(x = 1\).

7. Bảng biến thiên hàm số trùng phương \(y = ax^4 + bx^2 + c\)

7.1. Đạo hàm và nghiệm

Hàm số trùng phương \(y = ax^4 + bx^2 + c\) \((a \neq 0)\) có:

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
• Đạo hàm: \(y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)\)

Các trường hợp khi giải \(y’ = 0\):

Điều kiện	Nghiệm của \(y’ = 0\)	Số cực trị
\(ab < 0\) (tức \(\frac{-b}{2a} > 0\))	\(x = 0\), \(x = \pm\sqrt{\frac{-b}{2a}}\)	3 cực trị
\(ab \geq 0\) (tức \(\frac{-b}{2a} \leq 0\))	\(x = 0\) (nghiệm duy nhất)	1 cực trị

7.2. Bảng biến thiên khi \(a > 0\) và \(ab < 0\)

Đặt \(x_0 = \sqrt{\frac{-b}{2a}}\), ta có 3 nghiệm: \(-x_0,\; 0,\; x_0\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-x_0\)		\(0\)		\(x_0\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(+\infty\)	↘	CT	↗	CĐ	↘	CT	↗	\(+\infty\)

7.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = x^4 – 2x^2 + 1\).

Lời giải:

Đạo hàm: \(y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 4x(x-1)(x+1)\).

Giải \(y’ = 0\): \(x = -1,\; x = 0,\; x = 1\).

Tính giá trị:

• \(y(-1) = 1 – 2 + 1 = 0\)
• \(y(0) = 0 – 0 + 1 = 1\)
• \(y(1) = 1 – 2 + 1 = 0\)

Bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(0\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(+\infty\)	↘	\(0\) CT	↗	\(1\) CĐ	↘	\(0\) CT	↗	\(+\infty\)

Hàm số đạt cực đại bằng \(1\) tại \(x = 0\), cực tiểu bằng \(0\) tại \(x = \pm 1\).

8. Bảng biến thiên hàm phân thức \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\)

8.1. Đạo hàm và chiều biến thiên

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) \((c \neq 0,\; ad – bc \neq 0)\) có:

• Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{-d}{c}\right\}\)
• Đạo hàm: \(y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}\)

Vì \((cx+d)^2 > 0\) với mọi \(x \in D\), nên dấu của \(y’\) phụ thuộc vào \(ad – bc\):

• Nếu \(ad – bc > 0\): \(y’ > 0\), hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
• Nếu \(ad – bc < 0\): \(y’ < 0\), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Tiệm cận:

• Tiệm cận đứng: \(x = \frac{-d}{c}\)
• Tiệm cận ngang: \(y = \frac{a}{c}\)

8.2. Bảng biến thiên khi \(ad – bc > 0\)

\(x\)	\(-\infty\)		\(\frac{-d}{c}\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(+\)	\(\|\)	\(+\)
\(y\)	\(\frac{a}{c}\)	↗	\(\| +\infty\) \(-\infty \|\)	↗	\(\frac{a}{c}\)

8.3. Bảng biến thiên khi \(ad – bc < 0\)

\(x\)	\(-\infty\)		\(\frac{-d}{c}\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(-\)	\(\|\)	\(-\)
\(y\)	\(\frac{a}{c}\)	↘	\(\| -\infty\) \(+\infty \|\)	↘	\(\frac{a}{c}\)

8.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Vẽ bảng biến thiên của hàm số \(y = \frac{2x + 1}{x – 1}\).

Lời giải:

Bước 1: Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

Bước 2: Đạo hàm:

\[y’ = \frac{2 \cdot (x – 1) – (2x + 1) \cdot 1}{(x – 1)^2} = \frac{2x – 2 – 2x – 1}{(x – 1)^2} = \frac{-3}{(x – 1)^2}\]

Bước 3: Xét dấu: \(y’ = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0\) với mọi \(x \neq 1\). Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;\; 1)\) và \((1;\; +\infty)\).

Bước 4: Tiệm cận:

• Tiệm cận đứng: \(x = 1\)
• Tiệm cận ngang: \(y = 2\)

Tính giới hạn: \(\lim_{x \to 1^-} y = +\infty\), \(\lim_{x \to 1^+} y = -\infty\).

Bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(-\)	\(\|\)	\(-\)
\(y\)	\(2\)	↘	\(\| +\infty\) \(-\infty \|\)	↘	\(2\)

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên \((-\infty;\; 1)\) và \((1;\; +\infty)\), không có cực trị.

9. Tổng hợp bảng biến thiên các hàm số thường gặp

Dưới đây là bảng tổng hợp nhanh bảng biến thiên hàm số cho các dạng phổ biến, giúp bạn ôn tập hiệu quả.

Loại hàm số	Dạng tổng quát	Số cực trị	Đặc điểm bảng biến thiên
Bậc nhất	\(y = ax + b\)	0	Đơn điệu 1 chiều trên \(\mathbb{R}\)
Bậc hai	\(y = ax^2 + bx + c\)	1	1 cực trị tại đỉnh parabol
Bậc ba	\(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\)	0 hoặc 2	Phụ thuộc \(\Delta’\) của \(y’\)
Trùng phương	\(y = ax^4 + bx^2 + c\)	1 hoặc 3	Đối xứng qua trục \(Oy\)
Phân thức bậc nhất/bậc nhất	\(y = \frac{ax+b}{cx+d}\)	0	Đơn điệu trên mỗi khoảng, có tiệm cận

10. Bài tập lập bảng biến thiên có lời giải

Dưới đây là các bài tập lập bảng biến thiên đa dạng theo từng loại hàm số, kèm lời giải chi tiết.

Bài tập 1

Lập bảng biến thiên hàm số bậc 2: \(y = -x^2 + 6x – 5\).

Lời giải:

Đạo hàm: \(y’ = -2x + 6\).

Giải \(y’ = 0\): \(-2x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).

Xét dấu: \(y’ > 0\) khi \(x < 3\); \(y’ < 0\) khi \(x > 3\).

Giá trị cực đại: \(y(3) = -9 + 18 – 5 = 4\).

Bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)		\(3\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(y\)	\(-\infty\)	↗	\(4\) CĐ	↘	\(-\infty\)

Hàm số đạt cực đại bằng \(4\) tại \(x = 3\).

Bài tập 2

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 1\).

Lời giải:

Đạo hàm: \(y’ = 6x^2 + 6x – 12 = 6(x^2 + x – 2) = 6(x + 2)(x – 1)\).

Giải \(y’ = 0\): \(x = -2\) hoặc \(x = 1\).

Xét dấu \(y’\):

• \(y’ > 0\) khi \(x < -2\) hoặc \(x > 1\)
• \(y’ < 0\) khi \(-2 < x < 1\)

Tính giá trị:

• \(y(-2) = 2(-8) + 3(4) – 12(-2) + 1 = -16 + 12 + 24 + 1 = 21\)
• \(y(1) = 2 + 3 – 12 + 1 = -6\)

Bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(-\infty\)	↗	\(21\) CĐ	↘	\(-6\) CT	↗	\(+\infty\)

Hàm số đạt cực đại bằng \(21\) tại \(x = -2\), cực tiểu bằng \(-6\) tại \(x = 1\).

Bài tập 3

Vẽ bảng biến thiên của hàm số \(y = \frac{x + 3}{x – 2}\).

Lời giải:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

Đạo hàm:

\[y’ = \frac{1 \cdot (x – 2) – (x + 3) \cdot 1}{(x – 2)^2} = \frac{-5}{(x – 2)^2}\]

Vì \(y’ < 0\) với mọi \(x \neq 2\), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Tiệm cận đứng: \(x = 2\). Tiệm cận ngang: \(y = 1\).

Giới hạn: \(\lim_{x \to 2^-} y = -\infty\), \(\lim_{x \to 2^+} y = +\infty\).

Bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(-\)	\(\|\)	\(-\)
\(y\)	\(1\)	↘	\(\| -\infty\) \(+\infty \|\)	↘	\(1\)

Bài tập 4

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = x^4 – 8x^2 + 7\).

Lời giải:

Đạo hàm: \(y’ = 4x^3 – 16x = 4x(x^2 – 4) = 4x(x – 2)(x + 2)\).

Giải \(y’ = 0\): \(x = -2,\; x = 0,\; x = 2\).

Xét dấu \(y’\):

• \(y’ < 0\) khi \(x < -2\) hoặc \(0 < x < 2\)
• \(y’ > 0\) khi \(-2 < x < 0\) hoặc \(x > 2\)

Tính giá trị:

• \(y(-2) = 16 – 32 + 7 = -9\)
• \(y(0) = 0 – 0 + 7 = 7\)
• \(y(2) = 16 – 32 + 7 = -9\)

Bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(0\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	\(+\infty\)	↘	\(-9\) CT	↗	\(7\) CĐ	↘	\(-9\) CT	↗	\(+\infty\)

Hàm số đạt cực đại bằng \(7\) tại \(x = 0\), cực tiểu bằng \(-9\) tại \(x = \pm 2\).

Bài tập 5

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = x^3 + 3x + 2\).

Lời giải:

Đạo hàm: \(y’ = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1)\).

Vì \(x^2 + 1 > 0\) với mọi \(x\), nên \(y’ > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), không có cực trị.

Bảng biến thiên:

\(x\)	\(-\infty\)		\(+\infty\)
\(y’\)		\(+\)
\(y\)	\(-\infty\)	↗	\(+\infty\)

11. Kết luận

Bảng biến thiên là công cụ không thể thiếu khi khảo sát hàm số. Quy trình lập bảng biến thiên luôn gồm 5 bước cốt lõi: tìm tập xác định, tính đạo hàm, giải \(f'(x) = 0\), xét dấu đạo hàm và vẽ bảng biến thiên với mũi tên biểu diễn chiều biến thiên. Mỗi loại hàm số (bậc nhất, bậc hai, bậc ba, trùng phương, phân t