Thể tích hình lập phương: Công thức tính khối lập phương chi tiết

Thể tích hình lập phương là một trong những kiến thức hình học cơ bản và quan trọng nhất trong chương trình Toán học từ tiểu học đến trung học. Nắm vững công thức tính thể tích hình lập phương giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các bài toán liên quan đến khối hộp, đo lường và ứng dụng thực tế. Bài viết dưới đây của VJOL sẽ trình bày đầy đủ công thức, cách tính thể tích hình lập phương trong mọi trường hợp kèm ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết.

Hình lập phương là gì?

Hình lập phương (hay còn gọi là khối lập phương) là một hình khối đặc biệt trong hình học không gian, có các đặc điểm sau:

Như vậy, hình lập phương là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật khi cả ba kích thước chiều dài, chiều rộng và chiều cao đều bằng nhau. Hiểu rõ cấu tạo của hình lập phương sẽ giúp chúng ta dễ dàng nắm được công thức tính thể tích hình lập phương ở phần tiếp theo.

Công thức tính thể tích hình lập phương

Thể tích của hình lập phương bằng lập phương (mũ 3) của độ dài cạnh. Đây là công thức cốt lõi và quan trọng nhất mà học sinh cần ghi nhớ:

$$V = a^3$$

Trong đó:

• \( V \): Thể tích của khối lập phương (đơn vị: cm³, dm³, m³,…)
• \( a \): Độ dài cạnh của hình lập phương (đơn vị: cm, dm, m,…)

Giải thích: Vì hình lập phương có chiều dài = chiều rộng = chiều cao = \( a \), nên thể tích được tính bằng: \( V = a \times a \times a = a^3 \).

Ngoài công thức cơ bản trên, ta còn có thể tính thể tích hình lập phương thông qua các đại lượng khác như đường chéo mặt, đường chéo không gian hay diện tích. Cùng tìm hiểu chi tiết các trường hợp dưới đây.

Cách tính thể tích hình lập phương trong các trường hợp

Trường hợp 1: Tính thể tích khi biết độ dài cạnh

Đây là trường hợp đơn giản và phổ biến nhất. Áp dụng trực tiếp công thức:

$$V = a^3$$

Ví dụ: Hình lập phương có cạnh \( a = 5 \) cm. Tính thể tích lập phương.

Giải:

$$V = 5^3 = 125 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Trường hợp 2: Tính thể tích khi biết đường chéo của mặt

Gọi \( d \) là đường chéo của một mặt hình lập phương cạnh \( a \). Theo định lý Pythagore:

$$d = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$$

Thay vào công thức thể tích:

$$V = a^3 = \left(\frac{d\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{d^3 \cdot 2\sqrt{2}}{8} = \frac{d^3\sqrt{2}}{4}$$

Công thức rút gọn:

$$V = \frac{d^3\sqrt{2}}{4}$$

Trường hợp 3: Tính thể tích khi biết đường chéo không gian

Gọi \( D \) là đường chéo không gian của hình lập phương cạnh \( a \). Ta có:

$$D = a\sqrt{3} \Rightarrow a = \frac{D}{\sqrt{3}} = \frac{D\sqrt{3}}{3}$$

Thay vào công thức thể tích:

$$V = a^3 = \left(\frac{D\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{D^3 \cdot 3\sqrt{3}}{27} = \frac{D^3\sqrt{3}}{9}$$

Công thức rút gọn:

$$V = \frac{D^3\sqrt{3}}{9}$$

Trường hợp 4: Tính thể tích khi biết diện tích một mặt

Gọi \( S_m \) là diện tích một mặt của hình lập phương. Vì mỗi mặt là hình vuông cạnh \( a \):

$$S_m = a^2 \Rightarrow a = \sqrt{S_m}$$

Thay vào công thức thể tích:

$$V = a^3 = (\sqrt{S_m})^3 = S_m\sqrt{S_m} = S_m^{3/2}$$

Trường hợp 5: Tính thể tích khi biết diện tích toàn phần

Gọi \( S_{tp} \) là diện tích toàn phần của hình lập phương. Vì hình lập phương có 6 mặt bằng nhau:

$$S_{tp} = 6a^2 \Rightarrow a = \sqrt{\frac{S_{tp}}{6}}$$

Thay vào công thức tính thể tích hình lập phương:

$$V = a^3 = \left(\sqrt{\frac{S_{tp}}{6}}\right)^3 = \left(\frac{S_{tp}}{6}\right)^{3/2}$$

Bảng tổng hợp các công thức giúp bạn dễ dàng tra cứu và ghi nhớ:

Sau khi đã nắm vững lý thuyết và công thức, hãy cùng áp dụng vào các ví dụ minh họa cụ thể để hiểu rõ hơn cách giải bài toán thể tích hình lập phương.

Ví dụ minh họa tính thể tích hình lập phương

Ví dụ 1: Tính thể tích khi biết cạnh

Đề bài: Một hình lập phương có cạnh bằng 7 cm. Tính thể tích của hình lập phương đó.

Lời giải:

Áp dụng công thức \( V = a^3 \):

$$V = 7^3 = 343 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Vậy thể tích hình lập phương bằng 343 cm³.

Ví dụ 2: Tính thể tích khi biết đường chéo mặt

Đề bài: Một khối lập phương có đường chéo của mặt bằng \( 6\sqrt{2} \) cm. Tính thể tích khối lập phương đó.

Lời giải:

Từ đường chéo mặt, tính cạnh:

$$d = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6 \text{ (cm)}$$

Tính thể tích:

$$V = 6^3 = 216 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Vậy thể tích khối lập phương bằng 216 cm³.

Ví dụ 3: Tính thể tích khi biết đường chéo không gian

Đề bài: Hình lập phương có đường chéo không gian bằng \( 4\sqrt{3} \) cm. Tính thể tích hình lập phương.

Lời giải:

Từ đường chéo không gian, tính cạnh:

$$D = a\sqrt{3} \Rightarrow a = \frac{D}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \text{ (cm)}$$

Tính thể tích:

$$V = 4^3 = 64 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Vậy thể tích hình lập phương bằng 64 cm³.

Ví dụ 4: Tính thể tích khi biết diện tích toàn phần

Đề bài: Hình lập phương có diện tích toàn phần bằng 150 cm². Tính thể tích hình lập phương đó.

Lời giải:

Tính cạnh từ diện tích toàn phần:

$$S_{tp} = 6a^2 \Rightarrow a^2 = \frac{150}{6} = 25 \Rightarrow a = 5 \text{ (cm)}$$

Tính thể tích:

$$V = 5^3 = 125 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Vậy thể tích hình lập phương bằng 125 cm³.

Ví dụ 5: Bài toán thực tế

Đề bài: Một bể nước hình lập phương có cạnh 1,2 m. Hỏi bể chứa được tối đa bao nhiêu lít nước? (Biết 1 m³ = 1000 lít)

Lời giải:

Thể tích của hình lập phương (bể nước):

$$V = 1{,}2^3 = 1{,}728 \text{ (m}^3\text{)}$$

Đổi sang lít:

$$V = 1{,}728 \times 1000 = 1728 \text{ (lít)}$$

Vậy bể chứa được tối đa 1728 lít nước.

Để củng cố kiến thức, các bạn hãy thử sức với các bài tập tự luyện dưới đây.

Bài tập tự luyện thể tích hình lập phương

Bài 1: Tính thể tích lập phương có cạnh bằng 9 cm.

Bài 2: Hình lập phương có diện tích một mặt bằng 64 cm². Tính thể tích.

Bài 3: Hình lập phương có đường chéo không gian bằng \( 5\sqrt{3} \) cm. Tính thể tích.

Bài 4: Một thùng hàng hình lập phương có diện tích toàn phần là 216 dm². Tính thể tích thùng hàng.

Bài 5: Hình lập phương có thể tích bằng 512 cm³. Tính độ dài cạnh và diện tích toàn phần.

Đáp án bài tập tự luyện

Kết luận

Thể tích hình lập phương là kiến thức nền tảng trong hình học không gian mà mọi học sinh cần nắm vững. Chỉ cần ghi nhớ công thức cơ bản \( V = a^3 \) và biết cách suy ra cạnh từ các đại lượng khác (đường chéo mặt, đường chéo không gian, diện tích), bạn có thể giải quyết mọi dạng bài tập liên quan đến thể tích hình lập phương. Hy vọng bài viết của VJOL đã giúp bạn hiểu rõ cách tính thể tích hình lập phương và tự tin áp dụng vào học tập cũng như thực tiễn.