Công thức tứ phân vị: Cách tính Q1, Q2, Q3 chi tiết nhất
Công thức tứ phân vị là kiến thức quan trọng trong thống kê mô tả, giúp chia tập dữ liệu thành 4 phần bằng nhau để phân tích sự phân bố. Bài viết này hướng dẫn chi tiết cách tính tứ phân vị Q1, Q2, Q3, giải thích khoảng tứ phân vị là gì và cung cấp các ví dụ minh họa cụ thể giúp bạn tìm tứ phân vị nhanh chóng, chính xác.
1. Tứ phân vị là gì?
Tứ phân vị (Quartile) là các giá trị chia một tập dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần thành 4 phần bằng nhau, mỗi phần chứa 25% số liệu.
Có 3 tứ phân vị chính:
| Ký hiệu | Tên gọi | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Q1 | Tứ phân vị thứ nhất | 25% dữ liệu nhỏ hơn Q1, 75% dữ liệu lớn hơn Q1 |
| Q2 | Tứ phân vị thứ hai (Trung vị) | 50% dữ liệu nhỏ hơn Q2, 50% dữ liệu lớn hơn Q2 |
| Q3 | Tứ phân vị thứ ba | 75% dữ liệu nhỏ hơn Q3, 25% dữ liệu lớn hơn Q3 |
Minh họa trực quan:
Min -------- Q1 -------- Q2 -------- Q3 -------- Max
25% 25% 25% 25%
2. Công thức tính tứ phân vị
Các cách tính tứ phân vị bao gồm:
2.1. Các bước tính tứ phân vị
Cách tính Q1 Q2 Q3 theo các bước sau:
- Bước 1: Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần
- Bước 2: Tìm Q2 (trung vị) – chia dữ liệu thành 2 nửa
- Bước 3: Tìm Q1 – trung vị của nửa dưới
- Bước 4: Tìm Q3 – trung vị của nửa trên
2.2. Công thức xác định vị trí tứ phân vị
Công thức tính tứ phân vị dựa trên vị trí trong dãy số có n phần tử:
| Tứ phân vị | Công thức vị trí |
|---|---|
| Q1 | \( \text{Vị trí } Q_1 = \frac{n + 1}{4} \) |
| Q2 | \( \text{Vị trí } Q_2 = \frac{n + 1}{2} \) |
| Q3 | \( \text{Vị trí } Q_3 = \frac{3(n + 1)}{4} \) |
Trong đó: n là số phần tử của tập dữ liệu.
2.3. Quy tắc xử lý khi vị trí không nguyên
Khi vị trí tính được là số thập phân, ta dùng phép nội suy tuyến tính:
\( Q = x_k + d \times (x_{k+1} – x_k) \)
Trong đó:
- \( k \): phần nguyên của vị trí
- \( d \): phần thập phân của vị trí
- \( x_k \), \( x_{k+1} \): giá trị tại vị trí thứ k và k+1
2.4. Phương pháp tính tứ phân vị theo trung vị (phổ biến)
Cách tìm tứ phân vị phổ biến nhất trong chương trình phổ thông:
Trường hợp 1: n lẻ
- Q2 = giá trị ở vị trí \( \frac{n+1}{2} \)
- Q1 = trung vị của nửa dưới (không bao gồm Q2)
- Q3 = trung vị của nửa trên (không bao gồm Q2)
Trường hợp 2: n chẵn
- Q2 = trung bình cộng của hai giá trị giữa
- Q1 = trung vị của nửa dưới
- Q3 = trung vị của nửa trên
3. Khoảng tứ phân vị là gì?
Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range – IQR) là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, đo lường độ phân tán của 50% dữ liệu ở giữa.
3.1. Công thức khoảng tứ phân vị
\( IQR = Q_3 – Q_1 \)
3.2. Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị
- IQR nhỏ: Dữ liệu tập trung, ít phân tán
- IQR lớn: Dữ liệu phân tán rộng
- Ưu điểm: Không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ (outliers)
3.3. Ứng dụng phát hiện giá trị ngoại lệ
Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định giá trị ngoại lệ theo quy tắc:
| Loại giá trị | Điều kiện |
|---|---|
| Giá trị ngoại lệ dưới | \( x < Q_1 – 1,5 \times IQR \) |
| Giá trị ngoại lệ trên | \( x > Q_3 + 1,5 \times IQR \) |
| Giá trị bình thường | \( Q_1 – 1,5 \times IQR \leq x \leq Q_3 + 1,5 \times IQR \) |
4. Bảng tổng hợp công thức tứ phân vị
| Đại lượng | Công thức | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Q1 | Trung vị nửa dưới hoặc vị trí \( \frac{n+1}{4} \) | 25% dữ liệu ≤ Q1 |
| Q2 | Trung vị hoặc vị trí \( \frac{n+1}{2} \) | 50% dữ liệu ≤ Q2 |
| Q3 | Trung vị nửa trên hoặc vị trí \( \frac{3(n+1)}{4} \) | 75% dữ liệu ≤ Q3 |
| IQR | \( Q_3 – Q_1 \) | Độ phân tán 50% dữ liệu giữa |
5. Ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết
1 số bài tập điển hình giúp học sinh hiểu hơn về lý thuyết đã trình bày ở trên:
Ví dụ 1: Tính tứ phân vị với n lẻ
Đề bài: Tìm tứ phân vị Q1, Q2, Q3 của dãy số: 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21, 13, 18
Lời giải:
Bước 1: Sắp xếp dữ liệu tăng dần:
3, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21
Số phần tử: n = 9 (lẻ)
Bước 2: Tìm Q2 (trung vị):
Vị trí Q2 = \( \frac{9+1}{2} = 5 \)
\( Q_2 = 12 \)
Bước 3: Tìm Q1:
Nửa dưới (không gồm Q2): 3, 5, 7, 8
Q1 = trung vị của (3, 5, 7, 8) = \( \frac{5 + 7}{2} = 6 \)
Bước 4: Tìm Q3:
Nửa trên (không gồm Q2): 13, 14, 18, 21
Q3 = trung vị của (13, 14, 18, 21) = \( \frac{14 + 18}{2} = 16 \)
Đáp số: \( Q_1 = 6 \), \( Q_2 = 12 \), \( Q_3 = 16 \)
Ví dụ 2: Tính tứ phân vị với n chẵn
Đề bài: Tính tứ phân vị của dãy điểm: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15, 17
Lời giải:
Bước 1: Dữ liệu đã sắp xếp: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15, 17
Số phần tử: n = 8 (chẵn)
Bước 2: Tìm Q2:
\( Q_2 = \frac{x_4 + x_5}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9 \)
Bước 3: Tìm Q1:
Nửa dưới: 4, 6, 7, 8
\( Q_1 = \frac{6 + 7}{2} = 6,5 \)
Bước 4: Tìm Q3:
Nửa trên: 10, 12, 15, 17
\( Q_3 = \frac{12 + 15}{2} = 13,5 \)
Đáp số: \( Q_1 = 6,5 \), \( Q_2 = 9 \), \( Q_3 = 13,5 \)
Ví dụ 3: Tính khoảng tứ phân vị
Đề bài: Từ ví dụ 2, tính khoảng tứ phân vị và xác định xem giá trị 25 có phải là ngoại lệ không?
Lời giải:
Ta có: \( Q_1 = 6,5 \), \( Q_3 = 13,5 \)
Tính IQR:
\( IQR = Q_3 – Q_1 = 13,5 – 6,5 = 7 \)
Xác định ngưỡng ngoại lệ:
- Ngưỡng dưới: \( Q_1 – 1,5 \times IQR = 6,5 – 1,5 \times 7 = 6,5 – 10,5 = -4 \)
- Ngưỡng trên: \( Q_3 + 1,5 \times IQR = 13,5 + 1,5 \times 7 = 13,5 + 10,5 = 24 \)
Kiểm tra giá trị 25:
Vì \( 25 > 24 \), nên 25 là giá trị ngoại lệ trên.
Đáp số: IQR = 7, giá trị 25 là ngoại lệ.
Ví dụ 4: Cách tính Q1 Q2 Q3 bằng công thức vị trí
Đề bài: Tìm tứ phân vị của dãy: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 bằng công thức vị trí.
Lời giải:
Số phần tử: n = 7
Tính vị trí:
- Vị trí Q1 = \( \frac{7+1}{4} = 2 \) → \( Q_1 = x_2 = 4 \)
- Vị trí Q2 = \( \frac{7+1}{2} = 4 \) → \( Q_2 = x_4 = 8 \)
- Vị trí Q3 = \( \frac{3(7+1)}{4} = 6 \) → \( Q_3 = x_6 = 12 \)
Đáp số: \( Q_1 = 4 \), \( Q_2 = 8 \), \( Q_3 = 12 \)
Ví dụ 5: Nội suy khi vị trí không nguyên
Đề bài: Tính tứ phân vị của dãy: 5, 8, 12, 15, 20, 25
Lời giải:
Số phần tử: n = 6
Tính vị trí Q1:
Vị trí Q1 = \( \frac{6+1}{4} = 1,75 \)
Phần nguyên k = 1, phần thập phân d = 0,75
\( Q_1 = x_1 + 0,75 \times (x_2 – x_1) = 5 + 0,75 \times (8-5) = 5 + 2,25 = 7,25 \)
Tính vị trí Q2:
Vị trí Q2 = \( \frac{6+1}{2} = 3,5 \)
\( Q_2 = x_3 + 0,5 \times (x_4 – x_3) = 12 + 0,5 \times (15-12) = 12 + 1,5 = 13,5 \)
Tính vị trí Q3:
Vị trí Q3 = \( \frac{3(6+1)}{4} = 5,25 \)
\( Q_3 = x_5 + 0,25 \times (x_6 – x_5) = 20 + 0,25 \times (25-20) = 20 + 1,25 = 21,25 \)
Đáp số: \( Q_1 = 7,25 \), \( Q_2 = 13,5 \), \( Q_3 = 21,25 \)
Ví dụ 6: Bài toán thực tế
Đề bài: Điểm kiểm tra của 12 học sinh: 45, 52, 58, 62, 65, 68, 72, 75, 78, 82, 88, 95. Tính tứ phân vị và nhận xét về sự phân bố điểm.
Lời giải:
Dữ liệu đã sắp xếp, n = 12 (chẵn)
Tìm Q2:
\( Q_2 = \frac{x_6 + x_7}{2} = \frac{68 + 72}{2} = 70 \)
Tìm Q1:
Nửa dưới: 45, 52, 58, 62, 65, 68
\( Q_1 = \frac{58 + 62}{2} = 60 \)
Tìm Q3:
Nửa trên: 72, 75, 78, 82, 88, 95
\( Q_3 = \frac{78 + 82}{2} = 80 \)
Khoảng tứ phân vị:
\( IQR = Q_3 – Q_1 = 80 – 60 = 20 \)
Nhận xét:
- 25% học sinh có điểm ≤ 60 (dưới trung bình)
- 50% học sinh có điểm từ 60 đến 80
- 25% học sinh có điểm ≥ 80 (giỏi)
- IQR = 20 cho thấy độ phân tán vừa phải
Đáp số: \( Q_1 = 60 \), \( Q_2 = 70 \), \( Q_3 = 80 \), IQR = 20
6. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm tứ phân vị của dãy: 11, 15, 18, 22, 25, 28, 32, 35, 40
Bài 2: Tính Q1, Q2, Q3 của dãy: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
Bài 3: Cho dãy số: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Tính khoảng tứ phân vị.
Bài 4: Điểm thi của 15 sinh viên: 42, 48, 55, 58, 62, 65, 68, 70, 72, 75, 78, 82, 85, 90, 95. Tìm tứ phân vị và xác định xem có giá trị ngoại lệ không.
Bài 5: Cho Q1 = 25, Q3 = 45. Tính IQR và xác định ngưỡng ngoại lệ.
Đáp án tham khảo
- \( Q_1 = 16,5 \), \( Q_2 = 25 \), \( Q_3 = 33,5 \)
- \( Q_1 = 15 \), \( Q_2 = 27,5 \), \( Q_3 = 40 \)
- IQR = 8
- \( Q_1 = 58 \), \( Q_2 = 70 \), \( Q_3 = 82 \); Không có giá trị ngoại lệ
- IQR = 20; Ngưỡng dưới: -5; Ngưỡng trên: 75
7. Kết luận
Công thức tứ phân vị là công cụ quan trọng giúp phân tích và mô tả sự phân bố dữ liệu một cách trực quan. Nắm vững cách tính tứ phân vị Q1, Q2, Q3 cùng với việc hiểu rõ khoảng tứ phân vị là gì sẽ giúp bạn đánh giá độ phân tán dữ liệu và phát hiện các giá trị bất thường hiệu quả. Hãy luyện tập tìm tứ phân vị thường xuyên để thành thạo kỹ năng này trong học tập và ứng dụng thực tế.
Có thể bạn quan tâm
