Chu vi hình thang: Công thức tính chu vi, nửa chu vi chi tiết

Bán kính đường tròn nội tiếp hình thang và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thang là kiến thức nâng cao trong hình học phẳng. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững công thức tính bán kính hình thang, điều kiện để hình thang có đường tròn nội tiếp/ngoại tiếp, cùng cách tính bán kính hình thang chi tiết với ví dụ minh họa dễ hiểu nhất.

Điều kiện để hình thang có đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp

Trước khi tìm hiểu công thức tính bán kính hình thang, cần lưu ý rằng không phải hình thang nào cũng có đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp.

Điều kiện có đường tròn nội tiếp

Định lý: Hình thang có đường tròn nội tiếp khi và chỉ khi tổng hai đáy bằng tổng hai cạnh bên.

Với hình thang ABCD có đáy lớn AB = a, đáy nhỏ CD = b, hai cạnh bên AD = c và BC = d:

\[ a + b = c + d \]

         D _________ C
        /     ○     \
       /      r      \
      /               \
     A ________________ B
     
Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cả 4 cạnh
Điều kiện: AB + CD = AD + BC

Giải thích: Đây là trường hợp đặc biệt của định lý: “Tứ giác có đường tròn nội tiếp khi và chỉ khi tổng hai cặp cạnh đối bằng nhau”.

Điều kiện có đường tròn ngoại tiếp

Định lý: Hình thang có đường tròn ngoại tiếp khi và chỉ khi đó là hình thang cân.

Hình thang ABCD có đường tròn ngoại tiếp ⟺ AD = BC (hình thang cân)

           ___________
         /             \
        D ___________  C
       /       ○       \
      /        R        \
     A _________________ B
     
Đường tròn ngoại tiếp đi qua cả 4 đỉnh
Điều kiện: Hình thang cân (AD = BC)

Giải thích: Tứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối bằng 180°. Trong hình thang, điều này chỉ xảy ra khi hình thang cân.

Bảng tổng hợp điều kiện

Loại đường tròn	Điều kiện	Ghi chú
Đường tròn nội tiếp	\( a + b = c + d \)	Tổng hai đáy = Tổng hai cạnh bên
Đường tròn ngoại tiếp	\( c = d \) (hình thang cân)	Hai cạnh bên bằng nhau
Cả hai	\( a + b = 2c \) và \( c = d \)	Hình thang cân + điều kiện nội tiếp

Tiếp theo, hãy xem công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp hình thang.

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp hình thang

Bán kính đường tròn nội tiếp hình thang được tính theo các công thức sau (với điều kiện hình thang có đường tròn nội tiếp).

Ký hiệu

Cho hình thang ABCD với:

• Đáy lớn: AB = a
• Đáy nhỏ: CD = b
• Cạnh bên: AD = c, BC = d
• Chiều cao: h
• Diện tích: S
• Nửa chu vi: \( p = \frac{a + b + c + d}{2} \)

Công thức 1: Theo diện tích và nửa chu vi

Công thức:

\[ r = \frac{S}{p} \]

Trong đó:

• \( r \): Bán kính đường tròn nội tiếp
• \( S \): Diện tích hình thang
• \( p \): Nửa chu vi hình thang

Chứng minh:

Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cả 4 cạnh. Nối tâm I với 4 đỉnh, ta chia hình thang thành 4 tam giác có chung chiều cao r.

\[ S = S_{IAB} + S_{IBC} + S_{ICD} + S_{IDA} \]

\[ S = \frac{1}{2}r \cdot a + \frac{1}{2}r \cdot d + \frac{1}{2}r \cdot b + \frac{1}{2}r \cdot c \]

\[ S = \frac{1}{2}r(a + b + c + d) = r \cdot p \]

\[ \Rightarrow r = \frac{S}{p} \]

Công thức 2: Theo chiều cao và chu vi

Vì \( a + b = c + d \), nên \( p = \frac{a + b + c + d}{2} = a + b = c + d \)

Diện tích hình thang: \( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \)

Công thức:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{(a+b) \cdot h}{2}}{a + b} = \frac{h}{2} \]

Kết luận quan trọng: Trong hình thang có đường tròn nội tiếp:

\[ r = \frac{h}{2} \]

Nghĩa là bán kính đường tròn nội tiếp bằng một nửa chiều cao hình thang.

Công thức 3: Theo các cạnh (hình thang cân)

Với hình thang cân có đường tròn nội tiếp (c = d và a + b = 2c):

Chiều cao: \( h = \sqrt{c^2 – \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} \)

\[ r = \frac{h}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{c^2 – \frac{(a-b)^2}{4}} \]

Bảng tổng hợp công thức bán kính nội tiếp

Công thức	Điều kiện áp dụng
\( r = \frac{S}{p} \)	Biết diện tích và nửa chu vi
\( r = \frac{h}{2} \)	Công thức nhanh nhất – Biết chiều cao
\( r = \frac{1}{2}\sqrt{c^2 – \frac{(a-b)^2}{4}} \)	Hình thang cân, biết các cạnh

Tiếp theo là công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thang.

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thang

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thang chỉ tồn tại khi hình thang là hình thang cân.

Ký hiệu

Cho hình thang cân ABCD với:

• Đáy lớn: AB = a
• Đáy nhỏ: CD = b
• Cạnh bên: AD = BC = c
• Chiều cao: h
• Đường chéo: AC = BD = d

Công thức 1: Theo đường chéo và chiều cao

Công thức:

\[ R = \frac{d^2}{2h} \]

Trong đó:

• \( R \): Bán kính đường tròn ngoại tiếp
• \( d \): Độ dài đường chéo
• \( h \): Chiều cao hình thang

Công thức 2: Theo các cạnh

Đường chéo hình thang cân: \( d = \sqrt{c^2 + ab} \)

Chiều cao: \( h = \sqrt{c^2 – \frac{(a-b)^2}{4}} \)

Công thức:

\[ R = \frac{c^2 + ab}{2\sqrt{c^2 – \frac{(a-b)^2}{4}}} \]

Hay viết gọn:

\[ R = \frac{c^2 + ab}{2h} \]

Công thức 3: Sử dụng định lý sin

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC (với đường chéo AC):

\[ R = \frac{AC}{2\sin B} \]

Trong hình thang cân, góc B = góc A (hai góc đáy lớn):

\[ R = \frac{d}{2\sin B} \]

Công thức 4: Theo diện tích và các cạnh

Chia hình thang thành các tam giác, áp dụng công thức:

\[ R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S_{\triangle}} \]

Với tam giác ABC trong hình thang:

\[ R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S_{ABC}} = \frac{a \cdot c \cdot d}{4S_{ABC}} \]

Bảng tổng hợp công thức bán kính ngoại tiếp

Công thức	Điều kiện áp dụng
\( R = \frac{d^2}{2h} \)	Biết đường chéo và chiều cao
\( R = \frac{c^2 + ab}{2h} \)	Biết các cạnh và chiều cao
\( R = \frac{d}{2\sin B} \)	Biết đường chéo và góc đáy
\( R = \frac{c^2 + ab}{2\sqrt{c^2 – \frac{(a-b)^2}{4}}} \)	Chỉ biết các cạnh

Hình thang cân – Trường hợp đặc biệt

Hình thang cân có thể có cả đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp khi thỏa mãn điều kiện đặc biệt.

Điều kiện để hình thang cân có cả đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp

Hình thang cân ABCD (với AD = BC = c) có cả hai đường tròn khi:

\[ a + b = 2c \]

Nghĩa là: Tổng hai đáy bằng hai lần cạnh bên.

Công thức đặc biệt

Khi hình thang cân có cả đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp:

Bán kính nội tiếp:

\[ r = \frac{h}{2} \]

Bán kính ngoại tiếp:

\[ R = \frac{c^2 + ab}{2h} \]

Mối quan hệ giữa r và R:

\[ R = \frac{c^2 + ab}{4r} \]

Hình thang cân đặc biệt: a + b = 2c

Với điều kiện a + b = 2c, ta có một số kết quả:

Đại lượng	Công thức
Chiều cao	\( h = \sqrt{c^2 – \frac{(a-b)^2}{4}} \)
Đường chéo	\( d = \sqrt{c^2 + ab} \)
Diện tích	\( S = \frac{(a+b) \cdot h}{2} = c \cdot h \)
Bán kính nội tiếp	\( r = \frac{h}{2} \)
Bán kính ngoại tiếp	\( R = \frac{c^2 + ab}{2h} \)

Ví dụ đặc biệt

Ví dụ: Hình thang cân có a = 10, b = 6, c = 8. Kiểm tra và tính r, R.

Giải:

Kiểm tra: a + b = 10 + 6 = 16 = 2 × 8 = 2c ✓

→ Hình thang có cả đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.

Chiều cao: \( h = \sqrt{8^2 – \frac{(10-6)^2}{4}} = \sqrt{64 – 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \)

Bán kính nội tiếp: \( r = \frac{h}{2} = \sqrt{15} \approx 3,87 \)

Bán kính ngoại tiếp: \( R = \frac{64 + 60}{2 \times 2\sqrt{15}} = \frac{124}{4\sqrt{15}} = \frac{31}{\sqrt{15}} = \frac{31\sqrt{15}}{15} \approx 8,01 \)

Cách tính bán kính hình thang theo từng bước

Cách tính bán kính hình thang cần thực hiện theo các bước sau:

Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp

Bước 1: Kiểm tra điều kiện tồn tại đường tròn nội tiếp

• Kiểm tra: \( a + b = c + d \)?
• Nếu không thỏa mãn → Không có đường tròn nội tiếp

Bước 2: Tính chiều cao hình thang (nếu chưa biết)

• Nếu biết cạnh bên và hai đáy: \( h = \sqrt{c^2 – \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} \) (với hình thang cân)
• Hoặc tính từ diện tích: \( h = \frac{2S}{a+b} \)

Bước 3: Áp dụng công thức

\[ r = \frac{h}{2} \]

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Bước 1: Kiểm tra điều kiện tồn tại đường tròn ngoại tiếp

• Kiểm tra: Hình thang có cân không (c = d)?
• Nếu không phải hình thang cân → Không có đường tròn ngoại tiếp

Bước 2: Tính các đại lượng cần thiết

• Chiều cao: \( h = \sqrt{c^2 – \frac{(a-b)^2}{4}} \)
• Đường chéo (nếu cần): \( d = \sqrt{c^2 + ab} \)

Bước 3: Áp dụng công thức

\[ R = \frac{c^2 + ab}{2h} \quad \text{hoặc} \quad R = \frac{d^2}{2h} \]

Sơ đồ quy trình

BÀI TOÁN BÁN KÍNH HÌNH THANG
            |
     ┌──────┴──────┐
     ↓             ↓
  NỘI TIẾP     NGOẠI TIẾP
     |             |
     ↓             ↓
Kiểm tra:     Kiểm tra:
a + b = c + d?   c = d?
     |             |
     ↓             ↓
  Tính h        Tính h, d
     |             |
     ↓             ↓
  r = h/2     R = (c²+ab)/2h

Ví dụ tính bán kính hình thang chi tiết

Dưới đây là các ví dụ minh họa cách tính bán kính hình thang từ cơ bản đến nâng cao:

Ví dụ 1: Tính bán kính nội tiếp

Đề bài: Hình thang ABCD có AB = 14 cm, CD = 6 cm, AD = 8 cm, BC = 12 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp hình thang.

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện

\[ a + b = 14 + 6 = 20 \]

\[ c + d = 8 + 12 = 20 \]

Vì a + b = c + d → Hình thang có đường tròn nội tiếp ✓

Bước 2: Tính chiều cao

Đây không phải hình thang cân, cần dựng chiều cao từ D và C.

Gọi H, K là chân đường cao từ D và C.

AH + HK + KB = 14 và HK = 6

→ AH + KB = 8

Gọi AH = x, thì KB = 8 – x

Từ tam giác vuông ADH: \( h^2 = 64 – x^2 \)

Từ tam giác vuông BCK: \( h^2 = 144 – (8-x)^2 \)

\[ 64 – x^2 = 144 – (8-x)^2 \]

\[ 64 – x^2 = 144 – 64 + 16x – x^2 \]

\[ 64 = 80 + 16x \]

\[ x = -1 \] (không hợp lý, cần kiểm tra lại bài toán)

Thử lại với AH = x, KB = 8 – x và tổng = 8:

\[ h^2 = 64 – x^2 = 144 – (8-x)^2 \]

Giải: \( h = \sqrt{64 – 1} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} \) cm (với x = 1)

Bước 3: Tính bán kính nội tiếp

\[ r = \frac{h}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{2} \approx 3,97 \text{ cm} \]

Ví dụ 2: Tính bán kính ngoại tiếp hình thang cân

Đề bài: Hình thang cân ABCD có AB = 12 cm, CD = 4 cm, cạnh bên BC = AD = 5 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thang.

Lời giải:

Bước 1: Vì hình thang cân → Có đường tròn ngoại tiếp ✓

Bước 2: Tính chiều cao

\[ h = \sqrt{c^2 – \frac{(a-b)^2}{4}} = \sqrt{25 – \frac{64}{4}} = \sqrt{25 – 16} = 3 \text{ cm} \]

Bước 3: Tính bán kính ngoại tiếp

\[ R = \frac{c^2 + ab}{2h} = \frac{25 + 48}{6} = \frac{73}{6} \approx 12,17 \text{ cm} \]

Kiểm tra bằng đường chéo:

\[ d = \sqrt{c^2 + ab} = \sqrt{25 + 48} = \sqrt{73} \]

\[ R = \frac{d^2}{2h} = \frac{73}{6} \] ✓

Đáp số: R ≈ 12,17 cm

Ví dụ 3: Hình thang cân có cả đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp

Đề bài: Hình thang cân có đáy lớn 18 cm, đáy nhỏ 8 cm, cạnh bên 13 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.

Lời giải:

Kiểm tra điều kiện nội tiếp:

\[ a + b = 18 + 8 = 26 \]

\[ 2c = 2 \times 13 = 26 \]

a + b = 2c ✓ → Có đường tròn nội tiếp

Tính chiều cao:

\[ h = \sqrt{13^2 – \frac{(18-8)^2}{4}} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \]

Bán kính nội tiếp:

\[ r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \]

Bán kính ngoại tiếp:

\[ R = \frac{c^2 + ab}{2h} = \frac{169 + 144}{24} = \frac{313}{24} \approx 13,04 \text{ cm} \]

Đáp số: r = 6 cm, R ≈ 13,04 cm

Ví dụ 4: Tìm cạnh khi biết bán kính

Đề bài: Hình thang cân có đường tròn nội tiếp bán kính 4 cm, đáy lớn 15 cm, đáy nhỏ 7 cm. Tính cạnh bên.

Lời giải:

Từ r = h/2 → h = 2r = 8 cm

Kiểm tra điều kiện nội tiếp: a + b = 2c

\[ 15 + 7 = 2c \Rightarrow c = 11 \text{ cm} \]

Kiểm tra bằng định lý Pythagore:

\[ h = \sqrt{c^2 – \frac{(a-b)^2}{4}} = \sqrt{121 – 16} = \sqrt{105} \neq 8 \]

→ Bài toán không có nghiệm với các số liệu đã cho (cần điều chỉnh đề bài).

Ví dụ 5: Bài toán ngược – Tìm chiều cao khi biết bán kính

Đề bài: Hình thang có đường tròn nội tiếp bán kính 5 cm. Tính chiều cao hình thang.

Lời giải:

Áp dụng công thức: r = h/2

\[ h = 2r = 2 \times 5 = 10 \text{ cm} \]

Đáp số: Chiều cao hình thang là 10 cm.

Bài tập bán kính đường tròn hình thang (có lời giải)

Dưới đây là các bài tập về bán kính đường tròn nội tiếp hình thang và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thang:

Dạng 1: Tính bán kính nội tiếp

Bài tập 1: Hình thang có đường tròn nội tiếp, chiều cao bằng:

a) 10 cm

b) 14 cm

c) 7,5 cm

Tính bán kính đường tròn nội tiếp.

Lời giải:

Áp dụng công thức r = h/2:

a) r = 10/2 = 5 cm

b) r = 14/2 = 7 cm

c) r = 7,5/2 = 3,75 cm

Dạng 2: Tính bán kính ngoại tiếp

Bài tập 2: Hình thang cân có đáy lớn 20 cm, đáy nhỏ 12 cm, cạnh bên 10 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải:

Chiều cao:

\[ h = \sqrt{10^2 – \frac{(20-12)^2}{4}} = \sqrt{100 – 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \text{ cm} \]

Bán kính ngoại tiếp:

\[ R = \frac{c^2 + ab}{2h} = \frac{100 + 240}{4\sqrt{21}} = \frac{340}{4\sqrt{21}} = \frac{85}{\sqrt{21}} = \frac{85\sqrt{21}}{21} \approx 18,54 \text{ cm} \]

Dạng 3: Kiểm tra điều kiện tồn tại

Bài tập 3: Hình thang ABCD có AB = 15, CD = 9, AD = 10, BC = 14. Hỏi hình thang có:

a) Đường tròn nội tiếp không?

b) Đường tròn ngoại tiếp không?

Lời giải:

a) Kiểm tra: a + b = 15 + 9 = 24, c + d = 10 + 14 = 24

a + b = c + d → Có đường tròn nội tiếp ✓

b) Kiểm tra: AD = 10 ≠ BC = 14

Không phải hình thang cân → Không có đường tròn ngoại tiếp ✗

Dạng 4: Tính cả hai bán kính

Bài tập 4: Hình thang cân có đáy lớn 24 cm, đáy nhỏ 10 cm, cạnh bên 17 cm. Kiểm tra điều kiện và tính bán kính nội tiếp, ngoại tiếp (nếu có).

Lời giải:

Kiểm tra nội tiếp:

a + b = 24 + 10 = 34, 2c = 34 → a + b = 2c ✓

→ Có đường tròn nội tiếp

Vì là hình thang cân → Có đường tròn ngoại tiếp

Tính chiều cao:

\[ h = \sqrt{17^2 – \frac{(24-10)^2}{4}} = \sqrt{289 – 49} = \sqrt{240} = 4\sqrt{15} \text{ cm} \]

Bán kính nội tiếp:

\[ r = \frac{h}{2} = 2\sqrt{15} \approx 7,75 \text{ cm} \]

Bán kính ngoại tiếp:

\[ R = \frac{c^2 + ab}{2h} = \frac{289 + 240}{8\sqrt{15}} = \frac{529}{8\sqrt{15}} = \frac{529\sqrt{15}}{120} \approx 17,08 \text{ cm} \]

Dạng 5: Bài toán ngược

Bài tập 5: Hình thang cân có đường tròn nội tiếp bán kính 6 cm, đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ, đáy nhỏ bằng cạnh bên. Tính các cạnh của hình thang.

Lời giải:

Đặt: Đáy nhỏ = cạnh bên = c, đáy lớn = 2c

Kiểm tra điều kiện nội tiếp: a + b = 2c

\[ 2c + c = 2c \] → Không thỏa mãn!

Sửa lại: Giả sử a + b = 2c thì 2c + b = 2c → b = 0 (vô lý)

→ Bài toán không có nghiệm với điều kiện đã cho.

Dạng 6: Bài toán nâng cao

Bài tập 6: Cho hình thang cân nội tiếp đường tròn bán kính R = 10 cm, có góc ở đáy lớn bằng 60°. Tính các cạnh của hình thang.

Lời giải:

Trong hình thang cân nội tiếp đường tròn:

Đường chéo: d = 2R sin(góc đối) = 2R sin 120° = 2 × 10 × (√3/2) = 10√3 cm

Gọi đáy lớn = a, đáy nhỏ = b, cạnh bên = c

Từ tam giác ABC: \( \frac{AC}{\sin B} = 2R \)

\[ AC = 2R \sin 60° = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ cm} \]

Chiều cao: h = c sin 60° = c√3/2

Từ đường chéo: d² = c² + ab → 300 = c² + ab

Bài toán cần thêm điều kiện để giải hoàn chỉnh.

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững công thức tính bán kính hình thang với hai trường hợp quan trọng. Bán kính đường tròn nội tiếp hình thang chỉ tồn tại khi a + b = c + d, với công thức đơn giản \( r = \frac{h}{2} \) (bán kính bằng nửa chiều cao). Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thang chỉ tồn tại với hình thang cân, với công thức \( R = \frac{c^2 + ab}{2h} \). Cách tính bán kính hình thang cần bắt đầu bằng việc kiểm tra điều kiện tồn tại, sau đó tính chiều cao và áp dụng công thức phù hợp. Hình thang cân đặc biệt thỏa mãn a + b = 2c sẽ có cả đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.