Lăng trụ đều: Định nghĩa, tính chất và công thức tính đầy đủ
Lăng trụ đều là một trong những hình khối quan trọng nhất trong chương trình hình học không gian. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hình lăng trụ đều là gì, tính chất lăng trụ đều, cùng các công thức tính diện tích, thể tích và bài tập minh họa chi tiết cho hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều.
1. Hình lăng trụ là gì?
Trước khi tìm hiểu về lăng trụ đều, chúng ta cần nắm vững khái niệm cơ bản về hình lăng trụ.
1.1. Định nghĩa hình lăng trụ
Hình lăng trụ là hình khối được tạo bởi hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là các hình bình hành.
1.2. Các yếu tố của hình lăng trụ
| Yếu tố | Mô tả |
|---|---|
| Hai mặt đáy | Hai đa giác bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song |
| Các mặt bên | Các hình bình hành nối hai đáy |
| Các cạnh bên | Các đoạn thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai đáy |
| Chiều cao (h) | Khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy |
1.3. Phân loại hình lăng trụ
Hình lăng trụ được phân loại như sau:
- Lăng trụ xiên: Các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
- Hình lăng trụ đứng: Các cạnh bên vuông góc với mặt đáy
- Lăng trụ đều: Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
2. Hình lăng trụ đều là gì?
Để hiểu hình lăng trụ đều là gì, ta cần nắm rõ khái niệm hình lăng trụ đứng trước.
2.1. Hình lăng trụ đứng
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với hai mặt đáy.
Đặc điểm của hình lăng trụ đứng:
- Các cạnh bên vuông góc với mặt đáy
- Các mặt bên là các hình chữ nhật
- Chiều cao bằng độ dài cạnh bên: \(h = a_{b}\)
2.2. Định nghĩa lăng trụ đều
Lăng trụ đều (hay hình lăng trụ đều) là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Điều kiện để một lăng trụ là lăng trụ đều:
- Là hình lăng trụ đứng (cạnh bên vuông góc với đáy)
- Hai mặt đáy là hai đa giác đều bằng nhau
3. Tính chất lăng trụ đều
Dưới đây là các tính chất hình lăng trụ đều quan trọng cần ghi nhớ:
3.1. Tính chất về mặt đáy
- Hai mặt đáy là hai đa giác đều bằng nhau
- Hai mặt đáy nằm trên hai mặt phẳng song song
- Tâm của hai đa giác đều nằm trên đường thẳng vuông góc với cả hai mặt đáy
3.2. Tính chất về mặt bên
Tính chất lăng trụ đều về các mặt bên:
- Tất cả các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau
- Số mặt bên bằng số cạnh của đa giác đáy
3.3. Tính chất về cạnh bên
- Các cạnh bên song song và bằng nhau
- Các cạnh bên vuông góc với hai mặt đáy
- Độ dài cạnh bên bằng chiều cao lăng trụ
3.4. Bảng tổng hợp tính chất hình lăng trụ đều
| Tính chất | Nội dung chi tiết |
|---|---|
| Mặt đáy | Hai đa giác đều bằng nhau, song song |
| Mặt bên | Các hình chữ nhật bằng nhau |
| Cạnh bên | Song song, bằng nhau, vuông góc với đáy |
| Chiều cao | Bằng độ dài cạnh bên |
| Trục đối xứng | Đường thẳng nối tâm hai đa giác đáy |
4. Các loại hình lăng trụ đều thường gặp
Trong chương trình phổ thông, các dạng lăng trụ đều thường gặp bao gồm:
4.1. Hình lăng trụ tam giác đều
Hình lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đều có đáy là tam giác đều.
Đặc điểm:
- Đáy: Tam giác đều cạnh \(a\)
- Số mặt bên: 3 hình chữ nhật bằng nhau
- Tổng số mặt: 5 mặt (2 đáy + 3 mặt bên)
- Tổng số cạnh: 9 cạnh
- Tổng số đỉnh: 6 đỉnh
Các công thức của lăng trụ tam giác đều:
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Diện tích đáy | \(S_đ = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) |
| Diện tích xung quanh | \(S_{xq} = 3ah\) |
| Diện tích toàn phần | \(S_{tp} = 3ah + \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\) |
| Thể tích | \(V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h\) |
4.2. Hình lăng trụ tứ giác đều
Hình lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đều có đáy là hình vuông.
Đặc điểm:
- Đáy: Hình vuông cạnh \(a\)
- Số mặt bên: 4 hình chữ nhật bằng nhau
- Tổng số mặt: 6 mặt (2 đáy + 4 mặt bên)
- Tổng số cạnh: 12 cạnh
- Tổng số đỉnh: 8 đỉnh
Các công thức của hình lăng trụ tứ giác đều:
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Diện tích đáy | \(S_đ = a^2\) |
| Diện tích xung quanh | \(S_{xq} = 4ah\) |
| Diện tích toàn phần | \(S_{tp} = 4ah + 2a^2\) |
| Thể tích | \(V = a^2 \cdot h\) |
| Đường chéo | \(d = \sqrt{2a^2 + h^2}\) |
4.3. Hình lăng trụ lục giác đều
Hình lăng trụ lục giác đều là lăng trụ đều có đáy là lục giác đều.
Đặc điểm:
- Đáy: Lục giác đều cạnh \(a\)
- Số mặt bên: 6 hình chữ nhật bằng nhau
- Tổng số mặt: 8 mặt
- Tổng số cạnh: 18 cạnh
- Tổng số đỉnh: 12 đỉnh
Các công thức của lăng trụ lục giác đều:
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Diện tích đáy | \(S_đ = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\) |
| Diện tích xung quanh | \(S_{xq} = 6ah\) |
| Diện tích toàn phần | \(S_{tp} = 6ah + 3a^2\sqrt{3}\) |
| Thể tích | \(V = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h\) |
5. Công thức tính lăng trụ đều tổng quát
Gọi lăng trụ đều có đáy là đa giác đều n cạnh, mỗi cạnh có độ dài \(a\), chiều cao \(h\):
5.1. Công thức diện tích xung quanh
\(S_{xq} = p \cdot h = n \cdot a \cdot h\)
Trong đó: \(p = n \cdot a\) là chu vi đáy.
5.2. Công thức diện tích toàn phần
\(S_{tp} = S_{xq} + 2S_đ\)
5.3. Công thức thể tích
\(V = S_đ \cdot h\)
6. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết
Dưới đây là các bài tập vận dụng kiến thức về hình lăng trụ đều:
Bài tập 1: Lăng trụ tam giác đều
Đề bài: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy \(a = 6\) cm, chiều cao \(h = 10\) cm. Tính diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ.
Lời giải:
Tính diện tích đáy:
\(S_đ = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\) (cm²)
Tính diện tích xung quanh:
\(S_{xq} = 3ah = 3 \cdot 6 \cdot 10 = 180\) (cm²)
Tính diện tích toàn phần:
\(S_{tp} = S_{xq} + 2S_đ = 180 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 180 + 18\sqrt{3} \approx 211,18\) (cm²)
Tính thể tích:
\(V = S_đ \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3} \approx 155,88\) (cm³)
Bài tập 2: Hình lăng trụ tứ giác đều
Đề bài: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy \(a = 4\) cm, đường chéo của lăng trụ bằng \(d = 10\) cm. Tính chiều cao và thể tích của lăng trụ.
Lời giải:
Tính chiều cao:
Áp dụng công thức đường chéo hình lăng trụ tứ giác đều:
\(d = \sqrt{2a^2 + h^2}\)
\(10 = \sqrt{2 \cdot 16 + h^2}\)
\(100 = 32 + h^2\)
\(h^2 = 68\)
\(h = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8,25\) (cm)
Tính thể tích:
\(V = a^2 \cdot h = 16 \cdot 2\sqrt{17} = 32\sqrt{17} \approx 131,95\) (cm³)
Bài tập 3: Bài toán tổng hợp
Đề bài: Một lăng trụ đều có đáy là lục giác đều cạnh 3 cm và chiều cao 8 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích.
Lời giải:
Tính diện tích xung quanh:
\(S_{xq} = 6ah = 6 \cdot 3 \cdot 8 = 144\) (cm²)
Tính diện tích đáy:
\(S_đ = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 9 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{2}\) (cm²)
Tính thể tích:
\(V = S_đ \cdot h = \frac{27\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 108\sqrt{3} \approx 187,06\) (cm³)
7. Bài tập tự luyện
Vận dụng các tính chất hình lăng trụ đều và công thức đã học, hãy giải các bài tập sau:
Bài 1: Hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy 5 cm, chiều cao 12 cm. Tính diện tích toàn phần.
Xem đáp án
\(S_đ = \frac{25\sqrt{3}}{4}\) cm²
\(S_{xq} = 3 \cdot 5 \cdot 12 = 180\) cm²
\(S_{tp} = 180 + 2 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} = 180 + \frac{25\sqrt{3}}{2} \approx 201,65\) cm²
Bài 2: Hình lăng trụ tứ giác đều có diện tích đáy 25 cm² và thể tích 200 cm³. Tính chiều cao và diện tích xung quanh.
Xem đáp án
Chiều cao: \(h = \frac{V}{S_đ} = \frac{200}{25} = 8\) cm
Cạnh đáy: \(a = \sqrt{25} = 5\) cm
Diện tích xung quanh: \(S_{xq} = 4 \cdot 5 \cdot 8 = 160\) cm²
Bài 3: Chứng minh rằng trong hình lăng trụ đều, các đường chéo của các mặt bên bằng nhau.
Xem đáp án
Vì các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau (có cùng chiều rộng là cạnh đáy \(a\) và chiều dài là chiều cao \(h\)), nên các đường chéo của chúng bằng nhau và có độ dài \(d = \sqrt{a^2 + h^2}\).
8. Kết luận
Lăng trụ đều là hình khối có nhiều tính chất đặc biệt và ứng dụng rộng rãi trong thực tế. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:
- Hình lăng trụ đều là gì: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
- Tính chất lăng trụ đều: Mặt bên là hình chữ nhật bằng nhau, cạnh bên vuông góc với đáy
- Các dạng thường gặp: Hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều, lăng trụ lục giác đều
- Công thức tính diện tích và thể tích cho từng loại hình lăng trụ
Hãy luyện tập thường xuyên các bài tập về hình lăng trụ đứng và lăng trụ đều để thành thạo và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
Có thể bạn quan tâm
