Hình chữ nhật cơ sở của elip là gì? Công thức, cách vẽ chi tiết

Hình chữ nhật cơ sở của elip là khái niệm quan trọng giúp học sinh hình dung, vẽ đồ thị và giải nhanh các bài toán liên quan đến elip trong chương trình Hình học lớp 10. Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết định nghĩa, tính chất, cách xác định hình chữ nhật cơ sở của elip cùng các bài tập minh họa có lời giải, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng thành thạo.

1. Nhắc lại kiến thức về elip

Trước khi tìm hiểu hình chữ nhật cơ sở của elip, chúng ta cần ôn lại các kiến thức nền tảng về elip.

1.1. Định nghĩa elip

Elip là tập hợp các điểm \( M \) trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ \( M \) đến hai điểm cố định \( F_1 \), \( F_2 \) (gọi là hai tiêu điểm) là một hằng số lớn hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm:

\[ MF_1 + MF_2 = 2a \quad (2a > F_1F_2) \]

1.2. Phương trình chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của elip có dạng:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0) \]

Trong đó các yếu tố cơ bản:

Bốn đỉnh \( A_1 \), \( A_2 \), \( B_1 \), \( B_2 \) chính là bốn điểm mà elip tiếp xúc với hình chữ nhật cơ sở của elip – khái niệm sẽ được trình bày ngay dưới đây.

2. Hình chữ nhật cơ sở của elip là gì?

2.1. Định nghĩa

Hình chữ nhật cơ sở của elip là hình chữ nhật có:

• Tâm trùng với tâm của elip (gốc tọa độ \( O \)).
• Các cạnh song song với hai trục tọa độ (trục lớn và trục nhỏ của elip).
• Các cạnh đi qua bốn đỉnh của elip: \( A_1(-a;\, 0) \), \( A_2(a;\, 0) \), \( B_1(0;\, -b) \), \( B_2(0;\, b) \).

Cụ thể, hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là:

\[ (-a;\, b), \quad (a;\, b), \quad (a;\, -b), \quad (-a;\, -b) \]

Elip nội tiếp hình chữ nhật cơ sở, nghĩa là elip tiếp xúc với bốn cạnh của hình chữ nhật tại đúng bốn đỉnh \( A_1 \), \( A_2 \), \( B_1 \), \( B_2 \).

2.2. Kích thước hình chữ nhật cơ sở

2.3. Tính chất quan trọng

Hình chữ nhật cơ sở của elip có nhiều tính chất hữu ích trong việc vẽ hình và giải toán:

• Elip luôn nằm bên trong (hoặc trên cạnh) hình chữ nhật cơ sở. Mọi điểm trên elip đều thỏa mãn \( |x| \leq a \) và \( |y| \leq b \).
• Bốn điểm tiếp xúc chính là bốn đỉnh của elip: \( (\pm a;\, 0) \) và \( (0;\, \pm b) \).
• Hai trục đối xứng của hình chữ nhật trùng với hai trục đối xứng của elip (trục \( Ox \) và trục \( Oy \)).
• Tâm đối xứng của hình chữ nhật trùng với tâm đối xứng của elip (gốc \( O \)).
• Tỉ số diện tích: Diện tích elip bằng \( \frac{\pi}{4} \) lần diện tích hình chữ nhật cơ sở:\[ S_{\text{elip}} = \pi ab = \frac{\pi}{4} \cdot 4ab = \frac{\pi}{4} \cdot S_{HCN} \]

  Vì \( \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785 \), elip chiếm khoảng 78,5% diện tích hình chữ nhật cơ sở.

3. Cách xác định và vẽ hình chữ nhật cơ sở của elip

Dưới đây là các bước xác định hình chữ nhật cơ sở của elip và vẽ elip dựa trên hình chữ nhật đó.

3.1. Các bước xác định hình chữ nhật cơ sở

1. Bước 1: Từ phương trình chính tắc \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), xác định \( a \) và \( b \).
2. Bước 2: Xác định bốn đỉnh của hình chữ nhật: \( (-a;\, b) \), \( (a;\, b) \), \( (a;\, -b) \), \( (-a;\, -b) \).
3. Bước 3: Vẽ hình chữ nhật với các cạnh song song với hai trục tọa độ, đi qua bốn đỉnh trên.

3.2. Cách vẽ elip từ hình chữ nhật cơ sở

1. Bước 1: Vẽ hệ trục tọa độ \( Oxy \).
2. Bước 2: Đánh dấu bốn đỉnh của elip trên hai trục: \( A_1(-a;\, 0) \), \( A_2(a;\, 0) \), \( B_1(0;\, -b) \), \( B_2(0;\, b) \).
3. Bước 3: Vẽ hình chữ nhật cơ sở đi qua bốn đỉnh elip (các cạnh song song trục tọa độ).
4. Bước 4: Vẽ đường cong elip nội tiếp hình chữ nhật, đi qua bốn đỉnh \( A_1 \), \( A_2 \), \( B_1 \), \( B_2 \), bo tròn đều ở bốn góc.

Mẹo vẽ chính xác: Ở mỗi góc hình chữ nhật, đường cong elip không đi qua đỉnh góc mà uốn cong phía trong. Elip càng “tròn” (khi \( a \approx b \)) thì khoảng cách từ elip đến góc hình chữ nhật càng nhỏ.

3.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Xác định hình chữ nhật cơ sở của elip \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \).

Lời giải:

Từ phương trình: \( a^2 = 16 \Rightarrow a = 4 \), \( b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \).

Bốn đỉnh elip:

• \( A_1(-4;\, 0) \), \( A_2(4;\, 0) \) trên trục lớn.
• \( B_1(0;\, -3) \), \( B_2(0;\, 3) \) trên trục nhỏ.

Bốn đỉnh hình chữ nhật cơ sở:

\[ (-4;\, 3),\quad (4;\, 3),\quad (4;\, -3),\quad (-4;\, -3) \]

Kích thước hình chữ nhật: chiều dài \( 2a = 8 \), chiều rộng \( 2b = 6 \).

Các thông số bổ sung:

• Diện tích hình chữ nhật cơ sở: \( S_{HCN} = 8 \times 6 = 48 \).
• Diện tích elip: \( S_{\text{elip}} = \pi \cdot 4 \cdot 3 = 12\pi \approx 37{,}70 \).
• Tiêu cự: \( c = \sqrt{16 – 9} = \sqrt{7} \), hai tiêu điểm \( F_1(-\sqrt{7};\, 0) \), \( F_2(\sqrt{7};\, 0) \).

4. Mối liên hệ giữa hình chữ nhật cơ sở và các yếu tố của elip

Hiểu rõ mối liên hệ này giúp bạn giải nhanh nhiều dạng bài toán về elip.

4.1. Từ hình chữ nhật cơ sở suy ra phương trình elip

Nếu biết hình chữ nhật cơ sở của elip có chiều dài \( 2a \) và chiều rộng \( 2b \), ta lập ngay phương trình chính tắc:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Ví dụ: Hình chữ nhật cơ sở có chiều dài 10, chiều rộng 6. Suy ra \( a = 5 \), \( b = 3 \). Phương trình elip:

\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]

4.2. Từ diện tích hình chữ nhật cơ sở và một yếu tố suy ra yếu tố còn lại

Diện tích hình chữ nhật cơ sở \( S_{HCN} = 4ab \), nên:

\[ ab = \frac{S_{HCN}}{4} \]

Kết hợp với \( c^2 = a^2 – b^2 \) hoặc các điều kiện khác, ta tìm được \( a \) và \( b \).

4.3. Bảng liên hệ các yếu tố

5. Bài tập về hình chữ nhật cơ sở của elip có lời giải

Hãy cùng luyện tập để nắm chắc cách xác định và vận dụng hình chữ nhật cơ sở của elip qua các bài tập dưới đây.

Bài tập 1: Xác định hình chữ nhật cơ sở

Đề bài: Cho elip \( (E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \). Tìm tọa độ bốn đỉnh, kích thước và diện tích hình chữ nhật cơ sở.

Lời giải:

Từ phương trình: \( a^2 = 25 \Rightarrow a = 5 \), \( b^2 = 16 \Rightarrow b = 4 \).

Bốn đỉnh elip: \( A_1(-5;\, 0) \), \( A_2(5;\, 0) \), \( B_1(0;\, -4) \), \( B_2(0;\, 4) \).

Bốn đỉnh hình chữ nhật cơ sở:

\[ (-5;\, 4),\quad (5;\, 4),\quad (5;\, -4),\quad (-5;\, -4) \]

Kích thước: chiều dài \( 2a = 10 \), chiều rộng \( 2b = 8 \).

Diện tích hình chữ nhật cơ sở:

\[ S_{HCN} = 10 \times 8 = 80 \]

Diện tích elip:

\[ S_{\text{elip}} = \pi \cdot 5 \cdot 4 = 20\pi \approx 62{,}83 \]

Bài tập 2: Lập phương trình elip từ hình chữ nhật cơ sở

Đề bài: Hình chữ nhật cơ sở của một elip có các đỉnh \( (-3;\, 2) \), \( (3;\, 2) \), \( (3;\, -2) \), \( (-3;\, -2) \). Lập phương trình chính tắc của elip và tìm tọa độ các tiêu điểm.

Lời giải:

Từ các đỉnh hình chữ nhật suy ra: \( a = 3 \), \( b = 2 \).

Phương trình chính tắc:

\[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \]

Tiêu cự:

\[ c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{9 – 4} = \sqrt{5} \]

Tiêu điểm: \( F_1(-\sqrt{5};\, 0) \) và \( F_2(\sqrt{5};\, 0) \).

Bài tập 3: Tìm elip khi biết diện tích hình chữ nhật cơ sở và tiêu cự

Đề bài: Elip \( (E) \) có tiêu cự bằng \( 2\sqrt{5} \) và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 24. Lập phương trình chính tắc của elip.

Lời giải:

Ta có: \( 2c = 2\sqrt{5} \Rightarrow c = \sqrt{5} \Rightarrow c^2 = 5 \).

Diện tích hình chữ nhật cơ sở: \( 4ab = 24 \Rightarrow ab = 6 \).

Kết hợp với \( a^2 – b^2 = c^2 = 5 \), ta lập hệ:

\[ \begin{cases} ab = 6 \\ a^2 – b^2 = 5 \end{cases} \]

Từ \( ab = 6 \Rightarrow b = \frac{6}{a} \). Thay vào phương trình thứ hai:

\[ a^2 – \frac{36}{a^2} = 5 \]

Đặt \( t = a^2 \) (\( t > 0 \)):

\[ t – \frac{36}{t} = 5 \Rightarrow t^2 – 5t – 36 = 0 \]

\[ \Delta = 25 + 144 = 169 \Rightarrow t = \frac{5 + 13}{2} = 9 \quad (\text{loại } t = -4 < 0) \]

Vậy \( a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \), \( b = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow b^2 = 4 \).

Kiểm tra: \( a > b > 0 \) ✓ và \( a^2 – b^2 = 9 – 4 = 5 = c^2 \) ✓.

Phương trình chính tắc:

\[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \]

Bài tập 4: Tính chu vi và đường chéo hình chữ nhật cơ sở

Đề bài: Cho elip \( (E): \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1 \). Tính chu vi, đường chéo của hình chữ nhật cơ sở và tâm sai của elip.

Lời giải:

Từ phương trình: \( a^2 = 36 \Rightarrow a = 6 \), \( b^2 = 11 \Rightarrow b = \sqrt{11} \).

Chu vi hình chữ nhật cơ sở:

\[ P = 4(a + b) = 4(6 + \sqrt{11}) = 24 + 4\sqrt{11} \approx 37{,}27 \]

Đường chéo hình chữ nhật cơ sở:

\[ d = 2\sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{36 + 11} = 2\sqrt{47} \approx 13{,}71 \]

Tâm sai:

\[ c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{36 – 11} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833 \]

Bài tập 5: Bài toán ngược – từ tính chất hình chữ nhật cơ sở tìm elip

Đề bài: Hình chữ nhật cơ sở của một elip có chu vi bằng 28 và đường chéo bằng \( 2\sqrt{25} = 10 \). Lập phương trình chính tắc của elip.

Lời giải:

Từ chu vi: \( 4(a + b) = 28 \Rightarrow a + b = 7 \).

Từ đường chéo: \( 2\sqrt{a^2 + b^2} = 10 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2} = 5 \Rightarrow a^2 + b^2 = 25 \).

Ta có hệ:

\[ \begin{cases} a + b = 7 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases} \]

Từ \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):

\[ 49 = 25 + 2ab \Rightarrow ab = 12 \]

Vậy \( a \) và \( b \) là nghiệm của phương trình:

\[ t^2 – 7t + 12 = 0 \Rightarrow (t – 3)(t – 4) = 0 \]

Nghiệm: \( t = 4 \) hoặc \( t = 3 \). Vì \( a > b > 0 \): \( a = 4 \), \( b = 3 \).

Phương trình chính tắc:

\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \]

Bài tập 6: Điểm nằm trong hình chữ nhật cơ sở

Đề bài: Cho elip \( (E): \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \). Xét xem các điểm sau nằm trong, trên hay ngoài elip: \( M(1;\, 1) \), \( N(2;\, \frac{2\sqrt{5}}{3}) \), \( P(3;\, 1) \).

Lời giải:

Ta có \( a = 3 \), \( b = 2 \). Hình chữ nhật cơ sở có phạm vi \( -3 \leq x \leq 3 \), \( -2 \leq y \leq 2 \).

Để xét vị trí, ta thay tọa độ vào biểu thức \( T = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} \):

• Điểm \( M(1;\, 1) \): \( T = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 9}{36} = \frac{13}{36} < 1 \) → \( M \) nằm bên trong elip.
• Điểm \( N(2;\, \frac{2\sqrt{5}}{3}) \): \( T = \frac{4}{9} + \frac{\frac{20}{9}}{4} = \frac{4}{9} + \frac{20}{36} = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} = 1 \) → \( N \) nằm trên elip.
• Điểm \( P(3;\, 1) \): \( T = \frac{9}{9} + \frac{1}{4} = 1 + 0{,}25 = 1{,}25 > 1 \) → \( P \) nằm bên ngoài elip (nhưng vẫn nằm trên cạnh hình chữ nhật cơ sở vì \( |x| = 3 = a \)).

Nhận xét: Điểm nằm bên trong hình chữ nhật cơ sở chưa chắc đã nằm bên trong elip (như điểm \( P \)).

Bài tập 7: Diện tích phần hình chữ nhật cơ sở nằm ngoài elip

Đề bài: Cho elip \( (E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \). Tính diện tích phần hình chữ nhật cơ sở nằm bên ngoài elip.

Lời giải:

Ta có \( a = 5 \), \( b = 3 \).

Diện tích hình chữ nhật cơ sở:

\[ S_{HCN} = 4ab = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60 \]

Diện tích elip:

\[ S_{\text{elip}} = \pi ab = 15\pi \]

Diện tích phần nằm ngoài elip nhưng trong hình chữ nhật cơ sở:

\[ S = S_{HCN} – S_{\text{elip}} = 60 – 15\pi \approx 60 – 47{,}12 \approx 12{,}88 \]

6. Một số lưu ý khi làm bài về hình chữ nhật cơ sở của elip

Để áp dụng chính xác hình chữ nhật cơ sở của elip trong các bài toán, bạn cần lưu ý:

7. Kết luận

Hình chữ nhật cơ sở của elip là công cụ hình học trực quan giúp xác định phạm vi, vẽ đồ thị và giải nhanh các bài toán về elip. Hình chữ nhật này có chiều dài bằng trục lớn \( 2a \), chiều rộng bằng trục nhỏ \( 2b \), và elip nội tiếp trong đó, tiếp xúc tại bốn đỉnh. Nắm vững cách xác định hình chữ nhật cơ sở của elip cùng các mối liên hệ với tiêu cự, tâm sai và diện tích sẽ giúp bạn tự tin giải quyết mọi dạng bài toán về elip trong các kỳ thi!