Góc giữa 2 mặt phẳng: Công thức và cách tính chi tiết nhất

Góc giữa 2 mặt phẳng là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11 và Hình học tọa độ lớp 12. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức góc giữa hai mặt phẳng, cách tính góc giữa hai mặt phẳng cùng các bài tập minh họa có lời giải cụ thể.

1. Góc giữa hai mặt phẳng là gì?

Trước khi tìm hiểu cách tính góc giữa 2 mặt phẳng, ta cần nắm vững định nghĩa cơ bản.

1.1. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm.

Cách xác định:

1. Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q)
2. Lấy điểm I bất kỳ trên giao tuyến d
3. Trong (P), kẻ đường thẳng a vuông góc với d tại I
4. Trong (Q), kẻ đường thẳng b vuông góc với d tại I
5. Góc giữa (P) và (Q) là góc \(\widehat{(a, b)}\)

1.2. Ký hiệu và phạm vi

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) được ký hiệu là \(\widehat{((P), (Q))}\) hoặc \(\alpha\).

Phạm vi góc: \(0° \leq \alpha \leq 90°\)

1.3. Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp	Góc giữa hai mặt phẳng
Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau	\(\alpha = 0°\)
Hai mặt phẳng vuông góc	\(\alpha = 90°\)
Hai mặt phẳng cắt nhau	\(0° < \alpha \leq 90°\)

2. Cách tính góc giữa hai mặt phẳng (Hình học không gian)

Trong hình học không gian lớp 11, cách tính góc giữa hai mặt phẳng thường dựa vào định nghĩa.

2.1. Phương pháp chung

Các bước tính góc giữa 2 mặt phẳng:

1. Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
2. Bước 2: Tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến
3. Bước 3: Tính góc giữa hai đường thẳng đó (dùng định lý cosin, tam giác vuông,…)

2.2. Các cách xác định góc thường gặp

Cách	Mô tả
Cách 1	Dựng hình chiếu vuông góc, tìm góc trong tam giác vuông
Cách 2	Sử dụng định lý ba đường vuông góc
Cách 3	Đặt hệ trục tọa độ, dùng công thức vectơ

2.3. Định lý ba đường vuông góc

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với (P) tại H. Nếu đường thẳng c đi qua H và vuông góc với a thì c cũng vuông góc với hình chiếu của a lên mọi mặt phẳng chứa b.

3. Công thức góc giữa hai mặt phẳng trong Oxyz

Trong không gian tọa độ Oxyz, công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng được thiết lập dựa trên vectơ pháp tuyến.

3.1. Công thức cosin góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng:

• (P): \(A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)\)
• (Q): \(A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)\)

Công thức góc giữa hai mặt phẳng:

\(\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\)

3.2. Công thức khai triển

Cosin góc giữa hai mặt phẳng được tính bởi:

\(\cos \alpha = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}\)

Lưu ý: Dùng giá trị tuyệt đối vì góc giữa hai mặt phẳng luôn nằm trong khoảng \([0°; 90°]\).

3.3. Chứng minh công thức

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến hoặc góc bù của nó.

Ta có: \(\cos(\vec{n_1}, \vec{n_2}) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\)

Vì góc giữa hai mặt phẳng \(\alpha \in [0°; 90°]\) nên \(\cos \alpha \geq 0\).

Do đó: \(\cos \alpha = |\cos(\vec{n_1}, \vec{n_2})| = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\)

3.4. Bảng tổng hợp công thức

Công thức	Biểu thức
Cos góc giữa 2 mặt phẳng	\(\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\)
Tích vô hướng	\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2\)
Độ dài vectơ pháp tuyến	\(|\vec{n}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\)
Góc	\(\alpha = \arccos\left(\frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\right)\)

4. Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc

Từ công thức góc giữa hai mặt phẳng, ta có các điều kiện đặc biệt:

4.1. Hai mặt phẳng song song

(P) // (Q) khi và chỉ khi \(\vec{n_1}\) cùng phương với \(\vec{n_2}\):

\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}\)

4.2. Hai mặt phẳng vuông góc

(P) ⊥ (Q) khi và chỉ khi \(\vec{n_1} \perp \vec{n_2}\):

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Leftrightarrow A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0\)

5. Các dạng bài tập về góc giữa 2 mặt phẳng

Dưới đây là các dạng bài thường gặp khi tính góc giữa hai mặt phẳng:

Dạng 1: Tính góc trong hình học không gian (Lớp 11)

Phương pháp:

1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
2. Dựng hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến
3. Tính góc bằng tam giác vuông hoặc định lý cosin

Dạng 2: Tính góc trong tọa độ Oxyz (Lớp 12)

Phương pháp:

1. Viết phương trình hai mặt phẳng (nếu chưa có)
2. Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng
3. Áp dụng công thức cos góc giữa 2 mặt phẳng

6. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Góc giữa 2 mặt phẳng Oxyz (Cơ bản)

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): \(x + 2y – 2z + 1 = 0\) và (Q): \(2x – y + 2z – 3 = 0\). Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Lời giải:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến

• (P) có \(\vec{n_1} = (1; 2; -2)\)
• (Q) có \(\vec{n_2} = (2; -1; 2)\)

Bước 2: Tính tích vô hướng

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 = 2 – 2 – 4 = -4\)

Bước 3: Tính độ dài các vectơ

\(|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\)

\(|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\)

Bước 4: Áp dụng công thức cosin góc giữa hai mặt phẳng

\(\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|-4|}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}\)

\(\alpha = \arccos\left(\frac{4}{9}\right) \approx 63°37’\)

Vậy góc giữa (P) và (Q) là \(\alpha = \arccos\left(\frac{4}{9}\right)\)

Bài tập 2: Kiểm tra vuông góc

Đề bài: Cho (P): \(2x + y – z + 5 = 0\) và (Q): \(x – y + z – 1 = 0\). Chứng minh (P) ⊥ (Q).

Lời giải:

\(\vec{n_1} = (2; 1; -1)\), \(\vec{n_2} = (1; -1; 1)\)

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = 2 – 1 – 1 = 0\)

Vì \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\) nên \(\vec{n_1} \perp \vec{n_2}\).

Vậy (P) ⊥ (Q)

Bài tập 3: Góc giữa mặt phẳng và mặt tọa độ

Đề bài: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): \(x + y + z – 1 = 0\) và mặt phẳng (Oxy).

Lời giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình: \(z = 0\), tức là \(0x + 0y + 1z = 0\)

\(\vec{n_1} = (1; 1; 1)\) (pháp tuyến của (P))

\(\vec{n_2} = (0; 0; 1)\) (pháp tuyến của (Oxy))

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1\)

\(|\vec{n_1}| = \sqrt{3}\), \(|\vec{n_2}| = 1\)

\(\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 54°44’\)

Bài tập 4: Hình học không gian (Hình chóp)

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).

Lời giải:

Cách 1: Dùng định nghĩa

Bước 1: Xác định giao tuyến

(SBC) ∩ (ABCD) = BC

Bước 2: Dựng đường vuông góc với giao tuyến

• Trong (ABCD): AB ⊥ BC tại B
• Trong (SBC): Kẻ từ S đường vuông góc với BC

Vì SA ⊥ (ABCD) và AB ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ AB.

Mà AB ⊥ BC nên AB ⊥ (SBC), suy ra AB ⊥ SB.

Vậy góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc \(\widehat{SBA}\).

Bước 3: Tính góc

Trong tam giác SAB vuông tại A:

\(\tan(\widehat{SBA}) = \frac{SA}{AB} = \frac{a}{a} = 1\)

\(\widehat{SBA} = 45°\)

Vậy góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng 45°

Cách 2: Dùng tọa độ

Đặt hệ trục: A là gốc, AB = Ox, AD = Oy, AS = Oz

A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a)

(ABCD): z = 0 → \(\vec{n_1} = (0; 0; 1)\)

(SBC) chứa: \(\overrightarrow{SB} = (a; 0; -a)\), \(\overrightarrow{SC} = (a; a; -a)\)

\(\vec{n_2} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} = (0 \cdot (-a) – (-a) \cdot a; (-a) \cdot a – a \cdot (-a); a \cdot a – 0 \cdot a)\)

\(\vec{n_2} = (a^2; 0; a^2)\) hay \(\vec{n_2} = (1; 0; 1)\)

\(\cos \alpha = \frac{|0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{0 + 0 + 1} \cdot \sqrt{1 + 0 + 1}} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\alpha = 45°\) ✓

Bài tập 5: Tìm mặt phẳng thỏa điều kiện góc

Đề bài: Tìm m để hai mặt phẳng (P): \(x + my + z – 1 = 0\) và (Q): \(x – y + 2z + 3 = 0\) tạo với nhau góc 60°.

Lời giải:

\(\vec{n_1} = (1; m; 1)\), \(\vec{n_2} = (1; -1; 2)\)

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 – m + 2 = 3 – m\)

\(|\vec{n_1}| = \sqrt{1 + m^2 + 1} = \sqrt{m^2 + 2}\)

\(|\vec{n_2}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\)

\(\cos 60° = \frac{|3 – m|}{\sqrt{m^2 + 2} \cdot \sqrt{6}}\)

\(\frac{1}{2} = \frac{|3 – m|}{\sqrt{6(m^2 + 2)}}\)

\(\sqrt{6(m^2 + 2)} = 2|3 – m|\)

\(6(m^2 + 2) = 4(3 – m)^2\)

\(6m^2 + 12 = 4(9 – 6m + m^2)\)

\(6m^2 + 12 = 36 – 24m + 4m^2\)

\(2m^2 + 24m – 24 = 0\)

\(m^2 + 12m – 12 = 0\)

\(m = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 48}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{192}}{2} = -6 \pm 4\sqrt{3}\)

Vậy \(m = -6 + 4\sqrt{3}\) hoặc \(m = -6 – 4\sqrt{3}\)

7. Bài tập tự luyện

Vận dụng cách tính góc giữa hai mặt phẳng, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính góc giữa 2 mặt phẳng (P): \(2x – y + 2z – 1 = 0\) và (Q): \(x + 2y + 2z + 3 = 0\).

Xem đáp án

\(\vec{n_1} = (2; -1; 2)\), \(\vec{n_2} = (1; 2; 2)\)

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 – 2 + 4 = 4\)

\(|\vec{n_1}| = 3\), \(|\vec{n_2}| = 3\)

\(\cos \alpha = \frac{4}{9}\)

\(\alpha = \arccos\left(\frac{4}{9}\right) \approx 63°37’\)

Bài 2: Cho (P): \(x – 2y + 2z + 1 = 0\) và (Q): \(2x + y – 2z – 3 = 0\). Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng.

Xem đáp án

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 – 2 – 4 = -4\)

\(|\vec{n_1}| = 3\), \(|\vec{n_2}| = 3\)

\(\cos \alpha = \frac{4}{9}\)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC = a, SA = a√2. Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

Xem đáp án

Giao tuyến: BC

Trong (ABC): AB ⊥ BC

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB, mà AB ⊥ BC → AB ⊥ (SBC) → AB ⊥ SB

Góc cần tìm là \(\widehat{SBA}\)

\(\tan(\widehat{SBA}) = \frac{SA}{AB} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}\)

\(\alpha = \arctan(\sqrt{2}) \approx 54°44’\)

Bài 4: Tìm k để (P): \(kx + y – z + 2 = 0\) vuông góc với (Q): \(x + ky + z – 1 = 0\).

Xem đáp án

Điều kiện vuông góc: \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\)

\(k \cdot 1 + 1 \cdot k + (-1) \cdot 1 = 0\)

\(2k – 1 = 0\)

\(k = \frac{1}{2}\)

8. Kết luận

Góc giữa 2 mặt phẳng là kiến thức quan trọng trong Hình học không gian và tọa độ. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Định nghĩa và cách tính góc giữa hai mặt phẳng bằng định nghĩa (lớp 11)
• Công thức góc giữa hai mặt phẳng trong Oxyz: \(\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\)
• Cosin góc giữa hai mặt phẳng và cách tính bằng vectơ pháp tuyến
• Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc

Hãy luyện tập thường xuyên các bài tập về góc giữa 2 mặt phẳng Oxyz để thành thạo và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.