Góc giữa 2 mặt phẳng: Công thức và cách tính chi tiết nhất

Góc giữa 2 mặt phẳng là một nội dung quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11 và Hình học tọa độ lớp 12. Nắm chắc kiến thức này giúp học sinh xử lý tốt nhiều dạng toán từ xác định góc trong hình chóp đến tính toán bằng vectơ pháp tuyến trong hệ tọa độ Oxyz. Bài viết dưới đây tổng hợp công thức góc giữa hai mặt phẳng, cách tính góc giữa hai mặt phẳng và các dạng bài tập minh họa kèm lời giải.

1. Hiểu đúng về góc giữa hai mặt phẳng

Muốn áp dụng chính xác cách tính góc giữa 2 mặt phẳng, trước hết cần hiểu góc này được xác định như thế nào trong không gian.

1.1. Khái niệm góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm.

Cách xác định:

1. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q)
2. Chọn điểm I bất kỳ thuộc giao tuyến d
3. Trong (P), kẻ đường thẳng a vuông góc với d tại I
4. Trong (Q), kẻ đường thẳng b vuông góc với d tại I
5. Góc giữa (P) và (Q) chính là góc \(\widehat{(a, b)}\)

1.2. Ký hiệu và giới hạn của góc

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) có thể ký hiệu là \(\widehat{((P), (Q))}\) hoặc \(\alpha\).

Phạm vi góc: \(0° \leq \alpha \leq 90°\)

1.3. Nhận biết một số trường hợp đặc biệt

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng phương pháp hình học

Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, cách tính góc giữa hai mặt phẳng chủ yếu dựa trên định nghĩa và các quan hệ vuông góc trong không gian.

2.1. Quy trình xác định và tính góc

Khi gặp dạng toán này, có thể triển khai theo ba bước cơ bản:

1. Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
2. Bước 2: Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến
3. Bước 3: Đưa bài toán về tính góc giữa hai đường thẳng bằng tam giác vuông, định lý cosin hoặc các hệ thức lượng phù hợp

2.2. Ba hướng xử lý thường sử dụng

2.3. Vai trò của định lý ba đường vuông góc

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với (P) tại H. Nếu đường thẳng c đi qua H và vuông góc với a thì c cũng vuông góc với hình chiếu của a lên mọi mặt phẳng chứa b.

Định lý này thường hỗ trợ quá trình xác định những đường thẳng vuông góc với giao tuyến, từ đó đưa góc giữa hai mặt phẳng về một góc phẳng quen thuộc.

3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng trong hệ Oxyz

Với bài toán tọa độ không gian, công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng được xây dựng thông qua hai vectơ pháp tuyến tương ứng.

3.1. Công thức cosin theo vectơ pháp tuyến

Cho hai mặt phẳng:

• (P): \(A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)\)
• (Q): \(A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)\)

Khi đó, công thức góc giữa hai mặt phẳng là:

\(\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\)

3.2. Dạng khai triển của công thức

Từ tọa độ của hai vectơ pháp tuyến, cosin góc giữa hai mặt phẳng được xác định bởi:

\(\cos \alpha = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}\)

Lưu ý: Giá trị tuyệt đối được sử dụng do góc giữa hai mặt phẳng được quy ước thuộc khoảng \([0°; 90°]\).

3.3. Vì sao công thức có giá trị tuyệt đối?

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến hoặc góc bù của góc đó.

Ta có:

\(\cos(\vec{n_1}, \vec{n_2}) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\)

Do góc giữa hai mặt phẳng \(\alpha \in [0°; 90°]\) nên \(\cos \alpha \geq 0\).

Suy ra:

\(\cos \alpha = |\cos(\vec{n_1}, \vec{n_2})| = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\)

3.4. Tổng hợp nhanh các công thức cần nhớ

4. Nhận biết hai mặt phẳng song song hoặc vuông góc

Bên cạnh tính góc cụ thể, công thức góc giữa hai mặt phẳng còn giúp xác định nhanh hai trường hợp đặc biệt là song song và vuông góc.

4.1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

(P) // (Q) khi và chỉ khi \(\vec{n_1}\) cùng phương với \(\vec{n_2}\):

\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}\)

4.2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

(P) ⊥ (Q) khi và chỉ khi \(\vec{n_1} \perp \vec{n_2}\):

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Leftrightarrow A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0\)

5. Hai dạng toán góc giữa mặt phẳng thường xuất hiện

Các bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng có thể chia thành hai nhóm chính dựa trên phương pháp xử lý.

Dạng 1: Bài toán hình học không gian lớp 11

Hướng giải:

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
2. Dựng hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến
3. Xác định góc cần tính
4. Sử dụng tam giác vuông hoặc định lý cosin để tìm số đo góc

Dạng 2: Bài toán tọa độ Oxyz lớp 12

Hướng giải:

1. Viết phương trình của hai mặt phẳng nếu đề bài chưa cho
2. Xác định vectơ pháp tuyến tương ứng
3. Tính tích vô hướng và độ dài hai vectơ
4. Thay vào công thức cos góc giữa 2 mặt phẳng

6. Ví dụ vận dụng từ cơ bản đến nâng cao

Dưới đây là một số bài toán giúp làm quen với công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng trong cả hình học không gian và tọa độ Oxyz.

Bài tập 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng trong Oxyz

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): \(x + 2y – 2z + 1 = 0\) và (Q): \(2x – y + 2z – 3 = 0\). Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Lời giải:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến

• (P) có \(\vec{n_1} = (1; 2; -2)\)
• (Q) có \(\vec{n_2} = (2; -1; 2)\)

Bước 2: Tính tích vô hướng

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 = 2 – 2 – 4 = -4\)

Bước 3: Tính độ dài các vectơ

\(|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\)

\(|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\)

Bước 4: Áp dụng công thức cosin góc giữa hai mặt phẳng

\(\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|-4|}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}\)

\(\alpha = \arccos\left(\frac{4}{9}\right) \approx 63°37’\)

Vậy góc giữa (P) và (Q) là \(\alpha = \arccos\left(\frac{4}{9}\right)\)

Bài tập 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Đề bài: Cho (P): \(2x + y – z + 5 = 0\) và (Q): \(x – y + z – 1 = 0\). Chứng minh (P) ⊥ (Q).

Lời giải:

\(\vec{n_1} = (2; 1; -1)\), \(\vec{n_2} = (1; -1; 1)\)

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = 2 – 1 – 1 = 0\)

Vì \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\) nên \(\vec{n_1} \perp \vec{n_2}\).

Vậy (P) ⊥ (Q)

Bài tập 3: Tính góc với mặt phẳng tọa độ

Đề bài: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): \(x + y + z – 1 = 0\) và mặt phẳng (Oxy).

Lời giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình: \(z = 0\), tức là \(0x + 0y + 1z = 0\)

\(\vec{n_1} = (1; 1; 1)\) (pháp tuyến của (P))

\(\vec{n_2} = (0; 0; 1)\) (pháp tuyến của (Oxy))

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1\)

\(|\vec{n_1}| = \sqrt{3}\), \(|\vec{n_2}| = 1\)

\(\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 54°44’\)

Bài tập 4: Góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).

Lời giải:

Cách 1: Dùng định nghĩa

Bước 1: Xác định giao tuyến

(SBC) ∩ (ABCD) = BC

Bước 2: Dựng đường vuông góc với giao tuyến

• Trong (ABCD): AB ⊥ BC tại B
• Trong (SBC): Kẻ từ S đường vuông góc với BC

Vì SA ⊥ (ABCD) và AB ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ AB.

Mà AB ⊥ BC nên AB ⊥ (SBC), suy ra AB ⊥ SB.

Vậy góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc \(\widehat{SBA}\).

Bước 3: Tính góc

Trong tam giác SAB vuông tại A:

\(\tan(\widehat{SBA}) = \frac{SA}{AB} = \frac{a}{a} = 1\)

\(\widehat{SBA} = 45°\)

Vậy góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng 45°

Cách 2: Dùng tọa độ

Đặt hệ trục: A là gốc, AB = Ox, AD = Oy, AS = Oz

A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a)

(ABCD): z = 0 → \(\vec{n_1} = (0; 0; 1)\)

(SBC) chứa: \(\overrightarrow{SB} = (a; 0; -a)\), \(\overrightarrow{SC} = (a; a; -a)\)

\(\vec{n_2} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} = (0 \cdot (-a) – (-a) \cdot a; (-a) \cdot a – a \cdot (-a); a \cdot a – 0 \cdot a)\)

\(\vec{n_2} = (a^2; 0; a^2)\) hay \(\vec{n_2} = (1; 0; 1)\)

\(\cos \alpha = \frac{|0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{0 + 0 + 1} \cdot \sqrt{1 + 0 + 1}} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\alpha = 45°\) ✓

Bài tập 5: Tìm tham số khi biết góc giữa hai mặt phẳng

Đề bài: Tìm m để hai mặt phẳng (P): \(x + my + z – 1 = 0\) và (Q): \(x – y + 2z + 3 = 0\) tạo với nhau góc 60°.

Lời giải:

\(\vec{n_1} = (1; m; 1)\), \(\vec{n_2} = (1; -1; 2)\)

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 – m + 2 = 3 – m\)

\(|\vec{n_1}| = \sqrt{1 + m^2 + 1} = \sqrt{m^2 + 2}\)

\(|\vec{n_2}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\)

\(\cos 60° = \frac{|3 – m|}{\sqrt{m^2 + 2} \cdot \sqrt{6}}\)

\(\frac{1}{2} = \frac{|3 – m|}{\sqrt{6(m^2 + 2)}}\)

\(\sqrt{6(m^2 + 2)} = 2|3 – m|\)

\(6(m^2 + 2) = 4(3 – m)^2\)

\(6m^2 + 12 = 4(9 – 6m + m^2)\)

\(6m^2 + 12 = 36 – 24m + 4m^2\)

\(2m^2 + 24m – 24 = 0\)

\(m^2 + 12m – 12 = 0\)

\(m = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 48}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{192}}{2} = -6 \pm 4\sqrt{3}\)

Vậy \(m = -6 + 4\sqrt{3}\) hoặc \(m = -6 – 4\sqrt{3}\)

7. Bài tập tự luyện để củng cố kiến thức

Sau khi nắm công thức và các dạng cơ bản, bạn có thể vận dụng cách tính góc giữa hai mặt phẳng để tự giải các bài dưới đây.

Bài 1: Tính góc giữa 2 mặt phẳng (P): \(2x – y + 2z – 1 = 0\) và (Q): \(x + 2y + 2z + 3 = 0\).

Xem đáp án

\(\vec{n_1} = (2; -1; 2)\), \(\vec{n_2} = (1; 2; 2)\)

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 – 2 + 4 = 4\)

\(|\vec{n_1}| = 3\), \(|\vec{n_2}| = 3\)

\(\cos \alpha = \frac{4}{9}\)

\(\alpha = \arccos\left(\frac{4}{9}\right) \approx 63°37’\)

Bài 2: Cho (P): \(x – 2y + 2z + 1 = 0\) và (Q): \(2x + y – 2z – 3 = 0\). Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng.

Xem đáp án

\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 – 2 – 4 = -4\)

\(|\vec{n_1}| = 3\), \(|\vec{n_2}| = 3\)

\(\cos \alpha = \frac{4}{9}\)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC = a, SA = a√2. Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

Xem đáp án

Giao tuyến: BC

Trong (ABC): AB ⊥ BC

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB, mà AB ⊥ BC → AB ⊥ (SBC) → AB ⊥ SB

Góc cần tìm là \(\widehat{SBA}\)

\(\tan(\widehat{SBA}) = \frac{SA}{AB} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}\)

\(\alpha = \arctan(\sqrt{2}) \approx 54°44’\)

Bài 4: Tìm k để (P): \(kx + y – z + 2 = 0\) vuông góc với (Q): \(x + ky + z – 1 = 0\).

Xem đáp án

Điều kiện vuông góc: \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\)

\(k \cdot 1 + 1 \cdot k + (-1) \cdot 1 = 0\)

\(2k – 1 = 0\)

\(k = \frac{1}{2}\)

8. Ghi nhớ kiến thức về góc giữa 2 mặt phẳng

Góc giữa 2 mặt phẳng là dạng kiến thức xuất hiện ở cả Hình học không gian và Hình học tọa độ. Để xử lý tốt dạng toán này, cần ghi nhớ:

• Với hình học lớp 11, ưu tiên xác định giao tuyến rồi dựng hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến để đưa bài toán về tính góc giữa hai đường thẳng.
• Trong Oxyz, công thức góc giữa hai mặt phẳng là \(\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\).
• Cosin góc giữa hai mặt phẳng có thể tính nhanh thông qua tọa độ hai vectơ pháp tuyến.
• Hai vectơ pháp tuyến cùng phương là cơ sở để xét hai mặt phẳng song song, còn tích vô hướng bằng 0 giúp nhận biết hai mặt phẳng vuông góc.

9. Kết Luận

Khi đã hiểu bản chất thay vì chỉ ghi nhớ công thức, các dạng góc giữa 2 mặt phẳng Oxyz cũng trở nên dễ nhận diện và xử lý hơn trong quá trình làm bài.