Diện tích elip: Công thức tính, chứng minh và bài tập chi tiết

Diện tích elip là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Hình học và Giải tích. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức tính diện tích hình elip, cách chứng minh, các công thức liên quan và bài tập minh họa có lời giải cụ thể.

1. Hình elip là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính diện tích hình elip, ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về elip.

1.1. Định nghĩa hình elip

Hình elip (hay còn gọi là hình bầu dục) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định (gọi là hai tiêu điểm) là một hằng số.

Nói cách khác: Cho hai điểm cố định F₁ và F₂ (tiêu điểm), elip là tập hợp các điểm M sao cho:

\(MF_1 + MF_2 = 2a\) (hằng số)

1.2. Các yếu tố của elip

Yếu tố	Ký hiệu	Mô tả
Bán trục lớn	a	Nửa độ dài trục lớn (trục dài nhất)
Bán trục nhỏ	b	Nửa độ dài trục nhỏ (trục ngắn nhất)
Tiêu cự	c	Khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm
Tâm elip	O	Giao điểm của hai trục
Tiêu điểm	F₁, F₂	Hai điểm cố định trên trục lớn

Mối quan hệ: \(c^2 = a^2 – b^2\) (với a > b > 0)

1.3. Phương trình chính tắc của elip

Elip có tâm tại gốc tọa độ O, trục lớn nằm trên trục Ox có phương trình:

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) (với a > b > 0)

2. Công thức tính diện tích hình elip

Dưới đây là công thức tính diện tích hình elip chuẩn và đầy đủ nhất.

2.1. Công thức chính

\(S = \pi ab\)

Trong đó:

• S: Diện tích hình elip
• a: Độ dài bán trục lớn
• b: Độ dài bán trục nhỏ
• π ≈ 3,14159

2.2. Phát biểu bằng lời

Diện tích elip bằng tích của π với bán trục lớn và bán trục nhỏ.

2.3. So sánh với diện tích hình tròn

Hình	Công thức diện tích	Ghi chú
Hình tròn	\(S = \pi r^2\)	r là bán kính
Hình elip	\(S = \pi ab\)	a, b là hai bán trục

Nhận xét: Khi a = b = r, elip trở thành hình tròn và \(S = \pi r \cdot r = \pi r^2\).

2.4. Các dạng khác của công thức

Nếu gọi trục lớn là \(2a\) và trục nhỏ là \(2b\), ta có thể viết:

\(S = \frac{\pi \cdot (2a) \cdot (2b)}{4} = \frac{\pi \cdot d_1 \cdot d_2}{4}\)

Trong đó \(d_1 = 2a\) là độ dài trục lớn, \(d_2 = 2b\) là độ dài trục nhỏ.

3. Chứng minh công thức diện tích elip

Có nhiều cách chứng minh công thức tính diện tích hình elip:

3.1. Phương pháp tích phân

Xét elip có phương trình: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

Từ phương trình, ta có: \(y = \pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2 – x^2}\)

Diện tích nửa trên của elip:

\(S_{1/2} = \int_{-a}^{a} \frac{b}{a}\sqrt{a^2 – x^2} \, dx\)

Đặt \(x = a\sin t\), \(dx = a\cos t \, dt\)

Khi \(x = -a \Rightarrow t = -\frac{\pi}{2}\); khi \(x = a \Rightarrow t = \frac{\pi}{2}\)

\(S_{1/2} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{b}{a} \cdot a\cos t \cdot a\cos t \, dt = ab \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 t \, dt\)

\(= ab \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = \frac{ab}{2} \left[t + \frac{\sin 2t}{2}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}\)

\(= \frac{ab}{2} \cdot \pi = \frac{\pi ab}{2}\)

Diện tích toàn phần: \(S = 2 \cdot S_{1/2} = \pi ab\) ✓

3.2. Phương pháp biến đổi tỉ lệ

Elip có thể xem như hình tròn bán kính a bị co lại theo phương Oy với tỉ lệ \(\frac{b}{a}\).

Diện tích hình tròn: \(S_{tròn} = \pi a^2\)

Sau khi co theo Oy với tỉ lệ \(\frac{b}{a}\):

\(S_{elip} = S_{tròn} \times \frac{b}{a} = \pi a^2 \times \frac{b}{a} = \pi ab\) ✓

4. Công thức chu vi elip

Bên cạnh diện tích elip, chu vi elip cũng là đại lượng quan trọng.

4.1. Công thức chính xác (dạng tích phân)

Chu vi elip không có công thức đơn giản như diện tích. Công thức chính xác dưới dạng tích phân elliptic:

\(C = 4a \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 – e^2 \sin^2 \theta} \, d\theta\)

Trong đó \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}\) là tâm sai của elip.

4.2. Công thức gần đúng

Công thức 1 (đơn giản):

\(C \approx \pi(a + b)\)

Công thức 2 (chính xác hơn):

\(C \approx \pi\sqrt{2(a^2 + b^2)}\)

4.3. Công thức Ramanujan (rất chính xác)

\(C \approx \pi \left[3(a + b) – \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}\right]\)

Hoặc dạng khác:

\(C \approx \pi(a + b)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 – 3h}}\right)\)

Trong đó: \(h = \frac{(a – b)^2}{(a + b)^2}\)

5. Bảng tổng hợp công thức elip

Đại lượng	Công thức
Diện tích	\(S = \pi ab\)
Chu vi (gần đúng)	\(C \approx \pi(a + b)\)
Chu vi (Ramanujan)	\(C \approx \pi \left[3(a + b) – \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}\right]\)
Tiêu cự	\(c = \sqrt{a^2 – b^2}\)
Tâm sai	\(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}\)
Phương trình chính tắc	\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

6. Các dạng bài tập về diện tích elip

Dưới đây là các dạng bài thường gặp khi áp dụng công thức tính diện tích hình elip:

Dạng 1: Tính diện tích khi biết bán trục

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức \(S = \pi ab\)

Dạng 2: Tìm bán trục khi biết diện tích

Phương pháp: Biến đổi công thức để tìm a hoặc b

• \(a = \frac{S}{\pi b}\)
• \(b = \frac{S}{\pi a}\)

Dạng 3: Bài toán từ phương trình elip

Phương pháp: Xác định a, b từ phương trình rồi tính diện tích

Dạng 4: Bài toán ứng dụng thực tế

Phương pháp: Chuyển đổi dữ liệu thực tế về dạng toán học rồi áp dụng công thức

7. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng công thức tính diện tích hình elip để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Tính diện tích cơ bản

Đề bài: Tính diện tích elip có bán trục lớn a = 5 cm và bán trục nhỏ b = 3 cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình elip:

\(S = \pi ab = \pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx 47,12\) (cm²)

Đáp số: \(S = 15\pi \approx 47,12\) cm²

Bài tập 2: Tính diện tích từ phương trình

Đề bài: Cho elip (E): \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\). Tính diện tích elip.

Lời giải:

Từ phương trình elip: \(a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\)

\(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\)

Diện tích elip:

\(S = \pi ab = \pi \times 4 \times 3 = 12\pi \approx 37,70\) (đơn vị diện tích)

Đáp số: \(S = 12\pi\)

Bài tập 3: Tìm bán trục

Đề bài: Một hình elip có diện tích \(20\pi\) cm² và bán trục lớn a = 5 cm. Tìm bán trục nhỏ b.

Lời giải:

Từ công thức: \(S = \pi ab\)

\(20\pi = \pi \times 5 \times b\)

\(b = \frac{20\pi}{5\pi} = 4\) (cm)

Đáp số: b = 4 cm

Bài tập 4: So sánh diện tích

Đề bài: So sánh diện tích hình elip có a = 6, b = 4 với diện tích hình tròn có bán kính r = 5.

Lời giải:

Diện tích elip: \(S_1 = \pi \times 6 \times 4 = 24\pi\)

Diện tích hình tròn: \(S_2 = \pi \times 5^2 = 25\pi\)

So sánh: \(24\pi < 25\pi\)

Vậy diện tích hình elip nhỏ hơn diện tích hình tròn

Bài tập 5: Bài toán ứng dụng

Đề bài: Một sân vận động có mặt cỏ hình elip với trục lớn dài 120 m và trục nhỏ dài 80 m. Tính diện tích mặt cỏ.

Lời giải:

Trục lớn = 120 m → Bán trục lớn: \(a = \frac{120}{2} = 60\) m

Trục nhỏ = 80 m → Bán trục nhỏ: \(b = \frac{80}{2} = 40\) m

Diện tích mặt cỏ:

\(S = \pi ab = \pi \times 60 \times 40 = 2400\pi \approx 7539,82\) (m²)

Đáp số: \(S = 2400\pi \approx 7539,82\) m²

Bài tập 6: Tính chu vi và diện tích

Đề bài: Cho elip có a = 10 cm, b = 6 cm. Tính diện tích và chu vi (dùng công thức Ramanujan).

Lời giải:

Tính diện tích:

\(S = \pi ab = \pi \times 10 \times 6 = 60\pi \approx 188,50\) (cm²)

Tính chu vi (công thức Ramanujan):

\(C \approx \pi \left[3(a + b) – \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}\right]\)

\(C \approx \pi \left[3(10 + 6) – \sqrt{(30 + 6)(10 + 18)}\right]\)

\(C \approx \pi \left[48 – \sqrt{36 \times 28}\right]\)

\(C \approx \pi \left[48 – \sqrt{1008}\right]\)

\(C \approx \pi \left[48 – 31,75\right]\)

\(C \approx 16,25\pi \approx 51,05\) (cm)

Đáp số: Diện tích ≈ 188,50 cm², Chu vi ≈ 51,05 cm

Bài tập 7: Tìm phương trình elip

Đề bài: Tìm phương trình chính tắc của elip có diện tích \(24\pi\) và tâm sai \(e = \frac{1}{2}\), biết trục lớn nằm trên Ox.

Lời giải:

Ta có: \(S = \pi ab = 24\pi \Rightarrow ab = 24\) (1)

Tâm sai: \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{a}{2}\)

Mà: \(c^2 = a^2 – b^2\)

\(\frac{a^2}{4} = a^2 – b^2\)

\(b^2 = a^2 – \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}\)

\(b = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) (2)

Thay (2) vào (1):

\(a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = 24\)

\(\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 24\)

\(a^2 = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3}\)

\(b^2 = \frac{3 \times 16\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}\)

Phương trình elip: \(\frac{x^2}{16\sqrt{3}} + \frac{y^2}{12\sqrt{3}} = 1\)

8. Bài tập tự luyện

Vận dụng công thức diện tích elip, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính diện tích elip có bán trục lớn 8 cm và bán trục nhỏ 5 cm.

Xem đáp án

\(S = \pi \times 8 \times 5 = 40\pi \approx 125,66\) cm²

Bài 2: Cho elip (E): \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\). Tính diện tích elip.

Xem đáp án

\(a = 5\), \(b = 4\)

\(S = \pi \times 5 \times 4 = 20\pi \approx 62,83\)

Bài 3: Một bể bơi hình elip có trục lớn 50 m và trục nhỏ 30 m. Tính diện tích mặt nước.

Xem đáp án

\(a = 25\) m, \(b = 15\) m

\(S = \pi \times 25 \times 15 = 375\pi \approx 1178,10\) m²

Bài 4: Elip có diện tích \(35\pi\) cm² và bán trục nhỏ b = 5 cm. Tìm bán trục lớn.

Xem đáp án

\(35\pi = \pi \times a \times 5\)

\(a = 7\) cm

Bài 5: Chứng minh rằng nếu elip có hai bán trục bằng nhau thì diện tích bằng diện tích hình tròn có cùng bán kính.

Xem đáp án

Nếu a = b = r thì:

\(S_{elip} = \pi \times r \times r = \pi r^2 = S_{tròn}\) ✓

9. Ứng dụng của công thức diện tích elip

Công thức tính diện tích hình elip có nhiều ứng dụng trong thực tế:

• Thiên văn học: Tính diện tích quỹ đạo hành tinh (theo định luật Kepler)
• Kiến trúc: Thiết kế sân vận động, nhà hát hình elip
• Kỹ thuật: Tính diện tích mặt cắt ống elip, bánh răng elip
• Y học: Đo diện tích các cơ quan có hình dạng elip

10. Kết luận

Diện tích elip là kiến thức quan trọng với công thức đơn giản và dễ nhớ. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Công thức tính diện tích hình elip: \(S = \pi ab\)
• Các yếu tố của elip: bán trục lớn (a), bán trục nhỏ (b), tiêu cự (c)
• Cách chứng minh công thức bằng tích phân và biến đổi tỉ lệ
• Công thức tính chu vi elip (công thức Ramanujan)
• Các dạng bài tập và ứng dụng thực tế

Hãy ghi nhớ công thức diện tích elip \(S = \pi ab\) và luyện tập thường xuyên để thành thạo trong các bài toán liên quan.