Đường tròn bàng tiếp: Tâm, bán kính và cách vẽ chi tiết nhất

Đường tròn bàng tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học tam giác. Bài viết này sẽ giải đáp chi tiết đường tròn bàng tiếp là gì, tâm đường tròn bàng tiếp, cách vẽ đường tròn bàng tiếp cùng các kiến thức liên quan như tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

1. Đường tròn bàng tiếp là gì?

Trước tiên, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm đường tròn bàng tiếp tam giác:

1.1. Định nghĩa đường tròn bàng tiếp

Đường tròn bàng tiếp của tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại.

Định nghĩa chi tiết: Cho tam giác ABC. Đường tròn bàng tiếp trong góc A (ký hiệu là đường tròn bàng tiếp cạnh BC) là đường tròn:

• Tiếp xúc với cạnh BC
• Tiếp xúc với tia AB (phần kéo dài của cạnh AB qua B)
• Tiếp xúc với tia AC (phần kéo dài của cạnh AC qua C)

1.2. Số đường tròn bàng tiếp của tam giác

Mỗi tam giác có đúng 3 đường tròn bàng tiếp, tương ứng với 3 góc (hoặc 3 cạnh):

1.3. So sánh đường tròn bàng tiếp và đường tròn nội tiếp

2. Tâm đường tròn bàng tiếp

Tâm đường tròn bàng tiếp có vị trí và cách xác định đặc biệt:

2.1. Định nghĩa tâm đường tròn bàng tiếp

Tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A (ký hiệu \( I_a \)) là giao điểm của:

• Đường phân giác trong của góc A
• Đường phân giác ngoài của góc B
• Đường phân giác ngoài của góc C

\( I_a \) = (Phân giác trong góc A) ∩ (Phân giác ngoài góc B) ∩ (Phân giác ngoài góc C)

2.2. Tính chất của tâm đường tròn bàng tiếp

Tâm đường tròn bàng tiếp có các tính chất quan trọng:

• Cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác
• Nằm bên ngoài tam giác
• Nằm trên đường phân giác trong của góc tương ứng

2.3. Vị trí các tâm bàng tiếp

3. Công thức tính bán kính đường tròn bàng tiếp

Dưới đây là các công thức tính bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác:

3.1. Công thức theo diện tích và nửa chu vi

Cho tam giác ABC có diện tích \( S \), nửa chu vi \( p = \frac{a + b + c}{2} \):

\( r_a = \frac{S}{p – a} \)

\( r_b = \frac{S}{p – b} \)

\( r_c = \frac{S}{p – c} \)

Trong đó:

• \( r_a \): bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A
• \( a, b, c \): độ dài các cạnh BC, CA, AB
• \( S \): diện tích tam giác
• \( p \): nửa chu vi

3.2. Công thức theo các cạnh (dùng Heron)

Áp dụng công thức Heron: \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

\( r_a = \sqrt{\frac{p(p-b)(p-c)}{p-a}} \)

3.3. Công thức theo bán kính nội tiếp

Gọi \( r \) là bán kính đường tròn nội tiếp:

\( r = \frac{S}{p} \)

Ta có mối liên hệ:

\( r_a = \frac{r \cdot p}{p – a} \)

3.4. Bảng tổng hợp công thức bán kính bàng tiếp

3.5. Một số hệ thức quan trọng

Các mối liên hệ giữa bán kính bàng tiếp và các đại lượng khác:

• \( r_a + r_b + r_c = r + 4R \) (với \( R \) là bán kính ngoại tiếp)
• \( r_a \cdot r_b \cdot r_c = r \cdot S \cdot p \)
• \( \frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} \)
• \( S = \sqrt{r \cdot r_a \cdot r_b \cdot r_c} \)

4. Cách vẽ đường tròn bàng tiếp

Dưới đây là hướng dẫn cách vẽ đường tròn bàng tiếp chi tiết:

4.1. Dụng cụ cần thiết

• Thước kẻ
• Compa
• Bút chì

4.2. Các bước vẽ đường tròn bàng tiếp trong góc A

Bước 1: Vẽ tam giác ABC

Bước 2: Vẽ đường phân giác trong của góc A

• Dùng compa vẽ cung tròn tâm A cắt AB tại M, cắt AC tại N
• Vẽ các cung tròn tâm M và N có cùng bán kính, cắt nhau tại điểm P
• Nối A với P được đường phân giác trong góc A

Bước 3: Vẽ đường phân giác ngoài của góc B

• Kéo dài cạnh AB qua B
• Vẽ đường phân giác của góc ngoài tại B (góc giữa BC và tia đối của BA)

Bước 4: Xác định tâm \( I_a \)

• Giao điểm của phân giác trong góc A và phân giác ngoài góc B là tâm \( I_a \)

Bước 5: Xác định bán kính

• Từ \( I_a \), kẻ đường vuông góc xuống cạnh BC, gọi chân đường vuông góc là H
• Bán kính \( r_a = I_aH \)

Bước 6: Vẽ đường tròn bàng tiếp

• Vẽ đường tròn tâm \( I_a \), bán kính \( r_a \)

4.3. Lưu ý khi vẽ

• Phân giác ngoài của góc B vuông góc với phân giác trong của góc B
• Đường tròn bàng tiếp nằm bên ngoài tam giác
• Có thể kiểm tra bằng cách vẽ thêm phân giác ngoài góc C (phải đi qua \( I_a \))

5. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Để hiểu rõ hơn về các loại đường tròn liên quan đến tam giác, chúng ta tìm hiểu thêm về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

5.1. Định nghĩa tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (ký hiệu O) là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh tam giác.

O = (Trung trực AB) ∩ (Trung trực BC) ∩ (Trung trực CA)

5.2. Tính chất của tâm đường tròn ngoại tiếp

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác:

\( OA = OB = OC = R \)

Trong đó \( R \) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

5.3. Vị trí tâm đường tròn ngoại tiếp

6. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (ký hiệu R) là khoảng cách từ tâm O đến mỗi đỉnh của tam giác:

6.1. Công thức tính bán kính ngoại tiếp

6.2. So sánh các loại đường tròn của tam giác

7. Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các ví dụ minh họa về đường tròn bàng tiếp chi tiết:

Ví dụ 1: Tính bán kính đường tròn bàng tiếp

Đề bài: Cho tam giác ABC có các cạnh \( a = 5 \), \( b = 6 \), \( c = 7 \). Tính bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A.

Lời giải:

Bước 1: Tính nửa chu vi

\( p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \)

Bước 2: Tính diện tích (công thức Heron)

\( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \)

Bước 3: Tính bán kính bàng tiếp \( r_a \)

\( r_a = \frac{S}{p – a} = \frac{6\sqrt{6}}{9 – 5} = \frac{6\sqrt{6}}{4} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \)

Đáp số: \( r_a = \frac{3\sqrt{6}}{2} \)

Ví dụ 2: Tính cả 3 bán kính bàng tiếp

Đề bài: Cho tam giác ABC có \( a = 3 \), \( b = 4 \), \( c = 5 \). Tính \( r_a \), \( r_b \), \( r_c \).

Lời giải:

Nhận xét: \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \) → Tam giác vuông tại C

Bước 1: Tính các đại lượng cơ bản

• \( p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \)
• \( S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \)

Bước 2: Tính các bán kính bàng tiếp

\( r_a = \frac{S}{p – a} = \frac{6}{6 – 3} = \frac{6}{3} = 2 \)

\( r_b = \frac{S}{p – b} = \frac{6}{6 – 4} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( r_c = \frac{S}{p – c} = \frac{6}{6 – 5} = \frac{6}{1} = 6 \)

Đáp số: \( r_a = 2 \), \( r_b = 3 \), \( r_c = 6 \)

Ví dụ 3: Kiểm tra hệ thức

Đề bài: Với tam giác ở ví dụ 2, kiểm tra hệ thức \( \frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} \).

Lời giải:

Tính bán kính nội tiếp:

\( r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1 \)

Kiểm tra:

\( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 = \frac{1}{r} \) ✓

Ví dụ 4: Tính bán kính ngoại tiếp

Đề bài: Cho tam giác ABC có \( a = 3 \), \( b = 4 \), \( c = 5 \). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

\( R = \frac{abc}{4S} = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = \frac{5}{2} \)

Hoặc vì tam giác vuông tại C, cạnh huyền \( c = 5 \):

\( R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} \)

Đáp số: \( R = \frac{5}{2} = 2.5 \)

Ví dụ 5: Xác định tâm đường tròn bàng tiếp

Đề bài: Cho tam giác ABC. Tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A nằm trên những đường nào?

Lời giải:

Tâm đường tròn bàng tiếp \( I_a \) nằm trên:

1. Đường phân giác trong của góc A
2. Đường phân giác ngoài của góc B
3. Đường phân giác ngoài của góc C

\( I_a \) là giao điểm của ba đường này.

Ví dụ 6: Tam giác đều

Đề bài: Cho tam giác đều cạnh \( a \). Tính bán kính đường tròn bàng tiếp.

Lời giải:

Với tam giác đều cạnh \( a \):

• \( p = \frac{3a}{2} \)
• \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
• \( p – a = \frac{3a}{2} – a = \frac{a}{2} \)

Bán kính bàng tiếp (bằng nhau do tam giác đều):

\( r_a = r_b = r_c = \frac{S}{p – a} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)

Đáp số: \( r_a = r_b = r_c = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)

Bài tập tự luyện

Hãy thử sức với các bài tập sau về đường tròn bàng tiếp tam giác:

8. Kết luận

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về đường tròn bàng tiếp và các khái niệm liên quan. Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh còn lại, với tâm đường tròn bàng tiếp là giao của một phân giác trong và hai phân giác ngoài.

Những điểm quan trọng cần nhớ:

• Đường tròn bàng tiếp là gì: Đường tròn tiếp xúc với 1 cạnh và 2 cạnh kéo dài
• Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp
• Công thức bán kính: \( r_a = \frac{S}{p – a} \)
• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đường trung trực
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: \( R = \frac{abc}{4S} \)

Nắm vững cách vẽ đường tròn bàng tiếp và các công thức liên quan sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán hình học phẳng về tam giác.