Hình lục giác đều là gì? Tính chất, dấu hiệu nhận biết lớp 8

Hình lục giác đều là gì? Đây là một trong những hình đa giác đều quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, tính chất, công thức tính chu vi và diện tích hình lục giác đều cùng các ví dụ minh họa chi tiết.

Hình lục giác đều là gì?

Để trả lời câu hỏi hình lục giác đều là gì, chúng ta cần hiểu định nghĩa chính xác của nó trong hình học.

Hình lục giác đều là đa giác đều có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau. Mỗi góc trong của hình lục giác đều có số đo bằng \(120°\).

Định nghĩa khác: Hình lục giác đều là hình lục giác vừa có 6 cạnh bằng nhau (lục giác đều cạnh) vừa có 6 góc bằng nhau (lục giác đều góc).

Các yếu tố cơ bản của hình lục giác đều

Sau khi đã hiểu hình lục giác đều là gì, chúng ta cùng tìm hiểu các yếu tố cấu thành hình này.

Đỉnh và cạnh

• Đỉnh: Hình lục giác đều có 6 đỉnh, thường được ký hiệu là A, B, C, D, E, F
• Cạnh: Có 6 cạnh bằng nhau, ký hiệu độ dài cạnh là \(a\)

Góc trong và góc ngoài

• Góc trong: Mỗi góc trong bằng \(\frac{(6-2) \times 180°}{6} = 120°\)
• Góc ngoài: Mỗi góc ngoài bằng \(180° – 120° = 60°\)
• Tổng các góc trong: \(6 \times 120° = 720°\)
• Tổng các góc ngoài: \(6 \times 60° = 360°\)

Đường chéo

Đường chéo là đoạn thẳng nối hai đỉnh không liền kề của hình lục giác đều.

• Số đường chéo: \(\frac{6 \times (6-3)}{2} = 9\) đường chéo
• Có 3 đường chéo chính (đi qua tâm) và 6 đường chéo phụ
• Độ dài đường chéo chính: \(d = 2a\)
• Độ dài đường chéo phụ: \(d’ = a\sqrt{3}\)

Tâm và bán kính

• Tâm O: Là giao điểm của các đường chéo chính, cũng là tâm đối xứng
• Bán kính ngoại tiếp (R): Khoảng cách từ tâm đến đỉnh, \(R = a\)
• Bán kính nội tiếp (r): Khoảng cách từ tâm đến cạnh, \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Tính chất của hình lục giác đều

Hình lục giác đều có nhiều tính chất đặc biệt quan trọng cần ghi nhớ.

Tính chất về đối xứng

• Có 1 tâm đối xứng (tâm O)
• Có 6 trục đối xứng: 3 trục nối các đỉnh đối diện, 3 trục nối trung điểm các cạnh đối diện

Tính chất về đường tròn

• Hình lục giác đều nội tiếp được trong đường tròn (đường tròn ngoại tiếp)
• Hình lục giác đều ngoại tiếp được đường tròn (đường tròn nội tiếp)
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng cạnh: \(R = a\)

Tính chất về tam giác

• Hình lục giác đều có thể chia thành 6 tam giác đều bằng nhau bằng cách nối tâm với 6 đỉnh
• Mỗi tam giác đều có cạnh bằng \(a\)

Bảng tổng hợp tính chất

Công thức tính chu vi và diện tích hình lục giác đều

Đây là phần kiến thức quan trọng nhất khi tìm hiểu hình lục giác đều là gì.

Công thức tính chu vi

Gọi \(a\) là độ dài cạnh, chu vi hình lục giác đều được tính:

\(C = 6a\)

Công thức tính diện tích

Diện tích hình lục giác đều được tính theo công thức:

\(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)

Hoặc viết gần đúng: \(S \approx 2,598 \times a^2\)

Công thức tính diện tích theo bán kính

• Theo bán kính ngoại tiếp R: \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2\) (vì \(R = a\))
• Theo bán kính nội tiếp r: \(S = 2\sqrt{3} \times r^2\)

Bảng tổng hợp công thức

Hình lục giác đều trong thực tế

Hình lục giác đều xuất hiện rất nhiều trong tự nhiên và đời sống:

• Tổ ong: Các ô trong tổ ong có dạng lục giác đều, giúp tối ưu không gian và tiết kiệm sáp
• Bút chì: Nhiều loại bút chì có tiết diện hình lục giác đều
• Ốc vít, bu lông: Đầu ốc vít thường có dạng lục giác đều
• Gạch lát sàn: Gạch hình lục giác đều có thể lát kín mặt phẳng không để hở
• Tinh thể: Một số tinh thể như bông tuyết có cấu trúc lục giác

Ví dụ và bài tập minh họa

Để hiểu rõ hơn hình lục giác đều là gì và vận dụng công thức, hãy làm các bài tập sau.

Bài tập 1: Tính chu vi và diện tích

Đề bài: Cho hình lục giác đều có cạnh \(a = 6\) cm. Tính chu vi và diện tích.

Lời giải:

Tính chu vi:

\(C = 6a = 6 \times 6 = 36\) (cm)

Tính diện tích:

\(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 36 = 54\sqrt{3} \approx 93,53\) (cm²)

Đáp số: Chu vi = 36 cm; Diện tích = \(54\sqrt{3}\) cm² ≈ 93,53 cm²

Bài tập 2: Tính cạnh khi biết diện tích

Đề bài: Hình lục giác đều có diện tích \(S = 96\sqrt{3}\) cm². Tính độ dài cạnh.

Lời giải:

Từ công thức: \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)

\(96\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times a^2\)

\(a^2 = \frac{96\sqrt{3} \times 2}{3\sqrt{3}} = \frac{192\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 64\)

\(a = 8\) (cm)

Đáp số: Cạnh = 8 cm

Bài tập 3: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

Đề bài: Cho hình lục giác đều có cạnh \(a = 10\) cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.

Lời giải:

Bán kính ngoại tiếp:

\(R = a = 10\) (cm)

Bán kính nội tiếp:

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8,66\) (cm)

Đáp số: \(R = 10\) cm; \(r = 5\sqrt{3}\) cm ≈ 8,66 cm

Bài tập 4: Tính đường chéo

Đề bài: Cho hình lục giác đều ABCDEF có cạnh \(a = 5\) cm. Tính độ dài đường chéo AD và AC.

Lời giải:

Đường chéo chính AD (đi qua tâm):

\(AD = 2a = 2 \times 5 = 10\) (cm)

Đường chéo phụ AC:

\(AC = a\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \approx 8,66\) (cm)

Đáp số: AD = 10 cm; AC = \(5\sqrt{3}\) cm ≈ 8,66 cm

Bài tập 5: Bài toán thực tế

Đề bài: Một viên gạch lát sàn hình lục giác đều có cạnh 15 cm. Tính diện tích viên gạch và số gạch cần để lát một căn phòng có diện tích 10 m².

Lời giải:

Diện tích một viên gạch:

\(S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 15^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 225 = \frac{675\sqrt{3}}{2} \approx 584,57\) (cm²)

Đổi diện tích phòng: 10 m² = 100.000 cm²

Số gạch cần dùng:

\(n = \frac{100000}{584,57} \approx 171,07\)

Vậy cần khoảng 172 viên gạch (làm tròn lên).

Đáp số: Diện tích viên gạch ≈ 584,57 cm²; Cần khoảng 172 viên gạch

Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ hình lục giác đều là gì, các tính chất quan trọng cũng như công thức tính chu vi, diện tích. Hình lục giác đều là đa giác có 6 cạnh bằng nhau, 6 góc bằng nhau (mỗi góc \(120°\)), với nhiều ứng dụng trong thực tế. Hãy ghi nhớ các công thức và luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này nhé!