Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Cách tìm Max Min

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán THPT, đặc biệt là Toán 12. Bài viết này giải thích chi tiết giá trị nhỏ nhất là gì, giá trị lớn nhất là gì, ký hiệu max min cùng cách tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất với các phương pháp đa dạng và bài tập có lời giải chi tiết.

1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là gì?

Trước tiên, cần hiểu rõ giá trị lớn nhất là gì và giá trị nhỏ nhất là gì.

1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất

Giá trị lớn nhất là gì? Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu thỏa mãn hai điều kiện:

• f(x) ≤ M với mọi x ∈ D
• Tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = M

Ký hiệu: M = max f(x) hoặc M = max y

1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất

Giá trị nhỏ nhất là gì? Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu thỏa mãn hai điều kiện:

• f(x) ≥ m với mọi x ∈ D
• Tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = m

Ký hiệu: m = min f(x) hoặc m = min y

1.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho hàm số y = x² trên đoạn [-2; 3]

• Giá trị nhỏ nhất: min y = 0 (đạt tại x = 0)
• Giá trị lớn nhất: max y = 9 (đạt tại x = 3)

1.4. Phân biệt GTLN, GTNN và cực trị

Khái niệm	Ý nghĩa	Phạm vi
Giá trị lớn nhất (max)	Giá trị lớn nhất trên toàn miền	Toàn bộ tập xác định hoặc đoạn cho trước
Giá trị nhỏ nhất (min)	Giá trị nhỏ nhất trên toàn miền	Toàn bộ tập xác định hoặc đoạn cho trước
Cực đại	Giá trị lớn nhất địa phương	Lân cận của điểm cực trị
Cực tiểu	Giá trị nhỏ nhất địa phương	Lân cận của điểm cực trị

2. Ký hiệu Max Min

Dưới đây là các ký hiệu max min thường dùng trong toán học.

2.1. Các cách ký hiệu

Ký hiệu	Đọc là	Ý nghĩa
max f(x)	“max f x” hoặc “giá trị lớn nhất”	Giá trị lớn nhất của f(x)
min f(x)	“min f x” hoặc “giá trị nhỏ nhất”	Giá trị nhỏ nhất của f(x)
\(\max_{x \in D} f(x)\)	“max f x trên D”	GTLN của f(x) trên tập D
\(\min_{x \in [a;b]} f(x)\)	“min f x trên [a;b]”	GTNN của f(x) trên đoạn [a;b]
GTLN, GTNN	Viết tắt tiếng Việt	Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

2.2. Ký hiệu trong đề bài

Các cách diễn đạt thường gặp:

• “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số…”
• “Tìm max và min của hàm số…”
• “Tìm GTLN, GTNN của hàm số…”
• “Tìm M = max f(x), m = min f(x)…”

3. Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Có nhiều phương pháp để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số và giá trị lớn nhất. Dưới đây là tổng hợp các phương pháp.

3.1. Tổng quan các phương pháp

Phương pháp	Áp dụng cho	Cấp độ
Dùng đạo hàm	Hàm khả vi trên đoạn [a;b]	Toán 12
Dùng bất đẳng thức	Hàm có dạng đặc biệt	Toán 10, 11
Dùng tính đơn điệu	Hàm đơn điệu trên miền	Toán 10, 11, 12
Đặt ẩn phụ	Hàm lượng giác, căn thức	Toán 11
Phương pháp hình học	Bài toán tọa độ	Toán 10

3.2. Nguyên tắc chung

Cách tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất:

1. Xác định tập xác định (hoặc miền cần xét)
2. Tìm các điểm “nghi ngờ” có thể đạt GTLN, GTNN
3. So sánh giá trị hàm số tại các điểm đó
4. Kết luận GTLN, GTNN

4. Tìm GTLN, GTNN bằng đạo hàm

Đây là phương pháp quan trọng nhất để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

4.1. GTLN, GTNN trên đoạn [a; b]

Định lý: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì f(x) đạt GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Tính f'(x)
2. Bước 2: Tìm các điểm x₁, x₂, … ∈ (a; b) sao cho f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định
3. Bước 3: Tính f(a), f(b), f(x₁), f(x₂), …
4. Bước 4: So sánh các giá trị:
   • max f(x) = giá trị lớn nhất trong các giá trị trên
   • min f(x) = giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên

4.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ – 3x + 2 trên đoạn [-3; 3]

Lời giải:

Bước 1: f'(x) = 3x² – 3 = 3(x² – 1)

Bước 2: f'(x) = 0 ⇔ x² – 1 = 0 ⇔ x = ±1 ∈ (-3; 3)

Bước 3: Tính giá trị:

• f(-3) = -27 + 9 + 2 = -16
• f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4
• f(1) = 1 – 3 + 2 = 0
• f(3) = 27 – 9 + 2 = 20

Bước 4: So sánh: -16 < 0 < 4 < 20

Kết luận:

• max f(x) = 20 đạt tại x = 3
• min f(x) = -16 đạt tại x = -3

4.3. GTLN, GTNN trên khoảng (a; b) hoặc nửa khoảng

Lưu ý: Trên khoảng mở, hàm số có thể không đạt GTLN hoặc GTNN.

Phương pháp:

1. Lập bảng biến thiên
2. Xét giới hạn tại các đầu mút
3. Kết luận dựa vào bảng biến thiên

4.4. GTLN, GTNN trên tập xác định

Phương pháp:

1. Tìm cực trị của hàm số
2. Tính giới hạn tại vô cực
3. So sánh và kết luận

5. Tìm GTLN, GTNN không dùng đạo hàm

Các phương pháp cách tính giá trị nhỏ nhất không dùng đạo hàm.

5.1. Phương pháp dùng bất đẳng thức

Các BĐT thường dùng:

Bất đẳng thức	Điều kiện đẳng thức
\(a^2 \geq 0\)	a = 0
\((a – b)^2 \geq 0 \Rightarrow a^2 + b^2 \geq 2ab\)	a = b
\(a + b \geq 2\sqrt{ab}\) (a, b > 0)	a = b
\(\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\) (AM-GM)	a = b
\(|a| + |b| \geq |a + b|\)	ab ≥ 0

5.2. Ví dụ dùng BĐT Cauchy

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\) với x > 0

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho x > 0 và 1/x > 0:

\[ x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 \]

Đẳng thức xảy ra khi x = 1/x ⇔ x = 1

Vậy min y = 2 đạt tại x = 1

5.3. Phương pháp biến đổi về dạng bình phương

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² – 4x + 5

Lời giải:

y = x² – 4x + 5 = (x² – 4x + 4) + 1 = (x – 2)² + 1

Vì (x – 2)² ≥ 0 nên y ≥ 1

Đẳng thức khi x – 2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy min y = 1 đạt tại x = 2

5.4. Phương pháp đặt ẩn phụ

Áp dụng cho: Hàm lượng giác, hàm chứa căn thức

Các bước:

1. Đặt t = f(x), xác định miền giá trị của t
2. Biểu diễn y theo t
3. Tìm GTLN, GTNN của y theo t trên miền đã xác định

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của y = sin²x + 2sin x – 1

Đặt t = sin x, t ∈ [-1; 1]

y = t² + 2t – 1 = (t + 1)² – 2

Xét trên [-1; 1]:

• Đỉnh parabol tại t = -1 ∈ [-1; 1]
• y(-1) = 0 – 2 = -2 (min)
• y(1) = 1 + 2 – 1 = 2 (max)

Vậy min y = -2, max y = 2

5.5. Phương pháp dùng tính đơn điệu

Nếu hàm số đơn điệu trên đoạn [a; b]:

• Hàm đồng biến: min = f(a), max = f(b)
• Hàm nghịch biến: min = f(b), max = f(a)

6. GTLN, GTNN của các hàm số đặc biệt

6.1. Hàm bậc hai y = ax² + bx + c

Đỉnh parabol: \(x_đ = -\frac{b}{2a}\), \(y_đ = -\frac{\Delta}{4a}\)

Trường hợp	GTLN	GTNN
a > 0 (parabol hướng lên)	Không có	\(y_{min} = -\frac{\Delta}{4a}\)
a < 0 (parabol hướng xuống)	\(y_{max} = -\frac{\Delta}{4a}\)	Không có

6.2. Hàm lượng giác cơ bản

Hàm số	min	max
y = sin x	-1	1
y = cos x	-1	1
y = a·sin x + b	b – |a|	b + |a|
y = a·sin x + b·cos x	\(-\sqrt{a^2+b^2}\)	\(\sqrt{a^2+b^2}\)

6.3. Hàm phân thức

Dạng: \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\)

Nếu c ≠ 0, hàm số có tiệm cận ngang y = a/c, không có GTLN, GTNN trên ℝ.

Trên đoạn [m; n] không chứa x = -d/c, dùng đạo hàm hoặc xét tính đơn điệu.

6.4. Hàm căn thức

Dạng: \(y = \sqrt{f(x)}\)

• \(y \geq 0\) với mọi x trong TXĐ
• min y = 0 khi f(x) = 0
• max y tìm được khi max f(x)

6.5. Công thức GTLN, GTNN thường gặp

Dạng hàm	GTNN	Điều kiện đạt
\(y = x + \frac{a}{x}\) (x > 0, a > 0)	\(2\sqrt{a}\)	\(x = \sqrt{a}\)
\(y = ax^2 + bx + c\) (a > 0)	\(-\frac{b^2-4ac}{4a}\)	\(x = -\frac{b}{2a}\)
\(y = (x-a)^2 + b\)	b	x = a
\(y = -\sqrt{a^2 – x^2}\)	-a (với |x| ≤ a)	x = 0

7. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: GTLN, GTNN trên đoạn (dùng đạo hàm)

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x⁴ – 2x² + 3 trên đoạn [-2; 3]

Lời giải:

Bước 1: y’ = 4x³ – 4x = 4x(x² – 1) = 4x(x – 1)(x + 1)

Bước 2: y’ = 0 ⇔ x ∈ {-1, 0, 1} (đều thuộc (-2; 3))

Bước 3: Tính giá trị:

• y(-2) = 16 – 8 + 3 = 11
• y(-1) = 1 – 2 + 3 = 2
• y(0) = 0 – 0 + 3 = 3
• y(1) = 1 – 2 + 3 = 2
• y(3) = 81 – 18 + 3 = 66

Bước 4: So sánh: 2 < 3 < 11 < 66

Kết luận:

• max y = 66 đạt tại x = 3
• min y = 2 đạt tại x = -1 hoặc x = 1

Bài tập 2: GTLN, GTNN hàm phân thức

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}\) với x > -1

Lời giải:

Cách 1: Dùng đạo hàm

\[ y’ = \frac{(2x + 2)(x + 1) – (x^2 + 2x + 2) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 2 – x^2 – 2x – 2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} \]

\[ y’ = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \]

Với x > -1: y’ = 0 ⇔ x = 0 (loại x = -2 vì không thuộc miền)

y(0) = 2/1 = 2

Xét dấu y’: Với x > -1, y’ < 0 khi -1 < x < 0 và y’ > 0 khi x > 0

→ x = 0 là điểm cực tiểu, đồng thời là GTNN.

Cách 2: Biến đổi

\[ y = \frac{x^2 + 2x + 1 + 1}{x + 1} = \frac{(x + 1)^2 + 1}{x + 1} = (x + 1) + \frac{1}{x + 1} \]

Đặt t = x + 1 > 0 (vì x > -1)

\[ y = t + \frac{1}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2 \]

Đẳng thức khi t = 1 ⇔ x = 0

Vậy min y = 2 đạt tại x = 0

Bài tập 3: GTLN, GTNN hàm lượng giác

Đề bài: Tìm max min của hàm số y = 3sin x – 4cos x + 5

Lời giải:

Ta có: \(\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)

Vì \(-5 \leq 3\sin x – 4\cos x \leq 5\)

Nên: \(-5 + 5 \leq y \leq 5 + 5\)

\[ 0 \leq y \leq 10 \]

Vậy min y = 0, max y = 10

Bài tập 4: GTNN bằng BĐT

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² + y² biết x + y = 4

Lời giải:

Từ x + y = 4 ⇒ y = 4 – x

S = x² + y² = x² + (4 – x)² = x² + 16 – 8x + x² = 2x² – 8x + 16

S = 2(x² – 4x) + 16 = 2(x² – 4x + 4) + 16 – 8 = 2(x – 2)² + 8

Vì (x – 2)² ≥ 0 nên S ≥ 8

Đẳng thức khi x = 2 ⇒ y = 2

Cách 2: Dùng BĐT Cauchy-Schwarz

\[ x^2 + y^2 \geq \frac{(x + y)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

Vậy min(x² + y²) = 8 khi x = y = 2

Bài tập 5: GTLN, GTNN hàm căn thức

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt{x – 1} + \sqrt{5 – x}\)

Lời giải:

Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 5

Cách 1: Dùng BĐT Bunhiacopski

\[ y^2 = (\sqrt{x-1} + \sqrt{5-x})^2 \leq (1^2 + 1^2)[(x-1) + (5-x)] = 2 \cdot 4 = 8 \]

⇒ y ≤ 2√2

Đẳng thức khi \(\frac{\sqrt{x-1}}{1} = \frac{\sqrt{5-x}}{1}\) ⇔ x – 1 = 5 – x ⇔ x = 3

Cách 2: Dùng đạo hàm

\[ y’ = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} – \frac{1}{2\sqrt{5-x}} \]

y’ = 0 ⇔ √(5-x) = √(x-1) ⇔ x = 3

y(1) = 0 + 2 = 2; y(3) = √2 + √2 = 2√2; y(5) = 2 + 0 = 2

Vậy max y = 2√2 đạt tại x = 3; min y = 2 đạt tại x = 1 hoặc x = 5

Bài tập 6: Bài toán thực tế

Đề bài: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 100m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Gọi chiều dài là x (m), chiều rộng là y (m), x, y > 0

Chu vi: 2(x + y) = 100 ⇒ x + y = 50 ⇒ y = 50 – x, với 0 < x < 50

Diện tích: S = xy = x(50 – x) = 50x – x² = -(x² – 50x) = -(x² – 50x + 625) + 625

S = -(x – 25)² + 625

Vì -(x – 25)² ≤ 0 nên S ≤ 625

Đẳng thức khi x = 25 ⇒ y = 25

Vậy diện tích lớn nhất là 625 m² khi mảnh đất là hình vuông cạnh 25m

Bài tập 7: Bài tập tự luyện

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

1. y = x³ – 3x² + 4 trên đoạn [-1; 3]
2. y = 2sin²x – 3sin x + 2
3. \(y = x + \frac{4}{x}\) với x > 0
4. \(y = \frac{2x + 1}{x^2 + 1}\)
5. y = |x – 1| + |x – 3| với x ∈ [0; 4]
6. y = x⁴ – 8x² + 1 trên [-1; 3]

Đáp số:

1. max = 4 (tại x = 0 hoặc x = 3); min = 0 (tại x = -1 hoặc x = 2)
2. max = 7 (tại sin x = -1); min = 1/8 (tại sin x = 3/4)
3. min = 4 (tại x = 2); không có max
4. max = 1 (tại x = 1); min = -1 (tại x = -1)
5. min = 2 (với 1 ≤ x ≤ 3); max = 4 (tại x = 0 hoặc x = 4)
6. max = 28 (tại x = 3); min = -15 (tại x = 2 hoặc x = -2, nhưng -2 ∉ [-1;3] nên min = -15 tại x = 2)

8. Kết luận

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là kiến thức quan trọng. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:

• Giá trị nhỏ nhất là gì, giá trị lớn nhất là gì và cách phân biệt với cực trị
• Ký hiệu max min trong toán học
• Cách tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất bằng đạo hàm (Toán 12)
• Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng BĐT, biến đổi, đặt ẩn phụ
• Tìm giá trị lớn nhất của các dạng hàm số đặc biệt

Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo các phương pháp tìm giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất. Chúc bạn học tốt!