Đạo hàm ln x và nguyên hàm của ln x – Công thức, ví dụ chi tiết

Đạo hàm ln x là một trong những công thức quan trọng nhất trong chương trình Toán 11 và 12. Bài viết này tổng hợp đầy đủ công thức đạo hàm của ln x, đạo hàm của ln dạng hàm hợp, cùng với nguyên hàm của ln x. Mỗi công thức đều có chứng minh chi tiết và ví dụ minh họa dễ hiểu.

1. Hàm logarit tự nhiên ln x

Trước khi tìm hiểu đạo hàm ln, chúng ta cần nắm vững khái niệm cơ bản:

Định nghĩa: Hàm logarit tự nhiên \( \ln x \) là hàm logarit cơ số \( e \) (với \( e \approx 2,718 \)):

\[ \ln x = \log_e x \]

Tính chất cơ bản:

• Tập xác định: \( x > 0 \)
• \( \ln 1 = 0 \)
• \( \ln e = 1 \)
• \( e^{\ln x} = x \) với mọi \( x > 0 \)
• \( \ln(e^x) = x \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \)

2. Công thức đạo hàm ln x

Đây là công thức cơ bản và quan trọng nhất về đạo hàm của ln x:

2.1. Công thức cơ bản

Đạo hàm ln x:

\[ (\ln x)’ = \frac{1}{x} \quad (x > 0) \]

Công thức mở rộng với giá trị tuyệt đối:

\[ (\ln |x|)’ = \frac{1}{x} \quad (x \neq 0) \]

2.2. Chứng minh công thức

Ta chứng minh lnx đạo hàm bằng định nghĩa:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa đạo hàm

\[ (\ln x)’ = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) – \ln x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln\left(\frac{x+h}{x}\right) \]

\[ = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) = \lim_{h \to 0} \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}} \]

Đặt \( t = \frac{h}{x} \), khi \( h \to 0 \) thì \( t \to 0 \):

\[ = \lim_{t \to 0} \ln\left(1 + t\right)^{\frac{1}{xt}} = \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \ln\left(1 + t\right)^{\frac{1}{t}} = \frac{1}{x} \ln e = \frac{1}{x} \]

Cách 2: Sử dụng đạo hàm hàm ngược

Ta có \( y = \ln x \Leftrightarrow x = e^y \)

Đạo hàm hai vế theo \( x \): \( 1 = e^y \cdot y’ \)

Suy ra: \( y’ = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x} \)

3. Đạo hàm của ln dạng hàm hợp

Khi tính đạo hàm của ln với hàm hợp, ta áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp:

3.1. Công thức tổng quát

Đạo hàm ln u:

\[ (\ln u)’ = \frac{u’}{u} \quad (u > 0) \]

Với giá trị tuyệt đối:

\[ (\ln |u|)’ = \frac{u’}{u} \quad (u \neq 0) \]

3.2. Bảng công thức đạo hàm ln mở rộng

3.3. Đạo hàm logarit cơ số a

Mở rộng từ ln x đạo hàm, ta có công thức cho logarit cơ số bất kỳ:

\[ (\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1, x > 0) \]

\[ (\log_a u)’ = \frac{u’}{u \ln a} \]

4. Nguyên hàm của ln x

Ngược với đạo hàm, nguyên hàm của ln x được tính bằng phương pháp tích phân từng phần:

4.1. Công thức nguyên hàm ln x

Nguyên hàm của ln x:

\[ \int \ln x \, dx = x \ln x – x + C = x(\ln x – 1) + C \]

4.2. Chứng minh công thức

Ta tính nguyên hàm ln bằng phương pháp tích phân từng phần:

Đặt:

• \( u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx \)
• \( dv = dx \Rightarrow v = x \)

Áp dụng công thức \( \int u \, dv = uv – \int v \, du \):

\[ \int \ln x \, dx = x \ln x – \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x – \int dx = x \ln x – x + C \]

4.3. Bảng công thức nguyên hàm ln

5. Mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm của ln

Hiểu rõ mối liên hệ này giúp bạn nắm vững cả đạo hàm của ln và nguyên hàm của ln:

6. Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các bài tập áp dụng đạo hàm ln x và nguyên hàm của ln x:

Bài tập 1: Đạo hàm ln x cơ bản

Đề bài: Tính đạo hàm các hàm số sau:

1. \( y = \ln(3x) \)
2. \( y = \ln(x^2) \)
3. \( y = \ln\sqrt{x} \)

Lời giải:

a) Áp dụng đạo hàm của ln x:

\[ y = \ln(3x) = \ln 3 + \ln x \]
\[ y’ = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \]

Hoặc: \( y’ = \frac{(3x)’}{3x} = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x} \)

b) Ta có \( y = \ln(x^2) = 2\ln x \):

\[ y’ = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x} \]

Hoặc: \( y’ = \frac{(x^2)’}{x^2} = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x} \)

c) Ta có \( y = \ln\sqrt{x} = \ln x^{1/2} = \frac{1}{2}\ln x \):

\[ y’ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x} \]

Bài tập 2: Đạo hàm của ln dạng hàm hợp

Đề bài: Tính đạo hàm các hàm số sau:

1. \( y = \ln(2x + 1) \)
2. \( y = \ln(x^2 – 3x + 2) \)
3. \( y = \ln(\sin x) \)
4. \( y = x^2 \ln x \)

Lời giải:

a) Áp dụng đạo hàm ln hàm hợp với \( u = 2x + 1 \):

\[ y’ = \frac{(2x+1)’}{2x+1} = \frac{2}{2x+1} \]

b) Với \( u = x^2 – 3x + 2 \):

\[ y’ = \frac{(x^2 – 3x + 2)’}{x^2 – 3x + 2} = \frac{2x – 3}{x^2 – 3x + 2} \]

c) Với \( u = \sin x \):

\[ y’ = \frac{(\sin x)’}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \]

d) Áp dụng quy tắc đạo hàm tích:

\[ y’ = (x^2)’ \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)’ = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x \]

Bài tập 3: Nguyên hàm của ln x

Đề bài: Tính các nguyên hàm sau:

1. \( \int \ln x \, dx \)
2. \( \int x \ln x \, dx \)
3. \( \int \frac{\ln x}{x} \, dx \)

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nguyên hàm của ln x:

\[ \int \ln x \, dx = x \ln x – x + C \]

b) Tính nguyên hàm ln dạng \( x \ln x \) bằng tích phân từng phần:

Đặt \( u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx \); \( dv = x \, dx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2} \)

\[ \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x – \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{1}{2} \int x \, dx \]
\[ = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{x^2}{4} + C = \frac{x^2}{4}(2\ln x – 1) + C \]

c) Đặt \( t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx \):

\[ \int \frac{\ln x}{x} \, dx = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C \]

Bài tập 4: Bài tập tổng hợp

Đề bài: Tính đạo hàm hàm số \( y = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \)

Lời giải:

Cách 1: Áp dụng trực tiếp lnx đạo hàm hàm hợp:

\[ y’ = \frac{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)’}{\frac{x+1}{x-1}} = \frac{\frac{(x-1) – (x+1)}{(x-1)^2}}{\frac{x+1}{x-1}} = \frac{\frac{-2}{(x-1)^2}}{\frac{x+1}{x-1}} \]
\[ = \frac{-2}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x+1} = \frac{-2}{(x-1)(x+1)} = \frac{-2}{x^2-1} \]

Cách 2: Biến đổi trước khi tính đạo hàm:

\[ y = \ln(x+1) – \ln(x-1) \]
\[ y’ = \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1) – (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{-2}{x^2-1} \]

Bài tập 5: Tích phân xác định với ln

Đề bài: Tính \( I = \int_1^e \ln x \, dx \)

Lời giải:

Áp dụng nguyên hàm của ln x:

\[ I = \left[ x \ln x – x \right]_1^e = (e \ln e – e) – (1 \cdot \ln 1 – 1) \]
\[ = (e \cdot 1 – e) – (0 – 1) = 0 + 1 = 1 \]

7. Một số lưu ý quan trọng

Khi làm bài tập về đạo hàm của ln x và nguyên hàm của ln, cần lưu ý:

8. Kết luận

Đạo hàm ln x và nguyên hàm của ln x là những công thức cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong giải tích. Để nắm vững các công thức này, học sinh cần:

• Ghi nhớ công thức cơ bản: \( (\ln x)’ = \frac{1}{x} \) và \( \int \ln x \, dx = x \ln x – x + C \)
• Thành thạo công thức đạo hàm hàm hợp: \( (\ln u)’ = \frac{u’}{u} \)
• Nắm vững phương pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm ln
• Luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập đa dạng

Hy vọng bài viết này giúp bạn hiểu rõ đạo hàm của ln và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan!