Diện tích lục giác đều: Công thức và cách tính đa giác đều

Diện tích lục giác đều là một trong những kiến thức hình học quan trọng, được ứng dụng rộng rãi trong thực tế và các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp công thức tính diện tích lục giác đều, cách chứng minh công thức, mở rộng sang diện tích đa giác đều và các ví dụ minh họa chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức.

1. Lục giác đều là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính diện tích hình lục giác đều, chúng ta cần nắm rõ định nghĩa và các tính chất cơ bản của hình này.

1.1. Định nghĩa

Lục giác đều là đa giác có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau. Mỗi góc trong của lục giác đều có số đo bằng 120°.

1.2. Các tính chất quan trọng

• 6 cạnh bằng nhau, 6 góc bằng nhau (mỗi góc = 120°)
• Có tâm đối xứng là giao điểm của 3 đường chéo chính
• Có 6 trục đối xứng
• Có thể chia thành 6 tam giác đều bằng cách nối tâm với các đỉnh
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng cạnh: \( R = a \)
• Bán kính đường tròn nội tiếp: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)

2. Công thức tính diện tích lục giác đều

Dưới đây là các công thức tính diện tích lục giác đều theo các đại lượng khác nhau.

2.1. Công thức theo cạnh a

Giá trị gần đúng: \( S \approx 2,598 \times a^2 \)

2.2. Chứng minh công thức

Công thức diện tích lục giác đều được chứng minh bằng cách chia lục giác thành 6 tam giác đều bằng nhau:

1. Nối tâm O của lục giác đều với 6 đỉnh, ta được 6 tam giác đều cạnh a
2. Diện tích tam giác đều cạnh a là: \( S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
3. Diện tích lục giác đều bằng 6 lần diện tích tam giác đều:
   \[ S = 6 \times \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \]

2.3. Công thức theo bán kính đường tròn ngoại tiếp R

Vì bán kính đường tròn ngoại tiếp của lục giác đều bằng cạnh (\( R = a \)), ta có:

2.4. Công thức theo bán kính đường tròn nội tiếp r

Từ công thức \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), suy ra \( a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2r\sqrt{3}}{3} \). Thay vào công thức diện tích:

3. Công thức tính diện tích đa giác đều

Mở rộng từ lục giác đều, chúng ta có thể xây dựng công thức tính diện tích đa giác đều n cạnh.

3.1. Công thức tổng quát

Diện tích đa giác đều n cạnh, mỗi cạnh có độ dài a được tính theo công thức:

Hoặc viết dưới dạng:

\[ S = \frac{na^2}{4} \times \frac{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} \]

3.2. Diện tích một số đa giác đều thường gặp

Dưới đây là bảng tổng hợp công thức tính diện tích đa giác đều phổ biến:

3.3. Diện tích ngũ giác đều

Diện tích ngũ giác đều cạnh a được tính bằng công thức:

\[ S = \frac{a^2}{4}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \approx 1,720a^2 \]

Công thức này được suy ra từ công thức tổng quát với n = 5.

4. Cách tính diện tích lục giác đều – Hướng dẫn chi tiết

Để tính diện tích đa giác dạng lục giác đều, bạn có thể áp dụng một trong các phương pháp sau:

4.1. Phương pháp 1: Áp dụng công thức trực tiếp

Đây là cách nhanh nhất khi đã biết độ dài cạnh a:

1. Xác định độ dài cạnh a của lục giác đều
2. Áp dụng công thức: \( S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \)
3. Tính toán và đưa ra kết quả

4.2. Phương pháp 2: Chia thành 6 tam giác đều

Phương pháp này giúp hiểu rõ bản chất của công thức:

1. Xác định tâm O của lục giác đều
2. Nối O với 6 đỉnh, tạo thành 6 tam giác đều cạnh a
3. Tính diện tích tam giác đều cạnh a: \( S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
4. Nhân với 6: \( S = 6 \times S_{\triangle} \)

4.3. Phương pháp 3: Sử dụng chu vi và apothem

Apothem (r) là khoảng cách từ tâm đến cạnh của đa giác đều:

1. Tính chu vi: \( P = 6a \)
2. Tính apothem: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)
3. Áp dụng công thức: \( S = \frac{1}{2} \times P \times r = \frac{1}{2} \times 6a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \)

5. Ví dụ minh họa

Dưới đây là các bài tập áp dụng công thức tính diện tích lục giác đều và diện tích đa giác đều.

Ví dụ 1: Tính diện tích lục giác đều khi biết cạnh

Đề bài: Tính diện tích lục giác đều có cạnh a = 6 cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức diện tích lục giác đều:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 36 = 54\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)} \]

Kết quả: \( S = 54\sqrt{3} \approx 93,53 \text{ cm}^2 \)

Ví dụ 2: Tính diện tích khi biết bán kính đường tròn ngoại tiếp

Đề bài: Một lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 10 cm. Tính diện tích hình lục giác đều đó.

Lời giải:

Với lục giác đều, bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng cạnh: \( a = R = 10 \) cm

Áp dụng công thức:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 10^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 100 = 150\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)} \]

Kết quả: \( S = 150\sqrt{3} \approx 259,81 \text{ cm}^2 \)

Ví dụ 3: Tính diện tích tam giác đều

Đề bài: Tính diện tích tam giác đều cạnh a = 8 cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức diện tích tam giác đều:

\[ S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)} \]

Kết quả: \( S = 16\sqrt{3} \approx 27,71 \text{ cm}^2 \)

Ví dụ 4: Tính diện tích ngũ giác đều

Đề bài: Tính diện tích ngũ giác đều có cạnh a = 5 cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức diện tích ngũ giác đều:

\[ S = \frac{a^2}{4}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} = \frac{5^2}{4}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} = \frac{25}{4}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \]

Tính giá trị:

• \( \sqrt{5} \approx 2,236 \)
• \( 25 + 10\sqrt{5} \approx 25 + 22,36 = 47,36 \)
• \( \sqrt{47,36} \approx 6,882 \)

\[ S \approx \frac{25}{4} \times 6,882 \approx 43,01 \text{ cm}^2 \]

Kết quả: \( S \approx 43,01 \text{ cm}^2 \)

Ví dụ 5: Bài toán thực tế

Đề bài: Một sân chơi hình lục giác đều có cạnh 12 m. Người ta muốn lát gạch toàn bộ sân với giá 150.000 đồng/m². Tính chi phí lát gạch.

Lời giải:

Bước 1: Tính diện tích lục giác đều

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 12^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 144 = 216\sqrt{3} \approx 374,12 \text{ m}^2 \]

Bước 2: Tính chi phí

\[ \text{Chi phí} = 374,12 \times 150.000 = 56.118.000 \text{ đồng} \]

Kết quả: Chi phí lát gạch khoảng 56.118.000 đồng.

6. Bài tập tự luyện

Hãy vận dụng các công thức tính diện tích đa giác đều đã học để giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính diện tích lục giác đều có cạnh a = 4 cm.

Bài 2: Một lục giác đều có diện tích \( 96\sqrt{3} \) cm². Tính độ dài cạnh của lục giác đều đó.

Bài 3: Tính diện tích ngũ giác đều có cạnh a = 10 cm.

Bài 4: So sánh diện tích của lục giác đều cạnh 5 cm và tam giác đều cạnh 10 cm.

Bài 5: Một đường tròn có bán kính R = 8 cm. Tính diện tích lục giác đều nội tiếp đường tròn đó.

Đáp án

7. Kết luận

Qua bài viết, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về diện tích lục giác đều cùng các công thức liên quan. Dưới đây là tóm tắt các công thức quan trọng:

Để giải thành thạo các bài toán về diện tích đa giác đều, bạn cần nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập đa dạng.