Công thức tổ hợp: Công thức tính tổ hợp chập k của n chi tiết

Công thức tổ hợp là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 10, được ứng dụng rộng rãi trong đếm, xác suất và nhiều lĩnh vực khác. Bài viết này trình bày đầy đủ công thức tính tổ hợp, công thức tổ hợp chập k của n, công thức C^k_n cùng các tính chất và bài tập có lời giải chi tiết giúp bạn nắm vững cách tính tổ hợp.

1. Tổ hợp là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tổ hợp, cần nắm rõ định nghĩa của tổ hợp.

1.1. Định nghĩa tổ hợp

Tổ hợp chập k của n phần tử là một tập hợp con gồm k phần tử được chọn từ tập hợp gồm n phần tử (với 0 ≤ k ≤ n).

Đặc điểm quan trọng:

• Chỉ quan tâm đến việc chọn phần tử nào, không quan tâm thứ tự
• Mỗi phần tử chỉ được chọn tối đa một lần
• Hai tổ hợp khác nhau khi có ít nhất một phần tử khác nhau

1.2. Ký hiệu tổ hợp

Công thức C^k_n có nhiều cách ký hiệu:

Ký hiệu	Đọc là	Ghi chú
Ckn	“C k n” hoặc “tổ hợp chập k của n”	Ký hiệu phổ biến ở Việt Nam
C(n, k)	“C n k”	Ký hiệu hàm
\(\binom{n}{k}\)	“n chọn k”	Ký hiệu nhị thức (binomial)
nCk	“n C k”	Ký hiệu trên máy tính

1.3. Ví dụ về tổ hợp

Ví dụ: Cho tập A = {1, 2, 3}. Liệt kê tất cả tổ hợp chập 2 của 3 phần tử.

Các tổ hợp chập 2 của 3 là:

• {1, 2}
• {1, 3}
• {2, 3}

Có 3 tổ hợp. Lưu ý: {1, 2} và {2, 1} là cùng một tổ hợp (không phân biệt thứ tự).

2. Công thức tổ hợp chập k của n

Dưới đây là công thức tính tổ hợp chập k của n và các dạng biến đổi.

2.1. Công thức tổ hợp cơ bản

Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là:

\[ C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Trong đó:

• \(n!\) = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1 (n giai thừa)
• \(k!\) = k × (k-1) × … × 2 × 1
• Điều kiện: n, k ∈ ℕ và 0 ≤ k ≤ n

2.2. Công thức tổ hợp dạng khai triển

Công thức tính tổ hợp dạng khai triển (dễ tính toán):

\[ C^k_n = \frac{n(n-1)(n-2)…(n-k+1)}{k!} = \frac{n(n-1)(n-2)…(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)…2 \cdot 1} \]

Tử số có k thừa số liên tiếp giảm dần từ n.

2.3. Công thức C% (công thức tổ hợp theo chỉnh hợp)

Công thức C% thể hiện mối liên hệ với chỉnh hợp:

\[ C^k_n = \frac{A^k_n}{k!} \]

Trong đó \(A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}\) là chỉnh hợp chập k của n.

2.4. Bảng công thức tổ hợp

Công thức	Dạng khai triển
\(C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)	Công thức cơ bản
\(C^k_n = \frac{n(n-1)…(n-k+1)}{k!}\)	Công thức khai triển
\(C^k_n = \frac{A^k_n}{k!}\)	Theo chỉnh hợp
\(C^0_n = C^n_n = 1\)	Trường hợp đặc biệt
\(C^1_n = n\)	Chọn 1 từ n phần tử

2.5. Các giá trị tổ hợp thường gặp

n	\(C^0_n\)	\(C^1_n\)	\(C^2_n\)	\(C^3_n\)	\(C^4_n\)	\(C^5_n\)
1	1	1	–	–	–	–
2	1	2	1	–	–	–
3	1	3	3	1	–	–
4	1	4	6	4	1	–
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6
7	1	7	21	35	35	21
10	1	10	45	120	210	252

3. Tính chất của tổ hợp

Dưới đây là các tính chất quan trọng của công thức tổ hợp chập k của n.

3.1. Tính chất đối xứng

\[ C^k_n = C^{n-k}_n \]

Giải thích: Chọn k phần tử cũng tương đương với việc bỏ ra (n-k) phần tử.

Ví dụ: \(C^2_5 = C^3_5 = 10\)

3.2. Công thức Pascal (Công thức truy hồi)

\[ C^k_n = C^{k-1}_{n-1} + C^k_{n-1} \]

Giải thích: Để chọn k phần tử từ n phần tử, ta xét một phần tử cố định:

• Nếu chọn phần tử đó: cần chọn thêm (k-1) từ (n-1) còn lại → \(C^{k-1}_{n-1}\)
• Nếu không chọn phần tử đó: chọn k từ (n-1) còn lại → \(C^k_{n-1}\)

3.3. Tổng các tổ hợp

\[ C^0_n + C^1_n + C^2_n + … + C^n_n = 2^n \]

Hay: \(\sum_{k=0}^{n} C^k_n = 2^n\)

Ý nghĩa: Tổng số tập con của tập có n phần tử là \(2^n\).

3.4. Tổng xen kẽ

\[ C^0_n – C^1_n + C^2_n – C^3_n + … + (-1)^n C^n_n = 0 \]

Hay: \(\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C^k_n = 0\)

3.5. Bảng tổng hợp tính chất

Tính chất	Công thức
Đối xứng	\(C^k_n = C^{n-k}_n\)
Pascal	\(C^k_n = C^{k-1}_{n-1} + C^k_{n-1}\)
Tổng tất cả	\(\sum_{k=0}^{n} C^k_n = 2^n\)
Tổng xen kẽ	\(\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C^k_n = 0\)
Giá trị đặc biệt	\(C^0_n = C^n_n = 1\), \(C^1_n = n\)
Tích	\(k \cdot C^k_n = n \cdot C^{k-1}_{n-1}\)

4. Cách tính tổ hợp

Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách tính tổ hợp theo từng phương pháp.

4.1. Cách tính tổ hợp bằng công thức giai thừa

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Xác định n và k
2. Bước 2: Tính n!, k!, (n-k)!
3. Bước 3: Áp dụng công thức \(C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Ví dụ: Tính \(C^3_5\)

\[ C^3_5 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

4.2. Cách tính tổ hợp bằng công thức khai triển

Phương pháp: Viết k thừa số liên tiếp ở tử, chia cho k!

Ví dụ: Tính \(C^4_7\)

\[ C^4_7 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{840}{24} = 35 \]

4.3. Cách tính tổ hợp bằng máy tính cầm tay

Tính tổ hợp chập k của n trên máy tính:

Máy tính	Cách bấm
Casio fx-580VN X	n [SHIFT] [×] k [=]
Casio fx-570VN Plus	n [nCr] k [=]
Vinacal	n [SHIFT] [nCr] k [=]

Ví dụ: Tính \(C^3_{10}\) trên Casio fx-580VN X:

Bấm: 10 [SHIFT] [×] 3 [=] → Kết quả: 120

4.4. Mẹo tính nhanh

• Nếu k > n/2, dùng tính chất đối xứng: \(C^k_n = C^{n-k}_n\)
• Rút gọn trước khi nhân để tránh số lớn
• Với k nhỏ, dùng công thức khai triển nhanh hơn

Ví dụ: Tính \(C^8_{10}\)

Thay vì tính trực tiếp, dùng: \(C^8_{10} = C^2_{10} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45\)

5. So sánh tổ hợp và chỉnh hợp

Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp là điều quan trọng khi giải bài toán đếm.

5.1. Bảng so sánh

Tiêu chí	Tổ hợp \(C^k_n\)	Chỉnh hợp \(A^k_n\)
Thứ tự	KHÔNG quan trọng	CÓ quan trọng
Công thức	\(\frac{n!}{k!(n-k)!}\)	\(\frac{n!}{(n-k)!}\)
Mối quan hệ	\(C^k_n = \frac{A^k_n}{k!}\)	\(A^k_n = k! \cdot C^k_n\)
Ví dụ	Chọn 3 người từ 10 người	Xếp 3 người vào 3 ghế từ 10 người
Kết quả	\(C^3_{10} = 120\)	\(A^3_{10} = 720\)

5.2. Cách nhận biết bài toán

Dùng tổ hợp khi:

• Bài toán yêu cầu “chọn”, “lấy”, “lập tập hợp”
• Không phân biệt thứ tự các phần tử được chọn
• Các từ khóa: “nhóm”, “đội”, “ủy ban”, “tập hợp”

Dùng chỉnh hợp khi:

• Bài toán yêu cầu “sắp xếp”, “xếp thứ tự”
• Có phân biệt vị trí, thứ tự
• Các từ khóa: “hàng”, “dãy số”, “mã số”, “xếp ghế”

6. Tam giác Pascal

Tam giác Pascal là cách sắp xếp các giá trị công thức C^k_n theo dạng tam giác.

6.1. Cấu trúc tam giác Pascal

                1                    (n=0)
              1   1                  (n=1)
            1   2   1                (n=2)
          1   3   3   1              (n=3)
        1   4   6   4   1            (n=4)
      1   5  10  10   5   1          (n=5)
    1   6  15  20  15   6   1        (n=6)
  1   7  21  35  35  21   7   1      (n=7)

6.2. Quy tắc xây dựng

• Hàng đầu và cuối mỗi dòng luôn là 1
• Mỗi số bằng tổng hai số ngay phía trên (công thức Pascal)
• Hàng thứ n có (n+1) số: \(C^0_n, C^1_n, …, C^n_n\)

6.3. Ứng dụng tam giác Pascal

• Tính nhanh các hệ số tổ hợp
• Khai triển nhị thức Newton
• Giải các bài toán đếm

7. Công thức nhị thức Newton

Công thức tổ hợp được ứng dụng trong khai triển nhị thức Newton.

7.1. Công thức nhị thức Newton

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C^k_n \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]

Khai triển:

\[ (a+b)^n = C^0_n a^n + C^1_n a^{n-1}b + C^2_n a^{n-2}b^2 + … + C^n_n b^n \]

7.2. Ví dụ khai triển

Khai triển \((x + 1)^4\):

\[ (x+1)^4 = C^0_4 x^4 + C^1_4 x^3 + C^2_4 x^2 + C^3_4 x + C^4_4 \]

\[ = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \]

7.3. Số hạng tổng quát

Số hạng thứ (k+1) trong khai triển \((a+b)^n\):

\[ T_{k+1} = C^k_n \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]

8. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính tổ hợp cơ bản

Đề bài: Tính \(C^4_9\)

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tổ hợp chập k của n:

\[ C^4_9 = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3024}{24} = 126 \]

Vậy \(C^4_9 = 126\)

Bài tập 2: Sử dụng tính chất đối xứng

Đề bài: Tính \(C^{17}_{20}\)

Lời giải:

Áp dụng tính chất đối xứng:

\[ C^{17}_{20} = C^{20-17}_{20} = C^3_{20} \]

\[ = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = \frac{6840}{6} = 1140 \]

Vậy \(C^{17}_{20} = 1140\)

Bài tập 3: Bài toán đếm

Đề bài: Một lớp có 30 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh đi làm trực nhật?

Lời giải:

Đây là bài toán chọn 4 từ 30, không phân biệt thứ tự → dùng tổ hợp

Số cách chọn:

\[ C^4_{30} = \frac{30!}{4! \cdot 26!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

\[ = \frac{657720}{24} = 27405 \]

Vậy có 27405 cách chọn.

Bài tập 4: Giải phương trình tổ hợp

Đề bài: Giải phương trình \(C^2_n = 28\)

Lời giải:

Ta có:

\[ C^2_n = \frac{n(n-1)}{2} = 28 \]

\[ n(n-1) = 56 \]

\[ n^2 – n – 56 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:

\[ n = \frac{1 + \sqrt{1 + 224}}{2} = \frac{1 + 15}{2} = 8 \]

(Loại nghiệm n = -7 vì n phải là số tự nhiên)

Vậy n = 8

Bài tập 5: Công thức Pascal

Đề bài: Chứng minh \(C^3_8 = C^2_7 + C^3_7\)

Lời giải:

Tính vế trái:

\[ C^3_8 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \]

Tính vế phải:

\[ C^2_7 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]

\[ C^3_7 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]

\[ C^2_7 + C^3_7 = 21 + 35 = 56 \]

Vế trái = Vế phải = 56

Vậy đẳng thức được chứng minh (đây chính là công thức Pascal).

Bài tập 6: Bài toán có điều kiện

Đề bài: Có 6 nam và 4 nữ. Chọn một nhóm 5 người sao cho có đúng 2 nữ. Có bao nhiêu cách?

Lời giải:

Chọn 2 nữ từ 4 nữ: \(C^2_4\) cách

Chọn 3 nam từ 6 nam: \(C^3_6\) cách

Áp dụng quy tắc nhân:

\[ \text{Số cách} = C^2_4 \times C^3_6 = 6 \times 20 = 120 \]

Vậy có 120 cách chọn.

Bài tập 7: Nhị thức Newton

Đề bài: Tìm hệ số của \(x^5\) trong khai triển \((2x + 1)^8\)

Lời giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển \((2x + 1)^8\):

\[ T_{k+1} = C^k_8 \cdot (2x)^{8-k} \cdot 1^k = C^k_8 \cdot 2^{8-k} \cdot x^{8-k} \]

Để có \(x^5\), cần: \(8 – k = 5 \Rightarrow k = 3\)

Hệ số của \(x^5\):

\[ C^3_8 \cdot 2^5 = 56 \times 32 = 1792 \]

Vậy hệ số của \(x^5\) là 1792.

Bài tập 8: Bài tập tự luyện

Giải các bài tập sau:

1. Tính: \(C^5_{12}\)
2. Tính: \(C^0_{100} + C^1_{100} + C^2_{100} + … + C^{100}_{100}\)
3. Giải phương trình: \(C^3_n = 4 \cdot C^2_n\)
4. Có bao nhiêu đường chéo trong đa giác lồi 10 cạnh?
5. Từ 5 điểm phân biệt, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có thể vẽ được bao nhiêu tam giác?
6. Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển \((x – 2)^6\)

Đáp số:

1. \(C^5_{12} = 792\)
2. \(2^{100}\)
3. n = 14
4. \(C^2_{10} – 10 = 45 – 10 = 35\) đường chéo
5. \(C^3_5 = 10\) tam giác
6. \(C^3_6 \cdot (-2)^3 = 20 \times (-8) = -160\)

9. Kết luận

Công thức tổ hợp là kiến thức nền tảng trong toán học tổ hợp và xác suất. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:

• Định nghĩa tổ hợp và công thức C^k_n
• Công thức tính tổ hợp chập k của n: \(C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
• Các tính chất quan trọng: đối xứng, Pascal, tổng các tổ hợp
• Cách tính tổ hợp bằng nhiều phương pháp khác nhau
• Ứng dụng trong tam giác Pascal và nhị thức Newton

Hãy luyện tập thường xuyên với công thức tính tổ hợp để thành thạo các bài toán đếm và xác suất. Chúc bạn học tốt!