Mặt cầu: Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích đầy đủ

Mặt cầu là một trong những hình học không gian quan trọng nhất, xuất hiện phổ biến trong tự nhiên và đời sống. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ mặt cầu là gì, công thức diện tích mặt cầu, công thức tính diện tích mặt cầu cùng các bài tập minh họa chi tiết.

1. Mặt cầu là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức mặt cầu, ta cần nắm vững định nghĩa cơ bản.

1.1. Định nghĩa mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).

Nói cách khác, mặt cầu là gì? Đó là bề mặt của hình cầu, tương tự như vỏ quả bóng.

1.2. Phân biệt mặt cầu và khối cầu

Đặc điểm	Mặt cầu	Khối cầu
Định nghĩa	Tập hợp các điểm cách tâm một khoảng = R	Tập hợp các điểm cách tâm một khoảng ≤ R
Bản chất	Bề mặt (2 chiều)	Khối đặc (3 chiều)
Đại lượng đo	Diện tích	Thể tích
Ví dụ	Vỏ quả bóng	Quả bóng đặc

1.3. Các yếu tố của mặt cầu

Yếu tố	Ký hiệu	Mô tả
Tâm	O (hoặc I)	Điểm cách đều tất cả các điểm trên mặt cầu
Bán kính	R (hoặc r)	Khoảng cách từ tâm đến mặt cầu
Đường kính	d = 2R	Đoạn thẳng qua tâm nối hai điểm trên mặt cầu
Đường tròn lớn	–	Giao của mặt cầu với mặt phẳng đi qua tâm

2. Công thức diện tích mặt cầu

Dưới đây là công thức tính diện tích mặt cầu đầy đủ nhất.

2.1. Công thức chính

Diện tích mặt cầu là gì? Đó là diện tích bề mặt của hình cầu, được tính bằng công thức:

\(S = 4\pi R^2\)

Trong đó:

• S: Diện tích mặt cầu (S cầu)
• R: Bán kính mặt cầu
• π ≈ 3,14159

2.2. Công thức theo đường kính

Nếu biết đường kính d = 2R, ta có:

\(S = \pi d^2\)

2.3. Phát biểu bằng lời

Công thức diện tích mặt cầu: Diện tích mặt cầu bằng 4 lần pi nhân bình phương bán kính.

2.4. Nhận xét quan trọng

• Diện tích mặt cầu = 4 lần diện tích hình tròn lớn: \(S_{cầu} = 4 \times \pi R^2\)
• Diện tích mặt cầu = Diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp = \(2\pi R \times 2R = 4\pi R^2\)

2.5. Chứng minh công thức (Phương pháp tích phân)

Xét mặt cầu tâm O, bán kính R. Chia mặt cầu thành các “vành đai” nhỏ.

Mỗi vành đai ở độ cao z có bán kính \(r = \sqrt{R^2 – z^2}\) và độ dày \(ds\).

Diện tích mặt cầu:

\(S = \int_{-R}^{R} 2\pi \sqrt{R^2 – z^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 – z^2}} dz = \int_{-R}^{R} 2\pi R \, dz = 2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2\)

3. Công thức thể tích khối cầu

Bên cạnh diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cũng là đại lượng quan trọng.

3.1. Công thức thể tích

\(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)

3.2. Công thức theo đường kính

\(V = \frac{\pi d^3}{6}\)

3.3. Mối quan hệ giữa diện tích và thể tích

Từ hai công thức trên, ta có:

\(V = \frac{R \cdot S}{3}\) hoặc \(S = \frac{3V}{R}\)

4. Bảng tổng hợp công thức mặt cầu

Đại lượng	Công thức theo R	Công thức theo d
Diện tích mặt cầu	\(S = 4\pi R^2\)	\(S = \pi d^2\)
Thể tích khối cầu	\(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)	\(V = \frac{\pi d^3}{6}\)
Đường kính	\(d = 2R\)	–
Chu vi đường tròn lớn	\(C = 2\pi R\)	\(C = \pi d\)
Diện tích hình tròn lớn	\(S_0 = \pi R^2\)	\(S_0 = \frac{\pi d^2}{4}\)

5. Công thức tính ngược

Khi biết diện tích mặt cầu hoặc thể tích, ta có thể tìm bán kính:

5.1. Tìm bán kính từ diện tích

\(R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}\)

5.2. Tìm bán kính từ thể tích

\(R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\)

6. Phương trình mặt cầu trong Oxyz

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu có các dạng phương trình sau:

6.1. Phương trình chính tắc

Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình:

\((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2\)

Trường hợp đặc biệt: Mặt cầu tâm O(0; 0; 0):

\(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\)

6.2. Phương trình tổng quát

\(x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0\)

Với điều kiện: \(a^2 + b^2 + c^2 – d > 0\)

Xác định tâm và bán kính:

• Tâm: I(a; b; c)
• Bán kính: \(R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 – d}\)

6.3. Ví dụ xác định tâm và bán kính

Ví dụ: Cho mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 6y – 2z – 2 = 0\). Tìm tâm và bán kính.

Lời giải:

So sánh: -2a = -4 → a = 2; -2b = 6 → b = -3; -2c = -2 → c = 1; d = -2

Tâm: I(2; -3; 1)

\(R = \sqrt{4 + 9 + 1 – (-2)} = \sqrt{16} = 4\)

7. Các bài toán liên quan đến mặt cầu

7.1. Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật có các cạnh a, b, c. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

\(R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)

7.2. Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Hình lập phương cạnh a:

\(R = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

7.3. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều

Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy a, chiều cao h:

\(R = \frac{h^2 + \frac{a^2}{3}}{2h}\)

7.4. Mặt cầu nội tiếp hình lập phương

Hình lập phương cạnh a:

\(r = \frac{a}{2}\)

7.5. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P). Gọi d = d(I, (P)):

• d > R: (P) không cắt (S)
• d = R: (P) tiếp xúc (S) (giao là 1 điểm)
• d < R: (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính \(r = \sqrt{R^2 – d^2}\)

8. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng công thức mặt cầu để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Tính diện tích mặt cầu cơ bản

Đề bài: Tính diện tích mặt cầu có bán kính R = 5 cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu:

\(S = 4\pi R^2 = 4\pi \times 5^2 = 100\pi \approx 314,16\) (cm²)

Đáp số: S = 100π ≈ 314,16 cm²

Bài tập 2: Tính theo đường kính

Đề bài: Một quả cầu có đường kính 12 cm. Tính diện tích khối cầu (diện tích mặt ngoài) và thể tích.

Lời giải:

d = 12 cm → R = 6 cm

Diện tích mặt cầu:

\(S = 4\pi R^2 = 4\pi \times 36 = 144\pi \approx 452,39\) (cm²)

Thể tích khối cầu:

\(V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi \approx 904,78\) (cm³)

Đáp số: S = 144π cm², V = 288π cm³

Bài tập 3: Tìm bán kính từ diện tích

Đề bài: Mặt cầu có diện tích 400π cm². Tìm bán kính và thể tích khối cầu.

Lời giải:

Từ \(S = 4\pi R^2 = 400\pi\)

\(R^2 = 100 \Rightarrow R = 10\) cm

Thể tích: \(V = \frac{4}{3}\pi \times 10^3 = \frac{4000\pi}{3} \approx 4188,79\) (cm³)

Đáp số: R = 10 cm, V = 4000π/3 cm³

Bài tập 4: Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp

Đề bài: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có các cạnh 3 cm, 4 cm, 5 cm.

Lời giải:

Đường chéo hình hộp = đường kính mặt cầu:

\(d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) cm

Bán kính: \(R = \frac{5\sqrt{2}}{2}\) cm

Diện tích mặt cầu:

\(S = 4\pi R^2 = 4\pi \times \frac{50}{4} = 50\pi \approx 157,08\) (cm²)

Đáp số: S = 50π ≈ 157,08 cm²

Bài tập 5: Phương trình mặt cầu trong Oxyz

Đề bài: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3) và đi qua điểm A(3; 0; 1).

Lời giải:

Bán kính: \(R = IA = \sqrt{(3-1)^2 + (0+2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = 2\sqrt{3}\)

Phương trình mặt cầu:

\((x – 1)^2 + (y + 2)^2 + (z – 3)^2 = 12\)

Hoặc dạng khai triển:

\(x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y – 6z + 2 = 0\)

Bài tập 6: Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Đề bài: Cho mặt cầu (S) tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 5 và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 9 = 0. Tìm bán kính đường tròn giao tuyến.

Lời giải:

Khoảng cách từ I đến (P):

\(d = \frac{|2 \times 1 + 2 \times 2 + 1 \times 3 – 9|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|2 + 4 + 3 – 9|}{3} = 0\)

Vì d = 0 < R nên (P) cắt (S). Bán kính đường tròn giao tuyến:

\(r = \sqrt{R^2 – d^2} = \sqrt{25 – 0} = 5\)

(Mặt phẳng đi qua tâm nên giao tuyến là đường tròn lớn)

Đáp số: r = 5

Bài tập 7: So sánh diện tích

Đề bài: Nếu bán kính mặt cầu tăng gấp đôi thì diện tích mặt cầu tăng bao nhiêu lần?

Lời giải:

Diện tích ban đầu: \(S_1 = 4\pi R^2\)

Bán kính mới: R’ = 2R

Diện tích mới: \(S_2 = 4\pi (2R)^2 = 4\pi \times 4R^2 = 16\pi R^2\)

\(\frac{S_2}{S_1} = \frac{16\pi R^2}{4\pi R^2} = 4\)

Đáp số: Diện tích tăng 4 lần

9. Bài tập tự luyện

Vận dụng công thức diện tích mặt cầu, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính dien tich mat cau có bán kính 7 cm.

Xem đáp án

\(S = 4\pi \times 7^2 = 196\pi \approx 615,75\) cm²

Bài 2: Thể tích khối cầu là 288π cm³. Tính diện tích mặt cầu.

Xem đáp án

\(\frac{4}{3}\pi R^3 = 288\pi \Rightarrow R^3 = 216 \Rightarrow R = 6\) cm

\(S = 4\pi \times 36 = 144\pi \approx 452,39\) cm²

Bài 3: Tính S cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 4 cm.

Xem đáp án

\(R = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) cm

\(S = 4\pi \times 12 = 48\pi \approx 150,80\) cm²

Bài 4: Cho mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + z^2 + 2x – 4y + 6z – 2 = 0\). Tìm tâm và tính diện tích.

Xem đáp án

Tâm I(-1; 2; -3)

\(R = \sqrt{1 + 4 + 9 + 2} = 4\)

\(S = 4\pi \times 16 = 64\pi\)

Bài 5: Một quả bóng có diện tích bề mặt 576π cm². Tính thể tích.

Xem đáp án

\(4\pi R^2 = 576\pi \Rightarrow R^2 = 144 \Rightarrow R = 12\) cm

\(V = \frac{4}{3}\pi \times 12^3 = 2304\pi \approx 7238,23\) cm³

10. Ứng dụng thực tế của công thức mặt cầu

Công thức tính diện tích mặt cầu có nhiều ứng dụng:

• Thiên văn học: Tính diện tích bề mặt các hành tinh, ngôi sao
• Địa lý: Tính diện tích bề mặt Trái Đất (≈ 510 triệu km²)
• Kỹ thuật: Thiết kế bồn chứa hình cầu, mái vòm
• Y học: Tính diện tích bề mặt tế bào, vi khuẩn hình cầu
• Thể thao: Sản xuất bóng các loại

11. Kết luận

Mặt cầu là hình khối có tính đối xứng hoàn hảo với nhiều tính chất đặc biệt. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Mặt cầu là gì: Tập hợp các điểm cách đều tâm một khoảng R
• Công thức diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi R^2\)
• Công thức thể tích khối cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)
• Phương trình mặt cầu trong Oxyz
• Diện tích mặt cầu là gì và cách áp dụng trong các bài toán thực tế

Hãy ghi nhớ công thức mặt cầu \(S = 4\pi R^2\) và luyện tập thường xuyên để thành thạo trong các bài toán liên quan.