Công thức log: Tổng hợp công thức logarit đầy đủ nhất

Công thức log (logarit) là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 11 và 12. Việc nắm vững các công thức logarit giúp học sinh giải nhanh các bài toán về hàm số mũ, logarit và ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ tổng hợp công thức logarit đầy đủ, kèm theo các ví dụ minh họa chi tiết, dễ hiểu.

Logarit là gì? Định nghĩa cơ bản

Logarit cơ số \(a\) của số \(b\) là số mũ mà ta phải nâng cơ số \(a\) lên để được \(b\).

Công thức định nghĩa:

\[\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b\]

Điều kiện xác định của logarit:

• Cơ số: \(a > 0\) và \(a \neq 1\)
• Số chân: \(b > 0\)

Ví dụ minh họa:

• \(\log_2 8 = 3\) vì \(2^3 = 8\)
• \(\log_5 25 = 2\) vì \(5^2 = 25\)
• \(\log_{10} 1000 = 3\) vì \(10^3 = 1000\)

Tổng hợp công thức logarit đầy đủ

Dưới đây là bảng tổng hợp công thức logarit đầy đủ nhất, bao gồm các công thức log cơ bản và nâng cao.

Công thức cơ bản của logarit

Công thức logarit của tích, thương, lũy thừa

Đây là nhóm công thức loga được sử dụng nhiều nhất trong tính toán:

Công thức đổi cơ số logarit

Công thức đổi cơ số là một trong những công thức tính logarit quan trọng nhất:

Các công thức logarit đặc biệt

• Logarit thập phân (lg): \(\lg x = \log_{10} x\)
• Logarit tự nhiên (ln): \(\ln x = \log_e x\) với \(e \approx 2,718\)
• Logarit nhị phân: \(\log_2 x\) (dùng nhiều trong tin học)

Tính chất logarit quan trọng

Nắm vững tính chất logarit giúp bạn biến đổi và tính toán nhanh chóng:

Công thức tính log thường gặp

Dưới đây là bảng công thức tính log với các giá trị thường gặp:

Logarit thập phân (lg = log₁₀)

Logarit tự nhiên (ln = logₑ)

Logarit cơ số 2

Ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết

Hướng dãn giải các bài tập liên quan đến logarit mà bạn cần phải nắm vững tại đây.

Dạng 1: Tính giá trị logarit

Ví dụ 1: Tính \(\log_3 81\)

Lời giải:

Ta có: \(81 = 3^4\)

Áp dụng công thức \(\log_a a^x = x\):

\[\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4\]

Ví dụ 2: Tính \(\log_4 \frac{1}{16}\)

Lời giải:

Ta có: \(\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}\)

\[\log_4 \frac{1}{16} = \log_4 4^{-2} = -2\]

Ví dụ 3: Tính \(\log_{\frac{1}{2}} 8\)

Lời giải:

Ta có: \(8 = 2^3\) và \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\)

Đặt \(\log_{\frac{1}{2}} 8 = x\), ta có:

\[\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8 \Leftrightarrow 2^{-x} = 2^3 \Leftrightarrow x = -3\]

Vậy \(\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3\)

Dạng 2: Rút gọn biểu thức logarit

Ví dụ 4: Rút gọn \(A = \log_2 12 – \log_2 3\)

Lời giải:

Áp dụng công thức logarit của thương:

\[A = \log_2 12 – \log_2 3 = \log_2 \frac{12}{3} = \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2\]

Ví dụ 5: Rút gọn \(B = \log_3 2 \cdot \log_2 5 \cdot \log_5 9\)

Lời giải:

Áp dụng công thức chuỗi: \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\)

\[B = \log_3 2 \cdot \log_2 5 \cdot \log_5 9 = \log_3 5 \cdot \log_5 9 = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2\]

Ví dụ 6: Cho \(\log_2 3 = a\). Tính \(\log_8 27\) theo \(a\)

Lời giải:

Ta có:

\[\log_8 27 = \log_{2^3} 3^3 = \frac{3}{3} \log_2 3 = \log_2 3 = a\]

Dạng 3: Giải phương trình logarit

Ví dụ 7: Giải phương trình \(\log_2 (x – 1) = 3\)

Lời giải:

Điều kiện: \(x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\)

Từ phương trình:

\[\log_2 (x – 1) = 3 \Leftrightarrow x – 1 = 2^3 = 8 \Leftrightarrow x = 9\]

Kiểm tra: \(x = 9 > 1\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(x = 9\)

Ví dụ 8: Giải phương trình \(\log_3 x + \log_3 (x – 2) = 1\)

Lời giải:

Điều kiện: \(x > 0\) và \(x – 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\)

Biến đổi phương trình:

\[\log_3 x + \log_3 (x – 2) = 1\]
\[\log_3 [x(x – 2)] = 1\]
\[x(x – 2) = 3^1 = 3\]
\[x^2 – 2x – 3 = 0\]
\[(x – 3)(x + 1) = 0\]

Suy ra: \(x = 3\) hoặc \(x = -1\)

Kiểm tra điều kiện \(x > 2\): chỉ có \(x = 3\) thỏa mãn

Vậy \(x = 3\)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính các giá trị sau:

1. \(\log_5 125\)
2. \(\log_9 \frac{1}{27}\)
3. \(\log_{\sqrt{2}} 8\)

Bài 2: Rút gọn các biểu thức:

1. \(\log_6 9 + \log_6 4\)
2. \(2\log_5 2 + \log_5 \frac{25}{4}\)
3. \(\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8\)

Bài 3: Giải các phương trình:

1. \(\log_5 (2x + 1) = 2\)
2. \(\log_2 x + \log_2 (x + 6) = 4\)
3. \(\lg(x^2 – 1) = \lg(3x – 1)\)

Đáp án:

• Bài 1: a) 3; b) \(-\frac{3}{2}\); c) 6
• Bài 2: a) 2; b) 2; c) 3
• Bài 3: a) \(x = 12\); b) \(x = 2\); c) \(x = 2\)

Kết luận

Trên đây là toàn bộ công thức log và các công thức logarit quan trọng nhất trong chương trình Toán phổ thông. Để làm tốt các bài tập về logarit, học sinh cần:

• Nắm vững định nghĩa và điều kiện xác định của logarit
• Thuộc lòng công thức logarit đầy đủ: tích, thương, lũy thừa, đổi cơ số
• Hiểu rõ tính chất logarit để so sánh và biến đổi
• Luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Hy vọng bài viết này giúp bạn hệ thống hóa kiến thức về công thức tính logarit một cách hiệu quả nhất!