Công thức nhân 3: Sin3a, Cos3a và công thức nhân 4 chi tiết
Công thức nhân 3 là một trong những công thức lượng giác quan trọng giúp biểu diễn các hàm lượng giác của góc \( 3\alpha \) theo góc \( \alpha \). Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức nhân ba lượng giác bao gồm sin3a, cos3a, cùng với công thức nhân 4 và các ví dụ minh họa dễ hiểu.
1. Công thức nhân 3 lượng giác là gì?
Công thức nhân 3 (hay còn gọi là công thức góc nhân 3) là các công thức biểu diễn giá trị lượng giác của góc gấp 3 lần theo giá trị lượng giác của góc ban đầu.
1.1. Định nghĩa
Công thức nhân ba lượng giác cho phép chuyển đổi các biểu thức chứa \( \sin 3\alpha \), \( \cos 3\alpha \), \( \tan 3\alpha \) về các biểu thức chỉ chứa \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \).
1.2. Ý nghĩa và ứng dụng
Công thức lượng giác nhân 3 được sử dụng trong nhiều bài toán:
- Tính giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
- Rút gọn biểu thức lượng giác phức tạp
- Chứng minh đẳng thức lượng giác
- Giải phương trình lượng giác
2. Công thức nhân ba lượng giác chi tiết
Dưới đây là bảng tổng hợp đầy đủ các công thức nhân 3 lượng giác:
2.1. Công thức sin3a
Công thức sin3a được viết như sau:
\( \sin 3\alpha = 3\sin \alpha – 4\sin^3 \alpha \)
Hoặc viết dưới dạng khác:
\( \sin 3\alpha = \sin \alpha (3 – 4\sin^2 \alpha) \)
2.2. Công thức cos3a
Công thức cos3a được viết như sau:
\( \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha – 3\cos \alpha \)
Hoặc viết dưới dạng khác:
\( \cos 3\alpha = \cos \alpha (4\cos^2 \alpha – 3) \)
2.3. Công thức tan3a và cot3a
Công thức tan góc nhân 3:
\( \tan 3\alpha = \frac{3\tan \alpha – \tan^3 \alpha}{1 – 3\tan^2 \alpha} \)
Công thức cot góc nhân 3:
\( \cot 3\alpha = \frac{\cot^3 \alpha – 3\cot \alpha}{3\cot^2 \alpha – 1} \)
2.4. Bảng tổng hợp công thức nhân 3
| Hàm số | Công thức nhân ba |
|---|---|
| sin3a | \( \sin 3\alpha = 3\sin \alpha – 4\sin^3 \alpha \) |
| cos3a | \( \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha – 3\cos \alpha \) |
| tan3a | \( \tan 3\alpha = \frac{3\tan \alpha – \tan^3 \alpha}{1 – 3\tan^2 \alpha} \) |
| cot3a | \( \cot 3\alpha = \frac{\cot^3 \alpha – 3\cot \alpha}{3\cot^2 \alpha – 1} \) |
3. Cách chứng minh công thức nhân 3
Để hiểu rõ hơn về công thức góc nhân 3, chúng ta cùng xem cách chứng minh:
3.1. Chứng minh công thức sin3a
Ta có: \( \sin 3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha) \)
Áp dụng công thức cộng:
\( \sin 3\alpha = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha \)
Thay công thức nhân đôi:
\( \sin 3\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \cos \alpha + (1 – 2\sin^2 \alpha) \cdot \sin \alpha \)
\( \sin 3\alpha = 2\sin \alpha \cos^2 \alpha + \sin \alpha – 2\sin^3 \alpha \)
Thay \( \cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha \):
\( \sin 3\alpha = 2\sin \alpha (1 – \sin^2 \alpha) + \sin \alpha – 2\sin^3 \alpha \)
\( \sin 3\alpha = 2\sin \alpha – 2\sin^3 \alpha + \sin \alpha – 2\sin^3 \alpha \)
\( \sin 3\alpha = 3\sin \alpha – 4\sin^3 \alpha \) (đpcm)
3.2. Chứng minh công thức cos3a
Ta có: \( \cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) \)
Áp dụng công thức cộng:
\( \cos 3\alpha = \cos 2\alpha \cos \alpha – \sin 2\alpha \sin \alpha \)
Thay công thức nhân đôi:
\( \cos 3\alpha = (2\cos^2 \alpha – 1) \cdot \cos \alpha – 2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \sin \alpha \)
\( \cos 3\alpha = 2\cos^3 \alpha – \cos \alpha – 2\sin^2 \alpha \cos \alpha \)
Thay \( \sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha \):
\( \cos 3\alpha = 2\cos^3 \alpha – \cos \alpha – 2(1 – \cos^2 \alpha) \cos \alpha \)
\( \cos 3\alpha = 2\cos^3 \alpha – \cos \alpha – 2\cos \alpha + 2\cos^3 \alpha \)
\( \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha – 3\cos \alpha \) (đpcm)
4. Công thức nhân 4 lượng giác
Ngoài công thức nhân 3, chúng ta cũng cần biết công thức nhân 4 để giải các bài toán phức tạp hơn:
4.1. Công thức sin4a
Công thức sin4a được viết như sau:
\( \sin 4\alpha = 4\sin \alpha \cos \alpha (1 – 2\sin^2 \alpha) \)
Hoặc:
\( \sin 4\alpha = 4\sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha) \)
Dạng đơn giản hơn:
\( \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha \)
Khai triển theo \( \sin \alpha \):
\( \sin 4\alpha = 8\sin \alpha \cos^3 \alpha – 4\sin \alpha \cos \alpha \)
4.2. Công thức cos4a
Công thức cos4a được viết như sau:
\( \cos 4\alpha = 8\cos^4 \alpha – 8\cos^2 \alpha + 1 \)
Hoặc:
\( \cos 4\alpha = 1 – 8\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \)
Dạng đơn giản:
\( \cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha – 1 \)
4.3. Công thức tan4a
\( \tan 4\alpha = \frac{4\tan \alpha – 4\tan^3 \alpha}{1 – 6\tan^2 \alpha + \tan^4 \alpha} \)
4.4. Bảng tổng hợp công thức nhân 4
| Hàm số | Công thức nhân 4 |
|---|---|
| sin4a | \( \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = 4\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \) |
| cos4a | \( \cos 4\alpha = 8\cos^4 \alpha – 8\cos^2 \alpha + 1 \) |
| tan4a | \( \tan 4\alpha = \frac{2\tan 2\alpha}{1 – \tan^2 2\alpha} \) |
5. Mẹo ghi nhớ công thức nhân 3 và nhân 4
Để ghi nhớ công thức nhân ba lượng giác một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các mẹo sau:
5.1. Mẹo nhớ sin3a và cos3a
| Công thức | Mẹo ghi nhớ |
|---|---|
| sin3a = \( 3\sin \alpha – 4\sin^3 \alpha \) | “3 sin trừ 4 sin khối” (hệ số 3, 4 theo thứ tự tăng dần) |
| cos3a = \( 4\cos^3 \alpha – 3\cos \alpha \) | “4 cos khối trừ 3 cos” (hệ số 4, 3 theo thứ tự giảm dần) |
5.2. Quy tắc chung
- sin3a: Bậc 1 đứng trước, bậc 3 đứng sau (3 – 4)
- cos3a: Bậc 3 đứng trước, bậc 1 đứng sau (4 – 3)
- Công thức sin4a và cos4a có thể suy từ công thức nhân đôi: \( \sin 4\alpha = \sin 2(2\alpha) \)
6. Các dạng bài tập công thức nhân 3
Để vận dụng thành thạo công thức nhân 3 lượng giác, học sinh cần nắm vững các dạng bài sau:
6.1. Dạng 1: Tính giá trị lượng giác
Phương pháp giải:
- Xác định giá trị \( \sin \alpha \) hoặc \( \cos \alpha \) từ đề bài
- Áp dụng trực tiếp công thức sin3a hoặc cos3a
- Thay số và tính toán
6.2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức lượng giác
Phương pháp giải:
- Nhận dạng biểu thức có dạng công thức nhân ba
- Áp dụng công thức theo chiều thuận hoặc nghịch
- Rút gọn và đưa về dạng đơn giản nhất
6.3. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải:
- Biến đổi một vế (thường là vế phức tạp hơn)
- Sử dụng công thức góc nhân 3 kết hợp các công thức lượng giác khác
- Đưa về dạng giống vế còn lại
7. Ví dụ và bài tập minh họa
Dưới đây là các ví dụ minh họa cách áp dụng công thức nhân 3 chi tiết:
Ví dụ 1: Tính giá trị sin3a
Đề bài: Cho \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \) với \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Tính \( \sin 3\alpha \).
Lời giải:
Áp dụng công thức sin3a:
\( \sin 3\alpha = 3\sin \alpha – 4\sin^3 \alpha \)
Ta có: \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin^3 \alpha = \frac{1}{27} \)
Thay vào công thức:
\( \sin 3\alpha = 3 \cdot \frac{1}{3} – 4 \cdot \frac{1}{27} \)
\( \sin 3\alpha = 1 – \frac{4}{27} \)
\( \sin 3\alpha = \frac{27 – 4}{27} = \frac{23}{27} \)
Đáp số: \( \sin 3\alpha = \frac{23}{27} \)
Ví dụ 2: Tính giá trị cos3a
Đề bài: Cho \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \). Tính \( \cos 3\alpha \).
Lời giải:
Áp dụng công thức cos3a:
\( \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha – 3\cos \alpha \)
Ta có: \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos^3 \alpha = \frac{1}{8} \)
Thay vào công thức:
\( \cos 3\alpha = 4 \cdot \frac{1}{8} – 3 \cdot \frac{1}{2} \)
\( \cos 3\alpha = \frac{1}{2} – \frac{3}{2} = -1 \)
Đáp số: \( \cos 3\alpha = -1 \)
Kiểm tra: \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60° \Rightarrow 3\alpha = 180° \Rightarrow \cos 180° = -1 \) ✓
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức
Đề bài: Rút gọn biểu thức \( A = 3\sin x – 4\sin^3 x + 4\cos^3 x – 3\cos x \)
Lời giải:
Nhận dạng các thành phần theo công thức nhân ba lượng giác:
\( A = (3\sin x – 4\sin^3 x) + (4\cos^3 x – 3\cos x) \)
Áp dụng công thức sin3a và cos3a:
\( A = \sin 3x + \cos 3x \)
Đáp số: \( A = \sin 3x + \cos 3x \)
Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức
Đề bài: Chứng minh rằng: \( \sin 3\alpha = \sin \alpha (3 – 4\sin^2 \alpha) \)
Lời giải:
Biến đổi vế phải:
\( VP = \sin \alpha (3 – 4\sin^2 \alpha) \)
\( VP = 3\sin \alpha – 4\sin^3 \alpha \)
Theo công thức nhân 3:
\( VP = \sin 3\alpha = VT \)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 5: Tính sin4a
Đề bài: Cho \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) với \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Tính \( \sin 4\alpha \).
Lời giải:
Bước 1: Tính \( \cos \alpha \)
\( \cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \)
Vì \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) nên \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \)
Bước 2: Tính \( \sin 2\alpha \) và \( \cos 2\alpha \)
\( \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \)
\( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha = \frac{16}{25} – \frac{9}{25} = \frac{7}{25} \)
Bước 3: Áp dụng công thức sin4a
\( \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha \)
\( \sin 4\alpha = 2 \cdot \frac{24}{25} \cdot \frac{7}{25} = \frac{336}{625} \)
Đáp số: \( \sin 4\alpha = \frac{336}{625} \)
Ví dụ 6: Giải phương trình lượng giác
Đề bài: Giải phương trình \( \sin 3x = \sin x \)
Lời giải:
Áp dụng công thức sin3a:
\( 3\sin x – 4\sin^3 x = \sin x \)
\( 2\sin x – 4\sin^3 x = 0 \)
\( 2\sin x(1 – 2\sin^2 x) = 0 \)
\( 2\sin x \cdot \cos 2x = 0 \)
Trường hợp 1: \( \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \)
Trường hợp 2: \( \cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \)
Đáp số: \( x = k\pi \) hoặc \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \) với \( k \in \mathbb{Z} \)
Bài tập tự luyện
Hãy thử sức với các bài tập sau để củng cố kiến thức về công thức nhân 3:
| Bài | Đề bài | Đáp án |
|---|---|---|
| 1 | Cho \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \). Tính \( \sin 3\alpha \) | \( \sin 3\alpha = 1 \) |
| 2 | Cho \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Tính \( \cos 3\alpha \) | \( \cos 3\alpha = 0 \) |
| 3 | Rút gọn: \( 4\cos^3 x – 3\cos x + 3\sin x – 4\sin^3 x \) | \( \cos 3x + \sin 3x \) |
| 4 | Tính \( \sin 4\alpha \) biết \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \), \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) | \( \sin 4\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \) |
| 5 | Chứng minh: \( \cos 3\alpha + \sin 3\alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)(1 – 2\sin \alpha \cos \alpha) \) | Đúng |
8. Kết luận
Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về công thức nhân 3 và công thức nhân ba lượng giác. Các công thức sin3a, cos3a cùng với công thức nhân 4 như sin4a là những công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán lượng giác.
Để ghi nhớ và vận dụng tốt công thức góc nhân 3, học sinh cần:
- Nắm vững công thức sin3a: \( \sin 3\alpha = 3\sin \alpha – 4\sin^3 \alpha \)
- Nắm vững công thức cos3a: \( \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha – 3\cos \alpha \)
- Hiểu cách chứng minh để nhớ lâu hơn
- Luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau
Công thức nhân 3 lượng giác không chỉ giúp giải nhanh các bài toán tính giá trị mà còn là nền tảng cho các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Có thể bạn quan tâm
