Diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay: Công thức tích phân

Diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay là hai ứng dụng quan trọng của tích phân trong chương trình Toán 12. Bài viết này trình bày đầy đủ công thức tính diện tích hình phẳng, công thức thể tích khối tròn xoay, diện tích thiết diện cùng các bài tập có lời giải chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức thể tích tích phân.

1. Diện tích hình phẳng là gì?

Diện tích hình phẳng là số đo phần mặt phẳng được giới hạn bởi các đường cong, đường thẳng hoặc trục tọa độ. Trong giải tích, ta sử dụng tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng.

1.1. Ý tưởng cơ bản

Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) \geq 0\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\). Diện tích hình phẳng này được tính bằng tích phân:

\[ S = \int_a^b f(x) \, dx \]

1.2. Các trường hợp thường gặp

• Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
• Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
• Hình phẳng giới hạn bởi đường cong và các đường thẳng

2. Công thức tính diện tích hình phẳng

Dưới đây là các công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân theo từng trường hợp.

2.1. Diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục Ox và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\):

\[ S = \int_a^b |f(x)| \, dx \]

Trường hợp	Công thức
\(f(x) \geq 0\) trên \([a; b]\)	\(S = \int_a^b f(x) \, dx\)
\(f(x) \leq 0\) trên \([a; b]\)	\(S = -\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b |f(x)| \, dx\)
\(f(x)\) đổi dấu trên \([a; b]\)	Chia thành các khoảng và tính tổng

2.2. Diện tích giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục trên \([a; b]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\):

\[ S = \int_a^b |f(x) – g(x)| \, dx \]

Nếu \(f(x) \geq g(x)\) trên \([a; b]\):

\[ S = \int_a^b [f(x) – g(x)] \, dx \]

2.3. Diện tích khi hai đường cong cắt nhau

Nếu hai đường cong \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) cắt nhau tại các điểm có hoành độ \(x_1, x_2, …, x_n\) trong \([a; b]\):

1. Bước 1: Giải phương trình \(f(x) = g(x)\) tìm các nghiệm
2. Bước 2: Xác định dấu của \(f(x) – g(x)\) trên từng khoảng
3. Bước 3: Tính tổng diện tích các phần

2.4. Bảng tổng hợp công thức diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi	Công thức diện tích
\(y = f(x)\), Ox, \(x = a\), \(x = b\)	\(S = \int_a^b |f(x)| \, dx\)
\(y = f(x)\), \(y = g(x)\), \(x = a\), \(x = b\)	\(S = \int_a^b |f(x) – g(x)| \, dx\)
\(x = \varphi(y)\), Oy, \(y = c\), \(y = d\)	\(S = \int_c^d |\varphi(y)| \, dy\)
Đường cong tham số \(x = x(t)\), \(y = y(t)\)	\(S = \left| \int_{t_1}^{t_2} y(t) \cdot x'(t) \, dt \right|\)

3. Thể tích khối tròn xoay là gì?

Thể tích khối tròn xoay (hay thể tích hình tròn xoay) là thể tích của khối hình học được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một trục cố định.

3.1. Định nghĩa

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) \geq 0\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay.

3.2. Ý tưởng tính thể tích

Khối tròn xoay được xem như tổng vô hạn các đĩa tròn mỏng có:

• Bán kính: \(r = |f(x)|\)
• Chiều dày: \(dx\)
• Thể tích mỗi đĩa: \(dV = \pi r^2 dx = \pi [f(x)]^2 dx\)

4. Công thức thể tích khối tròn xoay

Dưới đây là các công thức tính thể tích khối tròn xoay (hay công thức tính thể tích tích phân) theo từng trường hợp.

4.1. Quay quanh trục Ox

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = f(x)\), trục Ox, \(x = a\), \(x = b\) quanh trục Ox:

\[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \]

Đây là công thức thể tích khối tròn xoay cơ bản nhất.

4.2. Quay quanh trục Oy

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(x = g(y)\), trục Oy, \(y = c\), \(y = d\) quanh trục Oy:

\[ V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy \]

4.3. Quay hình phẳng giữa hai đường cong

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) với \(f(x) \geq g(x) \geq 0\) quanh trục Ox:

\[ V = \pi \int_a^b \left( [f(x)]^2 – [g(x)]^2 \right) dx \]

4.4. Bảng tổng hợp công thức thể tích tích phân

Trường hợp	Công thức thể tích
Quay \(y = f(x)\) quanh Ox	\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)
Quay \(x = g(y)\) quanh Oy	\(V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy\)
Quay vùng giữa hai đường quanh Ox	\(V = \pi \int_a^b |[f(x)]^2 – [g(x)]^2| \, dx\)
Quay quanh đường \(y = k\)	\(V = \pi \int_a^b [f(x) – k]^2 \, dx\)
Quay quanh đường \(x = h\)	\(V = \pi \int_c^d [g(y) – h]^2 \, dy\)

5. Diện tích thiết diện khối tròn xoay

Diện tích thiết diện là diện tích của mặt cắt khi cắt khối tròn xoay bằng một mặt phẳng vuông góc với trục quay.

5.1. Công thức diện tích thiết diện

Khi cắt khối tròn xoay (quay quanh Ox) bằng mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x:

\[ S(x) = \pi [f(x)]^2 \]

Đây chính là diện tích thiết diện tại vị trí x.

5.2. Mối quan hệ với thể tích

Thể tích khối tròn xoay được tính bằng tích phân của diện tích thiết diện:

\[ V = \int_a^b S(x) \, dx = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \]

5.3. Công thức tổng quát (phương pháp lát cắt)

Nếu biết diện tích thiết diện \(S(x)\) của một khối bất kỳ, thể tích được tính:

\[ V = \int_a^b S(x) \, dx \]

Khối hình	Diện tích thiết diện \(S(x)\)
Khối tròn xoay quanh Ox	\(\pi [f(x)]^2\)
Khối tròn xoay (vùng giữa 2 đường)	\(\pi ([f(x)]^2 – [g(x)]^2)\)
Khối có thiết diện là hình vuông cạnh a(x)	\([a(x)]^2\)
Khối có thiết diện là tam giác đều cạnh a(x)	\(\frac{\sqrt{3}}{4}[a(x)]^2\)

6. Công thức tính diện tích khối tròn xoay (diện tích xung quanh)

Công thức tính diện tích khối tròn xoay (diện tích mặt xung quanh) khi quay đường cong \(y = f(x)\) quanh trục Ox:

\[ S_{xq} = 2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx \]

Công thức này khác với diện tích hình phẳng vì nó tính diện tích bề mặt cong của khối tròn xoay.

7. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về tính diện tích hình phẳng và tính thể tích hình tròn xoay, cần thực hiện các bước sau.

7.1. Các bước tính diện tích hình phẳng

1. Bước 1: Xác định miền hình phẳng cần tính diện tích
2. Bước 2: Tìm hoành độ giao điểm (nếu có) bằng cách giải phương trình
3. Bước 3: Xác định hàm nào lớn hơn trên từng khoảng
4. Bước 4: Áp dụng công thức tích phân phù hợp
5. Bước 5: Tính tích phân và kết luận

7.2. Các bước tính thể tích khối tròn xoay

1. Bước 1: Xác định hình phẳng và trục quay
2. Bước 2: Xác định cận tích phân (a, b hoặc c, d)
3. Bước 3: Viết biểu thức \([f(x)]^2\) hoặc \([g(y)]^2\)
4. Bước 4: Áp dụng công thức tính thể tích tích phân
5. Bước 5: Tính tích phân và nhân với \(\pi\)

7.3. Lưu ý quan trọng

• Với diện tích hình phẳng: Dùng giá trị tuyệt đối \(|f(x)|\) hoặc \(|f(x) – g(x)|\)
• Với thể tích khối tròn xoay: Dùng bình phương \([f(x)]^2\), không cần giá trị tuyệt đối
• Kiểm tra kỹ trục quay để chọn công thức đúng

8. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng cơ bản

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x^2\), trục Ox và đường thẳng \(x = 2\).

Lời giải:

Hình phẳng giới hạn bởi \(y = x^2 \geq 0\), Ox, \(x = 0\) và \(x = 2\).

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng:

\[ S = \int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]

Vậy \(S = \frac{8}{3}\) (đvdt)

Bài tập 2: Diện tích giữa hai đường cong

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = x^2\) và đường thẳng \(y = x\).

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm

\[ x^2 = x \Leftrightarrow x^2 – x = 0 \Leftrightarrow x(x-1) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \]

Bước 2: Xét dấu trên \([0; 1]\)

Với \(0 < x < 1\): \(x > x^2\) nên \(x – x^2 > 0\)

Bước 3: Tính diện tích

\[ S = \int_0^1 (x – x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \]

Vậy \(S = \frac{1}{6}\) (đvdt)

Bài tập 3: Thể tích khối tròn xoay cơ bản

Đề bài: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = \sqrt{x}\), trục Ox, \(x = 0\), \(x = 4\) quanh trục Ox.

Lời giải:

Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay:

\[ V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx \]

\[ = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi \]

Vậy \(V = 8\pi\) (đvtt)

Bài tập 4: Thể tích khối tròn xoay giữa hai đường

Đề bài: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = x^2\) và \(y = \sqrt{x}\) quanh trục Ox.

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm

\[ x^2 = \sqrt{x} \Leftrightarrow x^4 = x \Leftrightarrow x(x^3 – 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \]

Bước 2: Trên \([0; 1]\): \(\sqrt{x} \geq x^2\)

Bước 3: Áp dụng công thức tính thể tích tích phân

\[ V = \pi \int_0^1 \left[ (\sqrt{x})^2 – (x^2)^2 \right] dx = \pi \int_0^1 (x – x^4) \, dx \]

\[ = \pi \left[ \frac{x^2}{2} – \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{5} \right) = \pi \cdot \frac{3}{10} = \frac{3\pi}{10} \]

Vậy \(V = \frac{3\pi}{10}\) (đvtt)

Bài tập 5: Thể tích quay quanh Oy

Đề bài: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = x^2\), \(y = 0\), \(y = 4\) quanh trục Oy.

Lời giải:

Từ \(y = x^2\) với \(x \geq 0\), ta có \(x = \sqrt{y}\)

Áp dụng công thức quay quanh Oy:

\[ V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 y \, dy \]

\[ = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi \]

Vậy \(V = 8\pi\) (đvtt)

Bài tập 6: Diện tích thiết diện

Đề bài: Cho khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = \sin x\) với \(0 \leq x \leq \pi\) và trục Ox quanh trục Ox. Tính diện tích thiết diện tại \(x = \frac{\pi}{2}\).

Lời giải:

Áp dụng công thức diện tích thiết diện:

\[ S(x) = \pi [f(x)]^2 = \pi \sin^2 x \]

Tại \(x = \frac{\pi}{2}\):

\[ S\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi \sin^2\frac{\pi}{2} = \pi \cdot 1^2 = \pi \]

Vậy diện tích thiết diện tại \(x = \frac{\pi}{2}\) bằng \(\pi\) (đvdt)

Bài tập 7: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi \(y = e^x\), trục Ox, \(x = 0\), \(x = 1\).

a) Tính diện tích hình phẳng (H)

b) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox

Lời giải:

a) Tính diện tích hình phẳng:

\[ S = \int_0^1 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e – 1 \]

Vậy \(S = e – 1\) (đvdt)

b) Tính thể tích khối tròn xoay:

\[ V = \pi \int_0^1 (e^x)^2 \, dx = \pi \int_0^1 e^{2x} \, dx \]

\[ = \pi \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_0^1 = \frac{\pi}{2}(e^2 – 1) \]

Vậy \(V = \frac{\pi(e^2 – 1)}{2}\) (đvtt)

Bài tập 8: Bài tập tự luyện

Giải các bài tập sau:

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = x^3\), Ox, \(x = -1\), \(x = 2\)
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = x^2 – 2x\) và trục Ox
3. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình tròn \(x^2 + y^2 = R^2\) quanh Ox
4. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi \(y = \sin x\), Ox, \(x = 0\), \(x = \pi\) quanh Ox
5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = \ln x\), Ox, \(x = 1\), \(x = e\)

Đáp số:

1. \(S = \frac{17}{4}\) (đvdt)
2. \(S = \frac{4}{3}\) (đvdt)
3. \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\) (công thức thể tích hình cầu)
4. \(V = \frac{\pi^2}{2}\) (đvtt)
5. \(S = 1\) (đvdt)

9. Kết luận

Diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay là hai ứng dụng quan trọng của tích phân. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:

• Công thức tính diện tích hình phẳng: \(S = \int_a^b |f(x) – g(x)| \, dx\)
• Công thức thể tích khối tròn xoay: \(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)
• Diện tích thiết diện: \(S(x) = \pi [f(x)]^2\)
• Các dạng bài tập thể tích tích phân thường gặp

Hãy ghi nhớ các công thức và luyện tập thường xuyên để thành thạo cách tính diện tích hình phẳng và tính thể tích hình tròn xoay. Chúc bạn học tốt!