Tổng cấp số nhân: Công thức tính, công bội và số hạng tổng quát

Tổng cấp số nhân là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán phổ thông và đại học, được ứng dụng rộng rãi trong tính toán tài chính, vật lý và nhiều lĩnh vực khác. Tổng cấp số nhân (tổng n số hạng đầu của cấp số nhân) được tính bằng công thức \( S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} \) với q ≠ 1, trong đó \( u_1 \) là số hạng đầu, q là công bội và n là số số hạng. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững công thức, cách chứng minh và các ví dụ minh họa chi tiết.

1. Cấp số nhân là gì?

Trước khi tìm hiểu tổng cấp số nhân, ta cần nắm vững khái niệm cấp số nhân.

1.1. Định nghĩa cấp số nhân

Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một hằng số không đổi.

\[ u_{n+1} = u_n \times q \quad \text{(với mọi n ≥ 1)} \]

Trong đó:

• \( u_n \): Số hạng thứ n
• \( u_1 \): Số hạng đầu tiên
• q: Công bội (common ratio)

1.2. Công thức số hạng tổng quát

\[ u_n = u_1 \times q^{n-1} \]

Hoặc: \[ u_n = u_k \times q^{n-k} \]

1.3. Ví dụ về cấp số nhân

Cấp số nhân	Số hạng đầu \( u_1 \)	Công bội q	Đặc điểm
2, 6, 18, 54, …	2	3	Tăng (q > 1)
81, 27, 9, 3, 1, …	81	\( \frac{1}{3} \)	Giảm (0 < q < 1)
1, -2, 4, -8, 16, …	1	-2	Đổi dấu (q < 0)
5, 5, 5, 5, …	5	1	Không đổi (q = 1)

1.4. Tính chất của cấp số nhân

Tính chất 1: Ba số a, b, c lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:

\[ b^2 = a \times c \]

Tính chất 2: Trong cấp số nhân, nếu m + n = p + q thì:

\[ u_m \times u_n = u_p \times u_q \]

2. Công thức tổng cấp số nhân hữu hạn

Dưới đây là các công thức tính tổng cấp số nhân hữu hạn (n số hạng đầu):

2.1. Công thức tổng quát

Công thức tổng n số hạng đầu:

\[ S_n = u_1 + u_2 + u_3 + … + u_n = \sum_{k=1}^{n} u_k \]

2.2. Trường hợp q ≠ 1

Công thức:

\[ S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1} \]

Hoặc viết theo số hạng cuối \( u_n \):

\[ S_n = \frac{u_1 – u_n \times q}{1 – q} = \frac{u_n \times q – u_1}{q – 1} \]

2.3. Trường hợp q = 1

Khi q = 1, mọi số hạng đều bằng nhau: \( u_1 = u_2 = … = u_n \)

Công thức:

\[ S_n = n \times u_1 \]

2.4. Chứng minh công thức

Chứng minh với q ≠ 1:

Ta có:

\[ S_n = u_1 + u_1 q + u_1 q^2 + … + u_1 q^{n-1} \quad (1) \]

Nhân cả hai vế với q:

\[ q \cdot S_n = u_1 q + u_1 q^2 + u_1 q^3 + … + u_1 q^n \quad (2) \]

Lấy (1) – (2):

\[ S_n – q \cdot S_n = u_1 – u_1 q^n \]

\[ S_n(1 – q) = u_1(1 – q^n) \]

\[ S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} \]

2.5. Bảng tổng hợp công thức

Trường hợp	Công thức tổng cấp số nhân
q ≠ 1	\( S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1} \)
q ≠ 1 (theo \( u_n \))	\( S_n = \frac{u_1 – u_n q}{1 – q} \)
q = 1	\( S_n = n \cdot u_1 \)

2.6. Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Tính tổng 6 số hạng đầu của cấp số nhân: 2, 6, 18, 54, …

Giải:

Ta có: \( u_1 = 2 \), \( q = 3 \), n = 6

\[ S_6 = \frac{2(1 – 3^6)}{1 – 3} = \frac{2(1 – 729)}{-2} = \frac{2 \times (-728)}{-2} = 728 \]

Kết quả: \( S_6 = 728 \)

3. Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Khi cấp số nhân có vô số số hạng và |q| < 1, ta có thể tính tổng cấp số nhân vô hạn.

3.1. Điều kiện hội tụ

Cấp số nhân lùi vô hạn hội tụ (có tổng hữu hạn) khi và chỉ khi:

\[ |q| < 1 \quad \text{(tức là } -1 < q < 1 \text{)} \]

3.2. Công thức tổng vô hạn

Khi |q| < 1:

\[ S_{\infty} = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{u_1}{1 – q} \]

Giải thích: Khi |q| < 1 và n → ∞, ta có \( q^n \to 0 \), nên:

\[ S_{\infty} = \lim_{n \to \infty} \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{u_1(1 – 0)}{1 – q} = \frac{u_1}{1 – q} \]

3.3. Các trường hợp đặc biệt

Điều kiện	Kết luận
|q| < 1	Chuỗi hội tụ, \( S_{\infty} = \frac{u_1}{1-q} \)
|q| ≥ 1	Chuỗi phân kỳ (không có tổng hữu hạn)
q = 1	\( S_n = n \cdot u_1 \to \pm\infty \)
q = -1	Chuỗi dao động, không hội tụ

3.4. Ví dụ tổng vô hạn

Ví dụ 1: Tính \( S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … \)

Giải:

Đây là cấp số nhân với \( u_1 = 1 \), \( q = \frac{1}{2} \)

Vì \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \) nên chuỗi hội tụ.

\[ S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

Ví dụ 2: Tính \( S = 3 – 1 + \frac{1}{3} – \frac{1}{9} + … \)

Giải:

\( u_1 = 3 \), \( q = -\frac{1}{3} \), \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \)

\[ S_{\infty} = \frac{3}{1 – (-\frac{1}{3})} = \frac{3}{\frac{4}{3}} = \frac{9}{4} \]

3.5. Ứng dụng: Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều có thể viết dưới dạng tổng cấp số nhân vô hạn.

Ví dụ: \( 0.333… = 0.\overline{3} \)

\[ 0.333… = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + … \]

\[ = \frac{3}{10} \times \left( 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + … \right) \]

\[ = \frac{3}{10} \times \frac{1}{1 – \frac{1}{10}} = \frac{3}{10} \times \frac{10}{9} = \frac{1}{3} \]

4. Các dạng bài tập về tổng cấp số nhân

Dưới đây là các dạng bài tập thường gặp về tổng cấp số nhân:

4.1. Dạng 1: Tính tổng n số hạng đầu

Phương pháp:

1. Xác định \( u_1 \), q, n
2. Áp dụng công thức \( S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} \) (nếu q ≠ 1)

4.2. Dạng 2: Tính tổng khi biết số hạng đầu và cuối

Phương pháp:

1. Tìm q từ \( u_n = u_1 \times q^{n-1} \)
2. Áp dụng \( S_n = \frac{u_1 – u_n q}{1 – q} \)

4.3. Dạng 3: Tìm số số hạng khi biết tổng

Phương pháp:

1. Thay \( S_n \), \( u_1 \), q vào công thức
2. Giải phương trình mũ tìm n

4.4. Dạng 4: Tính tổng vô hạn

Phương pháp:

1. Kiểm tra |q| < 1
2. Áp dụng \( S_{\infty} = \frac{u_1}{1 – q} \)

4.5. Dạng 5: Bài toán có điều kiện

Các điều kiện thường gặp:

• Cho \( u_1 + u_3 = a \), \( u_2 + u_4 = b \)
• Cho \( S_3 = a \), \( S_6 = b \)
• Cho tổng và tích của một số số hạng

4.6. Bảng công thức cần nhớ

Công thức	Điều kiện	Ứng dụng
\( u_n = u_1 q^{n-1} \)		Tính số hạng bất kỳ
\( S_n = \frac{u_1(1-q^n)}{1-q} \)	q ≠ 1	Tổng n số hạng đầu
\( S_n = n \cdot u_1 \)	q = 1	Tổng khi công bội = 1
\( S_{\infty} = \frac{u_1}{1-q} \)	|q| < 1	Tổng vô hạn

5. Mối liên hệ giữa cấp số nhân và cấp số cộng

Hiểu rõ sự khác biệt giúp tính tổng cấp số nhân chính xác hơn:

5.1. So sánh hai loại cấp số

Tiêu chí	Cấp số cộng	Cấp số nhân
Định nghĩa	\( u_{n+1} = u_n + d \)	\( u_{n+1} = u_n \times q \)
Hằng số	Công sai d	Công bội q
Số hạng tổng quát	\( u_n = u_1 + (n-1)d \)	\( u_n = u_1 \times q^{n-1} \)
Công thức tổng	\( S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} \)	\( S_n = \frac{u_1(1-q^n)}{1-q} \)
Tính chất 3 số liên tiếp	\( 2b = a + c \)	\( b^2 = ac \)

5.2. Chuyển đổi giữa hai cấp số

Từ CSC sang CSN: Nếu \( (u_n) \) là cấp số cộng thì \( (a^{u_n}) \) là cấp số nhân (với a > 0).

Từ CSN sang CSC: Nếu \( (v_n) \) là cấp số nhân dương thì \( (\log_a v_n) \) là cấp số cộng.

5.3. Ví dụ minh họa

Cho CSC: 1, 3, 5, 7, 9, … (d = 2)

Lấy \( a = 2 \), ta được CSN: \( 2^1, 2^3, 2^5, 2^7, 2^9, … \) = 2, 8, 32, 128, 512, …

Công bội: \( q = 2^2 = 4 \)

6. Ứng dụng của tổng cấp số nhân

Tổng cấp số nhân có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế:

6.1. Tài chính – Ngân hàng

Bài toán lãi kép:

Gửi số tiền A với lãi suất r%/kỳ, sau n kỳ, tổng số tiền thu được:

\[ T = A(1 + r)^n \]

Gửi tiết kiệm định kỳ:

Mỗi kỳ gửi thêm a đồng, lãi suất r%/kỳ, sau n kỳ:

\[ S = a \times \frac{(1+r)^n – 1}{r} \]

6.2. Vật lý

Bài toán phóng xạ:

Lượng chất phóng xạ còn lại sau n chu kỳ bán rã:

\[ N = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^n \]

Dao động tắt dần:

Biên độ dao động giảm theo cấp số nhân.

6.3. Sinh học

Sự phân chia tế bào:

Một tế bào phân chia, sau n lần sẽ có \( 2^n \) tế bào.

Tổng số tế bào qua các thế hệ: \( S = 1 + 2 + 4 + … + 2^n = 2^{n+1} – 1 \)

6.4. Hình học

Tam giác Sierpinski:

Diện tích còn lại sau mỗi bước giảm theo cấp số nhân với \( q = \frac{3}{4} \).

Bài toán quả bóng nảy:

Quả bóng rơi từ độ cao h, mỗi lần nảy lên bằng k lần độ cao trước (0 < k < 1).

Tổng quãng đường đi được:

\[ S = h + 2h(k + k^2 + k^3 + …) = h + \frac{2hk}{1-k} = \frac{h(1+k)}{1-k} \]

6.5. Bảng tổng hợp ứng dụng

Lĩnh vực	Ứng dụng cụ thể
Tài chính	Lãi kép, tiết kiệm định kỳ, trả góp
Vật lý	Phóng xạ, dao động tắt dần
Sinh học	Phân bào, tăng trưởng quần thể
Hình học	Fractal, dãy hình đồng dạng
Tin học	Phân tích thuật toán, cấu trúc dữ liệu

7. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững công thức tổng cấp số nhân, hãy cùng làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Tính tổng n số hạng đầu

Đề bài: Tính tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân: 3, 6, 12, 24, …

Lời giải:

Xác định các yếu tố:

• \( u_1 = 3 \)
• \( q = \frac{6}{3} = 2 \)
• n = 8

Áp dụng công thức:

\[ S_8 = \frac{u_1(1 – q^8)}{1 – q} = \frac{3(1 – 2^8)}{1 – 2} = \frac{3(1 – 256)}{-1} \]

\[ = \frac{3 \times (-255)}{-1} = 765 \]

Kết quả: \( S_8 = 765 \)

Bài tập 2: Tính tổng với công bội âm

Đề bài: Tính tổng 7 số hạng đầu của cấp số nhân: 2, -6, 18, -54, …

Lời giải:

\( u_1 = 2 \), \( q = -3 \), n = 7

\[ S_7 = \frac{2(1 – (-3)^7)}{1 – (-3)} = \frac{2(1 – (-2187))}{4} = \frac{2 \times 2188}{4} = 1094 \]

Kết quả: \( S_7 = 1094 \)

Bài tập 3: Tính tổng với công bội là phân số

Đề bài: Tính tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân: \( 16, 8, 4, 2, … \)

Lời giải:

\( u_1 = 16 \), \( q = \frac{1}{2} \), n = 5

\[ S_5 = \frac{16\left(1 – \left(\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{16\left(1 – \frac{1}{32}\right)}{\frac{1}{2}} \]

\[ = \frac{16 \times \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{16 \times 31}{32} \times 2 = 31 \]

Kết quả: \( S_5 = 31 \)

Bài tập 4: Tính tổng vô hạn

Đề bài: Tính tổng: \( S = 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + … \)

Lời giải:

\( u_1 = 4 \), \( q = \frac{1}{2} \)

Vì \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \), chuỗi hội tụ:

\[ S_{\infty} = \frac{u_1}{1 – q} = \frac{4}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 \]

Kết quả: \( S_{\infty} = 8 \)

Bài tập 5: Tìm số số hạng

Đề bài: Cho cấp số nhân có \( u_1 = 3 \), \( q = 2 \) và \( S_n = 381 \). Tìm n.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

\[ S_n = \frac{3(1 – 2^n)}{1 – 2} = \frac{3(1 – 2^n)}{-1} = 3(2^n – 1) \]

Theo đề bài:

\[ 3(2^n – 1) = 381 \]

\[ 2^n – 1 = 127 \]

\[ 2^n = 128 = 2^7 \]

\[ n = 7 \]

Kết quả: n = 7

Bài tập 6: Tìm cấp số nhân khi biết điều kiện

Đề bài: Cho cấp số nhân có \( u_1 + u_2 + u_3 = 14 \) và \( u_1 \cdot u_2 \cdot u_3 = 64 \). Tìm cấp số nhân đó.

Lời giải:

Đặt ba số hạng là: \( \frac{a}{q}, a, aq \) (với a là số hạng giữa)

Từ điều kiện tích:

\[ \frac{a}{q} \cdot a \cdot aq = a^3 = 64 \Rightarrow a = 4 \]

Từ điều kiện tổng:

\[ \frac{4}{q} + 4 + 4q = 14 \]

\[ \frac{4}{q} + 4q = 10 \]

\[ 4 + 4q^2 = 10q \]

\[ 4q^2 – 10q + 4 = 0 \]

\[ 2q^2 – 5q + 2 = 0 \]

\[ (2q – 1)(q – 2) = 0 \]

\[ q = \frac{1}{2} \text{ hoặc } q = 2 \]

Kết quả:

• Nếu q = 2: CSN là 2, 4, 8
• Nếu q = 1/2: CSN là 8, 4, 2

Bài tập 7: Tính tổng đặc biệt

Đề bài: Tính tổng: \( S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{10} \)

Lời giải:

Đây là tổng cấp số nhân với \( u_1 = 1 \), q = 2, n = 11

\[ S_{11} = \frac{1 \times (1 – 2^{11})}{1 – 2} = \frac{1 – 2048}{-1} = 2047 \]

Kết quả: S = 2047

Bài tập 8: Bài toán lãi suất

Đề bài: Một người gửi tiết kiệm 10 triệu đồng với lãi suất 6%/năm (lãi kép). Hỏi sau 5 năm người đó nhận được bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Số tiền sau mỗi năm tạo thành cấp số nhân:

\( u_1 = 10 \) (triệu đồng), \( q = 1 + 0.06 = 1.06 \)

Sau 5 năm (số hạng thứ 6):

\[ u_6 = 10 \times 1.06^5 = 10 \times 1.3382 \approx 13.382 \text{ (triệu đồng)} \]

Kết quả: Sau 5 năm nhận được khoảng 13.382.000 đồng

Bài tập 9: Chuyển số thập phân tuần hoàn thành phân số

Đề bài: Viết số \( 0.272727… = 0.\overline{27} \) dưới dạng phân số.

Lời giải:

\[ 0.272727… = \frac{27}{100} + \frac{27}{10000} + \frac{27}{1000000} + … \]

Đây là cấp số nhân với \( u_1 = \frac{27}{100} \), \( q = \frac{1}{100} \)

\[ S_{\infty} = \frac{\frac{27}{100}}{1 – \frac{1}{100}} = \frac{\frac{27}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} \]

Kết quả: \( 0.\overline{27} = \frac{3}{11} \)

Bài tập 10: Bài toán quả bóng nảy

Đề bài: Một quả bóng rơi từ độ cao 10 m. Mỗi lần chạm đất, nó nảy lên bằng 3/5 độ cao trước. Tính tổng quãng đường bóng đi được cho đến khi dừng hẳn.

Lời giải:

Quãng đường rơi lần đầu: 10 m

Quãng đường nảy lên rồi rơi xuống các lần sau tạo thành cấp số nhân:

• Lần 1: \( 2 \times 10 \times \frac{3}{5} = 12 \) m
• Lần 2: \( 2 \times 10 \times \left(\frac{3}{5}\right)^2 \) m
• …

Tổng quãng đường:

\[ S = 10 + 2 \times 10 \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{1 – \frac{3}{5}} \]

\[ = 10 + 12 \times \frac{1}{\frac{2}{5}} = 10 + 12 \times \frac{5}{2} = 10 + 30 = 40 \text{ m} \]

Kết quả: Tổng quãng đường = 40 m

Bài tập 11: Tính tổng liên quan đến \( S_{2n} \) và \( S_n \)

Đề bài: Cho cấp số nhân có \( S_3 = 7 \) và \( S_6 = 63 \). Tìm \( u_1 \) và q.

Lời giải:

Ta có:

\[ S_6 = S_3 + u_4 + u_5 + u_6 = S_3 + q^3(u_1 + u_2 + u_3) = S_3 + q^3 \cdot S_3 = S_3(1 + q^3) \]

Thay số:

\[ 63 = 7(1 + q^3) \]

\[ 1 + q^3 = 9 \]

\[ q^3 = 8 \Rightarrow q = 2 \]

Từ \( S_3 = 7 \):

\[ \frac{u_1(1 – 8)}{1 – 2} = \frac{-7u_1}{-1} = 7u_1 = 7 \]

\[ u_1 = 1 \]

Kết quả: \( u_1 = 1 \), q = 2

8. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ về tổng cấp số nhân cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

• Tổng cấp số nhân hữu hạn: \( S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} \) với q ≠ 1
• Tổng cấp số nhân vô hạn: \( S_{\infty} = \frac{u_1}{1 – q} \) với |q| < 1
• Trường hợp q = 1: \( S_n = n \cdot u_1 \)
• Số hạng tổng quát: \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \)
• Tính chất: \( b^2 = ac \) (ba số a, b, c lập thành cấp số nhân)
• Ứng dụng: Lãi kép, phóng xạ, phân bào, số thập phân tuần hoàn

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững công thức tổng cấp số nhân và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!