Công thức tính thể tích khối lăng trụ: Cách tính và bài tập chi tiết

Công thức tính thể tích khối lăng trụ là kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán hình học không gian lớp 11 và lớp 12, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia. Khối lăng trụ là một trong những hình khối cơ bản nhất với nhiều dạng biến thể từ lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác đến lăng trụ lục giác đều. Nắm vững công thức thể tích khối lăng trụ cùng cách tính thể tích khối lăng trụ trong từng trường hợp cụ thể sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết mọi dạng bài tập. Bài viết dưới đây của VJOL sẽ tổng hợp đầy đủ công thức lăng trụ, phương pháp tính kèm ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết.

Khối lăng trụ là gì?

Khối lăng trụ là khối đa diện được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song (gọi là hai đáy) và các mặt bên là hình bình hành. Hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.

Các yếu tố của khối lăng trụ

Phân loại khối lăng trụ

Sau khi đã hiểu rõ khái niệm và phân loại, chúng ta sẽ đi vào phần quan trọng nhất — công thức tính thể tích khối lăng trụ.

Công thức tính thể tích khối lăng trụ

Thể tích khối lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao. Đây là công thức thể tích lăng trụ tổng quát áp dụng cho mọi loại lăng trụ (đứng, xiên, đều):

$$V = S_đ \times h$$

Trong đó:

• \( V \): Thể tích của khối lăng trụ (đơn vị: cm³, dm³, m³,…)
• \( S_đ \): Diện tích đáy (đơn vị: cm², dm², m²,…)
• \( h \): Chiều cao — khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy (đơn vị: cm, dm, m,…)

Lưu ý quan trọng:

• Với lăng trụ đứng: chiều cao \( h \) chính bằng cạnh bên \( l \), tức \( h = l \).
• Với lăng trụ xiên: chiều cao \( h \) khác cạnh bên. Cần xác định đúng chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt đáy) chứ không nhầm với cạnh bên.

Công thức trên mang tính tổng quát. Tùy từng loại lăng trụ, diện tích đáy \( S_đ \) sẽ được tính theo các công thức riêng. Cùng tìm hiểu công thức tính thể tích lăng trụ chi tiết cho từng loại dưới đây.

Công thức tính thể tích khối lăng trụ theo từng loại

Lăng trụ tam giác

Đáy là tam giác. Gọi các cạnh đáy là \( a, b, c \) và chiều cao lăng trụ là \( h \):

Trường hợp tổng quát (dùng công thức Heron):

$$S_đ = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

với \( p = \frac{a + b + c}{2} \) là nửa chu vi tam giác đáy.

$$V = S_đ \times h = h\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Đáy là tam giác đều cạnh \( a \):

$$S_đ = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Rightarrow V = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times h$$

Đáy là tam giác vuông (hai cạnh góc vuông \( a, b \)):

$$S_đ = \frac{1}{2}ab \Rightarrow V = \frac{1}{2}ab \times h$$

Lăng trụ tứ giác

Đáy là tứ giác. Dưới đây là các trường hợp thường gặp:

Hình hộp chữ nhật (các cạnh \( a, b, c \)):

$$V = a \times b \times c$$

Hình lập phương (cạnh \( a \)):

$$V = a^3$$

Đáy là hình vuông cạnh \( a \), chiều cao \( h \):

$$V = a^2 \times h$$

Đáy là hình bình hành (đáy \( a \), chiều cao đáy \( h_đ \), chiều cao lăng trụ \( h \)):

$$V = a \times h_đ \times h$$

Đáy là hình thang (hai đáy song song \( a, b \), chiều cao hình thang \( h_đ \), chiều cao lăng trụ \( h \)):

$$V = \frac{(a + b)}{2} \times h_đ \times h$$

Lăng trụ lục giác đều

Đáy là lục giác đều cạnh \( a \), chiều cao lăng trụ \( h \):

$$S_đ = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \Rightarrow V = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \times h$$

Lăng trụ đều n cạnh

Đáy là đa giác đều \( n \) cạnh, mỗi cạnh dài \( a \), chiều cao lăng trụ \( h \):

$$S_đ = \frac{na^2}{4}\cot\frac{\pi}{n} \Rightarrow V = \frac{na^2}{4}\cot\frac{\pi}{n} \times h$$

Bảng tổng hợp công thức thể tích khối lăng trụ

Ngoài các công thức trực tiếp ở trên, trong nhiều bài toán, đề bài không cho sẵn diện tích đáy hay chiều cao mà cần suy ra từ các đại lượng khác. Cùng tìm hiểu các tình huống đó.

Cách tính thể tích khối lăng trụ khi biết các đại lượng khác

Khi biết thể tích, tìm chiều cao

Từ công thức thể tích khối lăng trụ \( V = S_đ \times h \), ta suy ra:

$$h = \frac{V}{S_đ}$$

Khi biết thể tích, tìm cạnh đáy

Nếu biết thể tích \( V \) và chiều cao \( h \), trước tiên tính diện tích đáy:

$$S_đ = \frac{V}{h}$$

Sau đó, tùy dạng đáy mà suy ngược ra cạnh. Ví dụ, nếu đáy là tam giác đều:

$$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{V}{h} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{4V}{\sqrt{3} \times h}}$$

Khi biết diện tích xung quanh và thông tin đáy

Với lăng trụ đứng, diện tích xung quanh:

$$S_{xq} = C_đ \times h$$

Trong đó \( C_đ \) là chu vi đáy. Từ đây ta tìm được \( h \) hoặc cạnh đáy, rồi áp dụng công thức tính thể tích của khối lăng trụ.

Lăng trụ xiên: Tính thể tích qua thiết diện vuông góc

Với lăng trụ xiên, ngoài công thức tổng quát \( V = S_đ \times h \), ta còn có công thức qua thiết diện vuông góc:

$$V = S_{vg} \times l$$

Trong đó:

• \( S_{vg} \): Diện tích thiết diện vuông góc (mặt cắt vuông góc với cạnh bên).
• \( l \): Độ dài cạnh bên.

Công thức này đặc biệt hữu ích khi bài toán cho lăng trụ xiên và khó xác định chiều cao trực tiếp.

Bây giờ, hãy cùng áp dụng các công thức lăng trụ vào những ví dụ minh họa cụ thể.

Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Lăng trụ đứng tam giác đều

Đề bài: Cho lăng trụ đứng \( ABC.A’B’C’ \) có đáy là tam giác đều cạnh \( a = 6 \) cm, chiều cao \( h = 10 \) cm. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Tính diện tích đáy (tam giác đều cạnh 6):

$$S_đ = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)}$$

Tính thể tích:

$$V = S_đ \times h = 9\sqrt{3} \times 10 = 90\sqrt{3} \approx 155{,}88 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Vậy thể tích khối lăng trụ bằng \( 90\sqrt{3} \) cm³.

Ví dụ 2: Hình hộp chữ nhật

Đề bài: Hình hộp chữ nhật có các kích thước \( a = 5 \) cm, \( b = 8 \) cm, \( c = 12 \) cm. Tính thể tích.

Lời giải:

$$V = a \times b \times c = 5 \times 8 \times 12 = 480 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Vậy thể tích hình hộp chữ nhật bằng 480 cm³.

Ví dụ 3: Lăng trụ đứng đáy tam giác vuông

Đề bài: Lăng trụ đứng \( ABC.A’B’C’ \) có đáy là tam giác vuông tại A với \( AB = 3 \) cm, \( AC = 4 \) cm. Cạnh bên \( AA’ = 7 \) cm. Tính thể tích lăng trụ.

Lời giải:

Diện tích đáy (tam giác vuông):

$$S_đ = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Vì lăng trụ đứng nên \( h = AA’ = 7 \) cm. Tính thể tích:

$$V = S_đ \times h = 6 \times 7 = 42 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Vậy thể tích khối lăng trụ bằng 42 cm³.

Ví dụ 4: Lăng trụ đều lục giác

Đề bài: Cho lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy \( a = 4 \) cm và chiều cao \( h = 9 \) cm. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải:

Diện tích đáy (lục giác đều cạnh 4):

$$S_đ = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 16 = 24\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)}$$

Tính thể tích:

$$V = S_đ \times h = 24\sqrt{3} \times 9 = 216\sqrt{3} \approx 374{,}12 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Vậy thể tích khối lăng trụ bằng \( 216\sqrt{3} \) cm³.

Ví dụ 5: Bài toán ngược – Tìm cạnh đáy khi biết thể tích

Đề bài: Lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, chiều cao \( h = 12 \) cm và thể tích \( V = 48\sqrt{3} \) cm³. Tìm cạnh đáy.

Lời giải:

Tính diện tích đáy:

$$S_đ = \frac{V}{h} = \frac{48\sqrt{3}}{12} = 4\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)}$$

Từ công thức diện tích tam giác đều:

$$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 4\sqrt{3} \Rightarrow a^2 = \frac{4\sqrt{3} \times 4}{\sqrt{3}} = 16 \Rightarrow a = 4 \text{ (cm)}$$

Vậy cạnh đáy bằng 4 cm.

Ví dụ 6: Lăng trụ đáy hình thang

Đề bài: Lăng trụ đứng có đáy là hình thang vuông ABCD với \( AB = 6 \) cm, \( CD = 4 \) cm, \( AD = 5 \) cm (\( AD \perp AB \)). Chiều cao lăng trụ \( h = 8 \) cm. Tính thể tích hình lăng trụ.

Lời giải:

Diện tích đáy (hình thang vuông, \( AD \) là chiều cao hình thang):

$$S_đ = \frac{(AB + CD)}{2} \times AD = \frac{(6 + 4)}{2} \times 5 = \frac{10}{2} \times 5 = 25 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Tính thể tích:

$$V = S_đ \times h = 25 \times 8 = 200 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Vậy thể tích khối lăng trụ bằng 200 cm³.

Ví dụ 7: Bài toán thực tế

Đề bài: Một cột bê tông có dạng lăng trụ đứng, đáy là tam giác đều cạnh 30 cm, chiều dài cột 3 m. Tính thể tích bê tông cần dùng (đơn vị dm³).

Lời giải:

Đổi đơn vị: chiều cao \( h = 3 \) m \( = 30 \) dm, cạnh đáy \( a = 30 \) cm \( = 3 \) dm.

Diện tích đáy:

$$S_đ = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ (dm}^2\text{)}$$

Thể tích:

$$V = \frac{9\sqrt{3}}{4} \times 30 = \frac{270\sqrt{3}}{4} = 67{,}5\sqrt{3} \approx 116{,}91 \text{ (dm}^3\text{)}$$

Vậy cần khoảng 116,91 dm³ (tương đương 116,91 lít) bê tông.

Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập tự luyện dưới đây.

Bài tập tự luyện có đáp án

Bài 1: Lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh 8 cm, chiều cao 15 cm. Tính thể tích.

Bài 2: Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh 6 cm, chiều cao 10 cm. Tính thể tích.

Bài 3: Lăng trụ lục giác đều cạnh đáy 5 cm, chiều cao 12 cm. Tính thể tích.

Bài 4: Lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5 cm và 12 cm, cạnh bên 20 cm. Tính thể tích.

Bài 5: Thể tích lăng trụ đứng tam giác đều bằng \( 75\sqrt{3} \) cm³, chiều cao bằng 3 cm. Tìm cạnh đáy.

Bài 6: Lăng trụ đứng có đáy là hình thang cân với hai đáy song song lần lượt là 10 cm và 6 cm, cạnh bên hình thang bằng 5 cm. Chiều cao lăng trụ bằng 14 cm. Tính thể tích.

Đáp án bài tập tự luyện

Kết luận

Công thức tính thể tích khối lăng trụ \( V = S_đ \times h \) là công thức tổng quát, đơn giản nhưng vô cùng quan trọng, áp dụng được cho mọi loại lăng trụ từ tam giác, tứ giác đến lục giác đều. Chìa khóa để tính thể tích khối lăng trụ chính xác nằm ở hai bước: xác định đúng diện tích đáy \( S_đ \) (tùy dạng đa giác) và xác định đúng chiều cao \( h \) (đặc biệt cần phân biệt chiều cao và cạnh bên trong lăng trụ xiên). Ngoài ra, với lăng trụ xiên, công thức thể tích lăng trụ qua thiết diện vuông góc \( V = S_{vg} \times l \) cũng là công cụ hữu ích. Hy vọng bài viết của VJOL đã giúp bạn nắm vững công thức tính thể tích khối lăng trụ và tự tin áp dụng vào học tập cũng như các kỳ thi.