Số đường chéo chính của hình lục giác đều là bao nhiêu? Cách tính

Số đường chéo chính của hình lục giác đều là bao nhiêu? Đây là câu hỏi thường gặp trong các bài tập hình học về đa giác đều. Bài viết dưới đây sẽ giải đáp chi tiết về đường chéo của hình lục giác đều, cách tính số lượng, độ dài cùng các tính chất quan trọng cần nhớ.

Đường chéo của hình lục giác đều là gì?

Trước khi xác định số đường chéo chính của hình lục giác đều, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm đường chéo trong đa giác.

Định nghĩa đường chéo

Đường chéo của đa giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác đó.

Phân loại đường chéo trong hình lục giác đều

Hình lục giác đều ABCDEF có hai loại đường chéo:

Số đường chéo chính của hình lục giác đều

Đây là nội dung trọng tâm giải đáp câu hỏi số đường chéo chính của hình lục giác đều là bao nhiêu.

Đáp án

Số đường chéo chính của hình lục giác đều là 3

Giải thích chi tiết

Đường chéo chính (hay còn gọi là đường chéo lớn) của hình lục giác đều là đường chéo nối hai đỉnh đối diện nhau.

Hình lục giác đều ABCDEF có 6 đỉnh, trong đó:

• Đỉnh A đối diện với đỉnh D → Đường chéo chính AD
• Đỉnh B đối diện với đỉnh E → Đường chéo chính BE
• Đỉnh C đối diện với đỉnh F → Đường chéo chính CF

Vậy có 3 đường chéo chính: AD, BE, CF.

Công thức tính số đường chéo chính

Với đa giác đều có \(n\) đỉnh (n chẵn), số đường chéo chính là:

\(\text{Số đường chéo chính} = \frac{n}{2}\)

Áp dụng với hình lục giác đều (\(n = 6\)):

\(\text{Số đường chéo chính} = \frac{6}{2} = 3\)

Công thức tính tổng số đường chéo

Tổng số đường chéo của đa giác n đỉnh:

\(\text{Tổng số đường chéo} = \frac{n(n-3)}{2}\)

Áp dụng với hình lục giác đều (\(n = 6\)):

\(\text{Tổng số đường chéo} = \frac{6 \times (6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = 9\)

Tính chất đường chéo chính của hình lục giác đều

Sau khi biết số đường chéo chính của hình lục giác đều là 3, chúng ta cần nắm các tính chất quan trọng của chúng.

Các tính chất cần nhớ

• Đồng quy tại tâm: Ba đường chéo chính AD, BE, CF cắt nhau tại một điểm duy nhất là tâm O của hình lục giác đều
• Chia đôi nhau: Tâm O là trung điểm của cả ba đường chéo chính\(OA = OD\), \(OB = OE\), \(OC = OF\)
• Bằng nhau: Ba đường chéo chính có độ dài bằng nhau\(AD = BE = CF = 2a\) (với \(a\) là cạnh)
• Tạo góc 60°: Hai đường chéo chính liên tiếp tạo với nhau góc 60°
• Chia thành 6 tam giác đều: Ba đường chéo chính chia hình lục giác đều thành 6 tam giác đều bằng nhau
• Là trục đối xứng: Mỗi đường chéo chính là một trục đối xứng của hình lục giác đều

Bảng so sánh đường chéo chính và đường chéo phụ

Cách tính độ dài đường chéo hình lục giác đều

Ngoài việc biết số đường chéo chính của hình lục giác đều, việc tính độ dài các đường chéo cũng rất quan trọng.

Công thức tính độ dài đường chéo chính

Với hình lục giác đều cạnh \(a\):

\(d_1 = 2a\)

Trong đó: \(d_1\) là độ dài đường chéo chính.

Công thức tính độ dài đường chéo phụ

\(d_2 = a\sqrt{3}\)

Trong đó: \(d_2\) là độ dài đường chéo phụ.

Chứng minh công thức

Với đường chéo chính AD:

Đường chéo chính đi qua tâm O và \(OA = OD = a\) (bán kính ngoại tiếp bằng cạnh)

Do đó: \(AD = OA + OD = a + a = 2a\)

Với đường chéo phụ AC:

Tam giác OAB là tam giác đều cạnh \(a\), tam giác OBC là tam giác đều cạnh \(a\).

Trong tam giác OAC có: \(OA = OC = a\) và \(\widehat{AOC} = 120°\)

Áp dụng định lý cosin:

\(AC^2 = OA^2 + OC^2 – 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos(120°)\)

\(AC^2 = a^2 + a^2 – 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2\)

\(AC = a\sqrt{3}\)

Bài tập vận dụng

Áp dụng kiến thức về đường chéo của hình lục giác đều để giải các bài tập sau.

Bài tập 1

Đề bài: Cho hình lục giác đều ABCDEF có cạnh bằng 5 cm. Tính độ dài các đường chéo chính và đường chéo phụ.

Lời giải:

Với \(a = 5\) cm:

• Độ dài đường chéo chính: \(d_1 = 2a = 2 \times 5 = 10\) cm
• Độ dài đường chéo phụ: \(d_2 = a\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \approx 8,66\) cm

Đáp số: Đường chéo chính = 10 cm; Đường chéo phụ = \(5\sqrt{3}\) cm

Bài tập 2

Đề bài: Hình lục giác đều có đường chéo chính dài 12 cm. Tính cạnh và đường chéo phụ của hình lục giác đều đó.

Lời giải:

Từ công thức \(d_1 = 2a\), suy ra:

\(a = \frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6\) cm

Đường chéo phụ:

\(d_2 = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \approx 10,39\) cm

Đáp số: Cạnh = 6 cm; Đường chéo phụ = \(6\sqrt{3}\) cm

Bài tập 3

Đề bài: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O, cạnh \(a\). Chứng minh rằng ba đường chéo chính chia hình lục giác thành 6 tam giác đều.

Lời giải:

Xét tam giác OAB:

• \(OA = a\) (bán kính ngoại tiếp = cạnh)
• \(OB = a\)
• \(AB = a\) (cạnh hình lục giác)

Tam giác OAB có 3 cạnh bằng nhau nên là tam giác đều.

Tương tự, các tam giác OBC, OCD, ODE, OEF, OFA đều là tam giác đều cạnh \(a\).

Kết luận: Ba đường chéo chính chia hình lục giác đều thành 6 tam giác đều bằng nhau.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số đường chéo chính của hình lục giác đều là:

• A. 6
• B. 9
• C. 3
• D. 12

Câu 2: Hình lục giác đều cạnh \(a\) có đường chéo chính dài bằng:

• A. \(a\)
• B. \(a\sqrt{3}\)
• C. \(2a\)
• D. \(3a\)

Câu 3: Tổng số đường chéo của hình lục giác đều là:

• A. 6
• B. 9
• C. 12
• D. 15

Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giải đáp chi tiết số đường chéo chính của hình lục giác đều là 3. Đây là các đường chéo nối hai đỉnh đối diện (AD, BE, CF), có độ dài bằng \(2a\) và đồng quy tại tâm O. Ngoài ra, hình lục giác đều còn có 6 đường chéo phụ với độ dài \(a\sqrt{3}\). Hãy ghi nhớ các công thức và tính chất này để vận dụng hiệu quả trong các bài tập hình học nhé!